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23 \geometry{paper=a4paper,margin=30mm}
27 %\fancyhead[LO,LE]{"Ubung zu Computational Intelligence}
28 %\fancyhead[CO,CE]{2006-05-15}
29 %\fancyhead[RO,RE]{Florian Forster (2099894)}
31 \title{Evolutionäre Optimierung von Sortiernetzwerken}
32 \author{Florian Forster}
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37 \newcommand{\todo}[1]{{\bf TODO:} #1}
38 \newcommand{\qed}{\hfill $\Box$ \par \bigskip}
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50 \newtheorem{definition}{Definition}
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53 % Zeige Nummern nur bei referenzierten Gleichungen an.
54 \mathtoolsset{showonlyrefs=true}
58 \tikzstyle{vertex} = [circle,draw,thick,fill=black,minimum size=5,inner sep=0pt]
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88 Sortiernetzwerke erweisen sich als sehr schwieriges Optimierungsproblem. Zwar
89 ist das Konzept leicht verständlich und schnell erklärt, effiziente und
90 schnelle Sortiernetzwerke zu finden oder zu konstruieren bleibt aber eine
93 Diese Arbeit verwendet „Schnitte“ oder „Leitungselimination“ und
94 Mischer-Netz\-werke, um evolutionäre Algorithmen anzugeben, deren Individuen
95 die Menge der gültigen Sortiernetzwerke nie verlassen. Bisherige Ansätze
96 bewegten sich in der Regel in der Menge aller Komparatornetzwerke und suchten
97 dort nach Sortiernetzwerken. Nach dem Vorstellen der zwei Algorithmen
98 \textsc{SN-Evolution} und \textsc{SN-Evolution-Cut} sowie einiger Ergebnisse,
99 die mit diesen Algorithmen erzielt werden konnten, wird -- basierend auf dem
100 evolutionären Algorithmus \textsc{SN-Evolution} -- eine Markov-Kette für
101 Sortiernetzwerke angegeben.
108 \section{Motivation und Einleitung}
110 \subsection{Motivation}\label{sect:motivation}
112 \emph{Sortiernetzwerke} sind ein theoretisches Konstrukt, dass auch von
113 Personen ohne Zugang zum Thema, beziehungsweise der theoretischen Informatik,
114 schnell verstanden werden kann. Eine Einführung wird in
115 Abschnitt~\ref{sect:einleitung_sortiernetzwerke} gegeben. Nichtsdestotrotz ist
116 das Finden von Sortiernetzwerken sowie das Beweisen, dass ein
117 Komparatornetzwerk jede beliebige Eingabe sortiert, im Allgemeinen sehr
118 schwierig und nach heutigem Kenntnisstand nur mit exponentiellem Aufwand zu
121 Einfacher ist der Korrektheitsbeweis bei konstruktiven Verfahren, da hier die
122 Konstruktionsvorschrift genutzt werden kann, um die Korrektheit für beliebige
123 Eingabegrößen zu beweisen. Im Abschnitt~\ref{sect:konstruktive_netzwerke}
124 geschieht dies beispielsweise für zwei von \emph{Kenneth~E. Batcher} 1968
125 gefundene Konstruktionsvorschriften.
127 Um effiziente und schnelle Sortiernetzwerke zu finden, wurden schon wiederholt
128 Computer und automatische Suchverfahren eingesetzt. Bisherige Ansätze
129 versuchen meist in der Menge aller Komparatornetzwerke jene zu finden, die
130 die Sortiereigenschaft besitzen und aus wenigen Komparatoren bestehen. Die
131 Eigenschaft, jede Eingabepermutation zu sortieren, ist also ein
132 Optimierungsziel und nicht durch das Vorgehen gewährleistet. Dafür können
133 theoretisch alle Sortiernetzwerke durch diese Algorithmen gefunden werden --
134 genügend Laufzeit vorausgesetzt.
136 In dieser Arbeit werden Methoden verwendet, die die Menge der Sortiernetzwerke
137 nie verlassen, dafür aber auch nicht alle existierenden Sortiernetzwerke
138 erzeugen können. So muss für ein gefundenes Komparatornetzwerk nicht mehr
139 nachgewiesen werden, dass es jede beliebige Eingabe sortiert, weil diese
140 Eigenschaft durch das Verfahren sichergestellt ist.
142 \subsection{Einleitung}\label{sect:einleitung}
144 \subsubsection{Sortiernetzwerke}\label{sect:einleitung_sortiernetzwerke}
146 \emph{Komparatoren} sind die Bausteine, die \emph{Komparatornetzwerken}
147 zugrunde liegen. Sie haben zwei Eingänge über die sie zwei Zahlen erhalten
148 können und zwei Ausgänge, auf denen die Zahlen wieder ausgegeben werden. Dabei
149 sind die Ausgänge im Gegensatz zu den Eingängen unterscheidbar, da die größere
150 der beiden Zahlen immer auf dem einen, die kleinere der beiden Zahlen
151 immer auf dem anderen Ausgang ausgegeben wird.
153 Kombiniert man mehrere \emph{Komparatoren} in der Form miteinander, dass die
154 Ausgänge eines Komparators mit Eingängen weiterer Komparatoren verbunden sind,
155 erhält man ein {\em Komparatornetzwerk}.
159 \input{images/einfaches_komparatornetzwerk.tex}
161 \caption{Einfaches Komparatornetzwerk mit 4~Ein- beziehungsweise Ausgängen,
162 bestehend aus 5~Komparatoren.}
163 \label{fig:einfaches_komparatornetzwerk}
166 Abbildung~\ref{fig:einfaches_komparatornetzwerk} zeigt ein einfaches
167 \emph{Komparatornetzwerk} aus fünf Komparatoren. Insgesamt gibt es vier
168 verschiedene Eingänge und vier Ausgänge. Die Ein- und Ausgänge werden durch
169 eine horizontale Linie dargestellt und als \emph{Leitung} bezeichnet. Die
170 \emph{Komparatoren} sind durch vertikale Pfeile dargestellt und verbinden je
171 zwei verschiedene \emph{Leitungen} miteinander. Die Verbindungsstellen von
172 \emph{Leitungen} und \emph{Komparatoren} sind zur besseren Übersichtlichkeit
173 durch schwarze Punkte symbolisiert.
175 Auf der linken Seite befinden sich die Eingänge. Hier wird eine Zahlenfolge in
176 das Netzwerk hinein gegeben. Jeder Komparator vergleicht die Zahlen „auf“ den
177 beiden Leitungen, die er verbindet. Nach einem Komparator befindet sich die
178 kleinere Zahl immer auf der Leitung, auf die der Pfeil zeigt, die größere Zahl
179 befindet sich auf der Leitung, auf der der Pfeil seinen Ursprung hat. Wenn in
180 einem Komparatornetzwerk alle Komparatoren in die gleiche Richtung zeigen --
181 die Konvention in dieser Arbeit ist, dass das Minimum auf der unteren Leitung
182 ausgegeben wird -- werden die Pfeile durch einfache Linien ersetzt. Zu diesen
183 sogenannten \emph{Standard-Netzwerken} siehe auch
184 Abschnitt~\ref{sect:normalisieren}.
186 Komparatoren, die \emph{unterschiedliche} Leitungen miteinander vergleichen,
187 können gleichzeitig angewendet werden. Das Beispiel in
188 Abbildung~\ref{fig:einfaches_komparatornetzwerk} verwendet diesen Umstand und
189 vergleicht die zwei oberen und die zwei unteren Leitungen gleichzeitig. Eine
190 Gruppe von Komparatoren, die gleichzeitig angewendet werden können, nennt man
191 eine \emph{Schicht} des Komparatornetzwerks. Die \emph{Geschwindigkeit} eines
192 Komparatornetzwerks ist gleichbedeutend mit der Anzahl der Schichten, in die
193 sich die Komparatoren mindestens gruppieren lassen, da sie die Anzahl der
194 benötigten parallelen Schritte darstellt.
196 \emph{Komparatornetzwerke}, die für \emph{jede} Eingabefolge eine Ausgabe
197 erzeugen, die der Sortierung der Eingabe entspricht, heißen
198 \emph{Sortiernetzwerke}. Das in
199 Abbildung~\ref{fig:einfaches_komparatornetzwerk} gezeigte Komparatornetzwerk
200 ist \emph{kein} Sortiernetzwerk: Die Eingabefolge ${(1, 2, 3, 4)}$ führt zur
201 Ausgabe ${(2, 1, 3, 4)}$ -- die bestehenden Sortierung wird also sogar
206 \input{images/09-e2-c24-allbut1.tex}
208 \caption{Ein \emph{Komparatornetzwerk} mit 9~Eingängen und 24~Komparatoren,
209 die in 8~Schichten angeordnet sind. Das Netzwerk sortiert alle Eingaben, bei
210 denen das Minimum nicht auf dem mittleren Eingang liegt.}
211 \label{fig:09-e2-c24-allbut1}
213 Zu beweisen, dass ein gegebenes Komparatornetzwerk die Sortiereigenschaft {\em
214 nicht} hat, ist mit einem gegebenen Gegenbeispiel einfach möglich. Das
215 Komparatornetzwerk wird auf das Gegenbeispiel angewendet und anschließend wird
216 überprüft, ob die Ausgabe sortiert ist. Ist sie es nicht, heißt das, dass es
217 mindestens eine Eingabefolge gibt, die nicht sortiert wird. Entsprechend der
218 Definition handelt es sich bei dem \emph{Komparatornetzwerk} folglich
219 \emph{nicht} um ein \emph{Sortiernetzwerk}. Ein solches Gegenbeispiel für ein
220 gegebenes Komparatornetzwerk zu finden ist nach heutigem Kenntnisstand jedoch
221 nicht \emph{effizient}\footnote{In diesem Zusammenhang heißt \emph{effizient},
222 dass keine Algorithmen bekannt sind, die eine polynomielle Laufzeit (in
223 Abhängigkeit von der Eingabelänge) haben.} möglich.
225 Beispielsweise sortiert das im Rahmen dieser Arbeit entdeckte
226 Komparatornetzwerk in Abbildung~\ref{fig:09-e2-c24-allbut1} viele der 362.880
227 möglichen Eingabepermutationen. Mit dem Gegenbeispiel $(3, 5, 2, 1, 0, 7, 4,
228 8, 6)$ lässt sich jedoch leicht beweisen, dass das Komparatornetzwerk die
229 Sortiereigenschaft \emph{nicht} besitzt, da es in diesem Fall die Folge $(1,
230 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)$ ausgibt.
232 Insgesamt gibt es $n!$~Permutationen von $n$~Elementen. Wenn ein
233 Komparatornetzwerk die Sortiereigenschaft besitzt, bildet es alle diese
234 Permutationen auf die sortierte Reihenfolge ab. Allerdings wächst $n!$
235 so schnell, dass ein Ausprobieren aller möglichen Permutationen schon bei
236 16~Leitungen praktisch nicht mehr zu bewerkstelligen
237 ist.\footnote{1.307.674.368.000 Permutationen}
239 \label{sect:0-1-prinzip}
240 Glücklicherweise reicht es aus, alle möglichen 0-1-Folgen zu überprüfen, wie
241 \textit{Donald~E. Knuth} in \cite{KNUTH} zeigt. Die Beweisidee ist folgende:
242 Angenommen ein Komparatornetzwerk sortiert alle 0-1-Folgen und es gibt eine
243 Permutation $E = (e_0, \dots, e_{n-1})$ beliebiger Zahlen, die nicht sortiert
244 wird. Die Ausgabefolge sei $A = (a_0, \dots, a_{n-1})$. Sei $i$ eine Position
245 in der Ausgabe, die die Sortierbedingung verletzt:
247 a_0 \leqq a_1 \leqq \dots \leqq a_{i-1} > a_i \dots
249 Die Eingabe kann mittels
257 auf eine 0-1-Folge abgebildet werden, die entsprechend der Annahme vom
258 Komparatornetzwerk sortiert wird. Allerdings verändert diese Abbildung das
259 Verhalten jedes einzelnen Komparators nicht: Wenn bei der Permutation eine
260 Zahl größer als $a_i$ und eine Zahl kleiner oder gleich $a_i$ verglichen
261 wurden, liegen jetzt entsprechend eine Null und eine Eins an, die genauso
262 vertauscht werden oder nicht, wie das bei der Permutation der Fall war. Liegen
263 zwei Nullen oder zwei Einsen an, entsprechen sie zwei Zahlen kleiner als
264 $a_i$, beziehungsweise zwei Zahlen größer oder gleich $a_i$. Da im Fall der
265 0-1-Folge zwei gleiche Zahlen am Komparator anliegen, dürfen wir davon
266 ausgehen, dass sich der Komparator so verhält, wie er sich bei der Permutation
267 verhalten hat -- ohne das Ergebnis zu beeinflussen. Entsprechend müssen an den
268 Ausgängen $i-1$ und $i$ eine Null und eine Eins in der falschen Reihenfolge
269 ankommen. Das steht im Widerspruch zu der Annahme, dass alle 0-1-Folgen
272 Im Gegensatz zum Überprüfen aller möglichen Permutationen, was mit dem Aufwand
273 $\Theta\left(\sqrt{n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\right)$ verbunden ist, besitzt
274 das Überprüfen aller 0-1-Folgen „nur“ den Aufwand $\Theta(2^n)$. Entsprechend
275 ist dieses Verfahren nicht \emph{effizient} -- ein schnelleres Verfahren ist
276 bisher allerdings nicht bekannt.
278 Um zu überprüfen, ob ein Komparatornetzwerk mit 16~Leitungen die
279 Sortiereigenschaft besitzt, sind mit dieser Methode nur 65.536 Tests notwendig
280 -- eine Zahl, die für aktuelle Prozessoren keine Herausforderung darstellt.
281 Für die Überprüfung eines Komparatornetzwerks mit 32~Leitungen sind jedoch
282 bereits etwa 4,3~Milliarden Tests notwendig, die einen Rechner durchaus
283 mehrere Stunden beschäftigen. Das ist deshalb problematisch, weil die im
284 Folgenden vorgestellten \emph{Evolutionären Algorithmen} eine entsprechende
285 Überprüfung in jeder Iteration durchführen müssten. Wenn die Überprüfung eines
286 Zwischenergebnisses drei Stunden in Anspruch nimmt, sind für eine Million
287 Iterationen etwa 340~Jahre Rechenzeit notwendig. Selbst wenn die Berechnung
288 auf 1000~Computern mit je 4~Prozessoren verteilt wird, wird etwa ein Monat für
291 \subsubsection{Evolutionäre Algorithmen}
293 Viele {\em kombinatorische Optimierungsprobleme} sind schwer zu lösen -- die
294 entsprechenden Entscheidungsprobleme liegen oft in der Komplexitätsklasse
295 $\mathcal{NP}$-vollständig. Das heißt, dass keine Verfahren bekannt sind, die
296 diese Probleme effizient exakt lösen. Sollte sich herausstellen, dass diese
297 Probleme außerhalb der Komplexitätsklasse~$\mathcal{P}$ liegen, wäre eine
298 Konsequenz, dass es für diese Probleme keine effizienten exakten Algorithmen
299 gibt. Stellt sich hingegen heraus, dass diese Probleme neben
300 $\mathcal{NP}$-vollständig auch in der Komplexitätsklasse~\textit{P} liegen,
301 gibt es effiziente Algorithmen. Es ist jedoch wahrscheinlich, dass die
302 Zeitkonstanten solcher Algorithmen sehr groß wären, so dass der praktische
303 Nutzen fraglich bleibt.
305 Aus diesem Grund besteht die Notwendigkeit, einen Kompromiss einzugehen: Statt
306 die \emph{optimale Lösung}, beziehungsweise eine der \emph{optimalen Lösungen}
307 als einzige Ausgabe des Algorithmus zuzulassen, wird eine "`möglichst gute"'
308 Lösung ausgegeben. Dafür verringert sich die Laufzeit des Algorithmus. Viele
309 dieser Optimierungsalgorithmen orientieren sich an Vorgängen in der Natur.
310 Beispielsweise imitieren die „Ameisenalgorithmen“ das Verhalten von Ameisen
311 auf der Futtersuche, um kurze Rundreisen auf Graphen zu berechnen.
313 Bei {\em Evolutionären Algorithmen} stand die Evolution Pate. Die Grundidee
314 ist, bekannte Lösungen zu neuen -- unter Umständen besseren -- Lösungen zu
315 kombinieren. Dabei bedient man sich der in der Evolutionstheorie etablierten
316 Nomenklatur, beispielsweise werden konkrete Lösungen für ein Problem als {\em
317 Individuen} bezeichnet.
319 Die Vorgehensweise lässt sich abstrakt wie folgt beschreiben: Aus einer
320 bestehenden Lösungsmenge, der {\em Population}, werden zufällig Lösungen
321 ausgesucht {\em (Selektion)} und zu einer neuen Lösung kombiniert ({\em
322 Rekombination}). Unter Umständen wird die neue Lösung noch zufällig
323 verändert {\em (Mutation)}, bevor sie in die bestehende Lösungsmenge
324 eingefügt wird. Die verwendeten Wahrscheinlichkeiten, beispielsweise bei der
325 {\em Selektion}, sind dabei nicht zwangsläufig gleichverteilt -- üblicherweise
326 werden bessere Lösungen bevorzugt. Zur Bewertung dient die sogenannte {\em
329 Nicht alle Probleme eignen sich für diese Strategie. Zum einen muss es möglich
330 sein, eine initiale Population zur Verfügung zu stellen, da diese als Basis
331 aller weiteren Operationen dient. Das ist häufig keine große Einschränkung, da
332 es oft einfach ist, {\em irgendeine} Lösung anzugeben. Die angegebenen
333 Algorithmen verwenden als einfache initiale Lösung häufig das
334 \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk, das in
335 Abschnitt~\ref{sect:odd_even_transpositionsort} beschrieben wird. Zum anderen
336 muss eine Methode für die Rekombination existieren. Das ist insbesondere dann
337 problematisch, wenn {\em Nebenbedingungen} eingehalten werden müssen. Die in
338 dieser Arbeit verwendeten Rekombinationsmethoden sind so gewählt, dass die
339 Nebenbedingungen nicht verletzt werden.
341 Beim Aussuchen von zufälligen Lösungen aus der Population, der
342 \emph{Selektion}, werden gute Lösungen bevorzugt. Wie sehr diese Lösungen
343 bevorzugt werden, hat einen starken Einfluss auf das Verhalten des
344 Algorithmus. Werden gute Lösungen stark bevorzugt, konvergiert der Algorithmus
345 schnell gegen ein (lokales) Optimum. Dieses \textit{Exploitation} (Englisch
346 für „Ausnutzung“) genannte Verhalten sorgt dafür, dass sich der Algorithmus
347 schnell auf eine Lösung festlegt und andere, möglicherweise bessere lokale
348 Optima nicht mehr findet. Werden gute Lösungen hingegen nur wenig bevorzugt,
349 erforscht der Algorithmus den Lösungsraum in viele Richtungen. Dieses
350 \textit{Exploration} (Englisch für „Erforschung“) genannte Verhalten sorgt
351 zwar dafür, dass der Algorithmus langsamer auf ein Optimum zusteuert, dafür
352 findet er aber in der Regel bessere Lösungen.
354 Die Parameter evolutionärer Algorithmen so einzustellen, dass sich ein guter
355 Mittelweg zwischen den beiden Extremen einstellt, ist eine Aufgabe, die sich
356 nur experimentell lösen lässt. Die genauen Parameter hängen nicht nur vom
357 eigentlichen Algorithmus, sondern auch vom konkreten Problem ab, so dass sich
358 beispielsweise bei der Optimierung von Sortiernetzwerken die Parameter
359 zwischen verschiedenen Leitungszahlen stark unterscheiden.
361 Die Erforschung (\textit{Exploration}) kann von einem weiteren Mechanismus
362 unterstützt werden, der ebenfalls der Evolutionslehre entliehen ist, der
363 \emph{Mutation}. Dabei werden Lösungen zufällig verändert, so dass auch andere
364 Lösungen „in der Nähe“ von direkten Nachfolgern erreicht werden können. Das
365 hilft insbesondere bei der intensiven Suche in der Nähe eines lokalen Optimums
366 aber auch beim „Ausbrechen“ aus lokalen Optima und finden noch besserer
369 Bei \emph{Sortiernetzwerken} ist eine \emph{Mutation} leider immer damit
370 verbunden, dass anschließend die Sortiereigenschaft des resultierenden
371 \emph{Komparatornetzwerks} wieder überprüft werden muss, da selbst das
372 Hinzufügen eines zufälligen Komparators diese Eigenschaft zer\-stö\-ren kann.
373 Beim Suchen möglichst effizienter Netzwerke ist das zufällige Entfernen von
374 Komparatoren interessanter, was die Sortiereigenschaft fast immer aufhebt.
376 Die im Folgenden beschriebenen Algorithmen mutieren (verändern) daher nicht
377 die \emph{Sortiernetzwerke} selbst, sondern verzichten entweder ganz auf
378 Mutation oder mutieren lediglich Transformationen von Sortiernetzwerken, die
379 die Sortiereigenschaft erhalten. Transformationen von Sortiernetzwerken werden
380 in Abschnitt~\ref{sect:tranformation} beschrieben, ein Algorithmus, der
381 Mutation einsetzt, wird in Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution-cut} vorgestellt.
383 \begin{figure} \begin{center} \input{images/16-hillis.tex} \end{center}
384 \caption{Das 16-Sortiernetzwerk, das \textit{Hillis} in~\cite{H1990} angibt.
385 Es besteht aus 61~Komparatoren in 11~Schichten.} \label{fig:16-hillis}
386 \end{figure} Evolutionäre Algorithmen wurden bereits mehrfach eingesetzt, um
387 Sortiernetzwerke zu untersuchen. \textit{W.~Daniel Hillis} verwendete
388 \emph{Co-Evolution} um neben Komparatornetzwerken auch „schwierige Eingaben“
389 zu optimieren~\cite{H1990}. Diese \emph{Parasiten} genannten Eingaben wurden
390 daran gemessen, bei wie vielen Komparatornetzwerken sie beweisen konnten, dass
391 sie keine Sortiernetzwerke sind. So mussten bei neuen Individuen
392 (Komparatornetzwerken) nicht alle 0-1-Folgen, sondern nur erfolgreiche
393 Parasiten (schwierige Eingaben) überprüft werden. Auf diese Art und Weise
394 gelang es \textit{Hillis} ein 16-Sortiernetzwerk mit 61~Komparatoren
395 anzugeben, das in Abbildung~\ref{fig:16-hillis} zu sehen ist.
399 \subfigure{\input{images/13-juille-0.tex}}
400 \subfigure{\input{images/13-juille-1.tex}}
401 \caption{13-Sortiernetzwerke, die von \textit{Hugues Juillé} mithilfe des
402 END-Algorithmus gefunden wurden. Sie bestehen jeweils aus 45~Komparatoren in
404 \label{fig:13-juille}
406 \textit{Hugues Juillé} entwickelte ein Verfahren, das er \emph{Evolving
407 Non-Determinism} (END) nannte~\cite{J1995}. Dabei handelt es sich nicht um
408 einen der \emph{Evolutionären Algorithmen}, wie sie hier vorgestellt wurden,
409 sondern um eine verteilte, probabilistische Breitensuche, die an die
410 \emph{Strahlsuche} (englisch: \textit{beam search}), ein Verfahren der
411 Künstlichen Intelligenz, angelehnt ist. Die aufwendigste Operation bei diesem
412 Ansatz ist die Bewertungsfunktion, die abschätzt, wie viele Komparatoren zu
413 einem Komparatornetzwerk hinzugefügt werden müssen, um ein Sortiernetzwerk zu
414 erhalten. Mit diesem Ansatz gelang es \textit{Juillé} zwei 13-Sortiernetzwerke
415 anzugeben, die mit 45~Komparatoren effizienter sind als alle bis dahin
416 bekannten (Abbildung~\ref{fig:13-juille}).
419 \section[Konstruktionsverfahren]{Konstruktionsverfahren für Sortiernetzwerke}
420 \label{sect:konstruktive_netzwerke}
422 Die bekannten Konstruktionsverfahren für Sortiernetzwerke, insbesondere ein
423 häufig verwendeter Baustein, sogenannte \emph{Mischer}\footnote{Eine
424 Fehlübersetzung aus dem Englischen, von \textit{to~merge} (Deutsch:
425 zusammenfügen). Da der Begriff des "`mischens"' beziehungsweise der
426 "`Mischer"' in der Literatur sehr weit verbreitet ist, werden diese Begriffe
427 in dieser Arbeit trotzdem verwendet.}, bilden die Grundlage für die
428 beschriebenen evolutionären Algorithmen beziehungsweise dienen als initiale
429 Eingabe. Im Folgenden werden daher drei Konstruktionsverfahren vorgestellt.
431 \subsection{Das Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk}
432 \label{sect:odd_even_transpositionsort}
434 Das Sortiernetzwerk {\em Odd-Even-Transpositionsort} (OET) ist eines der
435 einfachsten Sortiernetzwerke. Es besteht aus $n$~{\em Schichten}, die jede
436 "`Leitung"' abwechselnd mit den benachbarten Leitungen verbindet.
437 Abbildung~\ref{fig:odd-even-transposition-08} zeigt das OET-Netzwerk für
442 \input{images/oe-transposition-8.tex}
444 \caption{Das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk mit 8~Eingängen.}
445 \label{fig:odd-even-transposition-08}
448 Dass das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk tatsächlich jede beliebige
449 Eingabe sortiert, ist nicht offensichtlich. Leicht zu sehen ist jedoch, dass
450 sowohl das Minimum als auch das Maximum durch das im Netzwerk enthaltene
451 Treppenmuster auf die unterste beziehungsweise oberste Leitung gelangt.
453 Die Sortiereigenschaft größerer OET-Netzwerke lässt sich rekursiv beweisen,
454 indem man $\operatorname{OET}(n)$ auf $\operatorname{OET}(n-1)$ durch
455 Herausschneiden einer Leitung reduziert. In
456 Abschnitt~\ref{sect:leitungen_entfernen} wird das Vorgehen im Detail
457 beschrieben, Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut} zeigt das
458 Herausschneiden einer Leitung aus $\operatorname{OET}(8)$. Die Rekursion endet
459 beim \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk mit drei Eingängen, bei dem
460 das Minimum auf der untersten, das Maximum auf der obersten und der mittlere
461 Wert auf der mittleren Leitung landet. Folglich ist die Ausgabe bei
462 $\operatorname{OET}(3)$ sortiert.
464 Das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk ist weder in Bezug auf die
465 Anzahl der Komparatoren noch in Bezug auf die Anzahl der Schichten, in denen
466 sich die Komparatoren anordnen lassen, effizient. Es benötigt ${\frac12 n
467 (n-1)} = \Theta(n^2)$~Komparatoren, die in $n$~Schichten angeordnet sind.
468 Die im Folgenden vorgestellten Sortiernetzwerke benötigen deutlich weniger Komparatoren,
469 ($\Theta(n \log (n)^2)$), die in weniger Schichten,
470 ($\Theta(\log (n)^2)$), angeordnet sind.
472 Das Interessante am OET-Netzwerk ist seine einfache Konstruktion. Einige der
473 folgenden Algorithmen benötigen ein möglichst einfaches Sortiernetzwerk als
474 Starteingabe, auf dessen Basis sie versuchen optimierte Sortiernetzwerke zu
475 finden. Häufig dient $\operatorname{OET}(n)$ als Eingabe für diese
478 Außerdem bedienen sich die Algorithmen der Technik des Herausschneidens einer,
479 beziehungsweise mehrerer Leitungen, um die Anzahl der Leitungen eines
480 Sortiernetzwerks zu reduzieren. Die Technik wird in Detail im
481 Abschnitt~\ref{sect:leitungen_entfernen} beschrieben.
483 \subsection{Das bitone Mergesort-Netzwerk}
485 Das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk ($\operatorname{BS}(n)$) ist ein
486 Sortiernetzwerk, das 1968 von \emph{Kenneth~E. Batcher} in~\cite{B1968}
487 veröffentlicht wurde. Es ist deutlich effizienter als das
488 Odd-Even-Transposi\-tionsort-Netzwerk -- sowohl in Bezug auf die Anzahl der
489 Komparatoren als auch der benötigten Zeit, also der Anzahl der Schichten.
491 Das Sortiernetzwerk basiert auf einem Komparatornetzwerk, welches zwei
492 sortierte Listen zusammenfügen (Englisch: \textit{to~merge}) kann. Dieser
493 \emph{„bitone Mischer“} (Englisch: \textit{bitonic merger}) genannte Baustein
494 verleiht dem Sortiernetzwerk seinen Namen.
496 Da das Sortiernetzwerk rekursiv definiert ist, betrachten wir hier nur die
497 Instanzen des Netzwerks, deren Leitungszahl $n = 2^d$ eine Zweierpotenz ist.
498 Es ist jedoch möglich, das Sortiernetzwerk für beliebige~$n$ zu erzeugen.
500 \subsubsection{Der bitone Mischer}\label{sect:der_bitone_mischer}
502 Das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk basiert auf dem sogenannten \emph{bitonen
503 Mischer} $\operatorname{BM}(n)$, einem Kom\-parator-Netzwerk, das eine
504 beliebige \emph{bitone Folge} in eine sortierte Liste umordnen kann. Eine
505 \emph{bitone Folge} ist eine monoton steigende Folge, gefolgt von einer
506 monoton absteigenden Folge, oder ein zyklischer Shift davon.
507 Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton} zeigt die vier prinzipiellen Möglichkeiten,
508 die durch zyklische Shifts entstehen können. Die wichtigsten Varianten für das
509 \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk zeigen die
510 Abbildungen~\ref{fig:beispiel-biton-0} und~\ref{fig:beispiel-biton-1}. Sie
511 erhält man, wenn man eine aufsteigend und eine absteigend sortierte Liste
512 aneinanderhängt. Bei den anderen beiden Formen ist wichtig zu beachten, dass
513 das letzte Element nicht größer (Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton-2}) beziehungsweise
514 kleiner (Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton-3}) als das erste Element der Folge
519 \subfigure[aufsteigend, absteigend]{\input{images/beispiel-biton-0.tex}\label{fig:beispiel-biton-0}}
520 \subfigure[absteigend, aufsteigend]{\input{images/beispiel-biton-1.tex}\label{fig:beispiel-biton-1}}
521 \subfigure[aufsteigend, absteigend, aufsteigend]{\input{images/beispiel-biton-2.tex}\label{fig:beispiel-biton-2}}
522 \subfigure[absteigend, aufsteigend, absteigend]{\input{images/beispiel-biton-3.tex}\label{fig:beispiel-biton-3}}
523 \caption{Beispiele bitoner Folgen.}
524 \label{fig:beispiel-biton}
529 \subfigure[normal]{\input{images/bitonic-merge.tex}\label{fig:bitonic-merge-normal}}
531 \subfigure[trichter]{\input{images/bitonic-merge-trichter.tex}\label{fig:bitonic-merge-tricheter}}
532 \caption{Schematischer Aufbau des bitonen Mischers: Jedes Element der
533 aufsteigenden Folge $u_0, u_1, \ldots$ wird mit dem entsprechenden Element
534 der absteigend sortierten Folge $v_0, v_1, \ldots$ verglichen. Die beiden
535 resultierenden Teilfolgen sind wiederum biton.}
536 \label{fig:bitonic-merge-schema}
539 Der Mischer funktioniert folgendermaßen: Gegeben sind zwei Folgen mit je
540 ${m = \frac{n}{2}}$ Elementen, $U = \left(u_0, u_1, \ldots, u_{m-1}\right)$ und
541 $V = \left(v_0, v_1, \ldots, v_{m-1}\right)$. Die Folge $U$ sei aufsteigend
542 sortiert, die Folge $V$ sei absteigend sortiert:
544 u_0 \leqq u_1 \leqq &\ldots& \leqq u_{m-1} \\
545 v_0 \geqq v_1 \geqq &\ldots& \geqq v_{m-1}
547 Im ersten Schritt werden nun jeweils die Elemente an den gleichen relativen
548 Positionen verglichen und ggf. vertauscht:
550 u_i \longleftrightarrow v_i, \quad 0 \leqq i < m
552 Sei $j \in \{0 \ldots m\}$ der Index der ersten Elemente $u_j$ und $v_j$, die
553 durch den gemeinsamen Komparator vertauscht werden. Unter der Annahme, dass
554 Elemente nur vertauscht werden wenn, sie ungleich sind, muss ${u_j > v_j}$
555 gelten. Mit $u_j \leqq u_{j+1}$ und $v_j \geqq v_{j+1}$ folgt daraus $u_{j+1}
556 > v_{j+1}$. Es werden also alle Elemente $u_k$ und $v_k$ mit $k \geqq j$
557 vertauscht. $j = m$ bezeichnet den Fall, in dem das größte Element der
558 "`linken"' Folge $u_{m-1}$ kleiner ist als das kleinste Element der
559 "`rechten"' Folge $v_{m-1}$. Daraus folgt, dass sich das Resultat in zwei
560 bitone Folgen aufteilen lässt: Eine aufsteigende~/ absteigende Folge und eine
561 absteigende~/ aufsteigende Folge. Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-normal}
562 zeigt die Situationen vor und nach diesem Schritt des Mischers schematisch.
564 Um die Folge vollständig zu sortieren, müssen anschließend die beiden
565 resultierenden bitonen Folgen sortiert werden. Die geschieht ebenfalls
566 mithilfe des bitonen Mischers, mit zwei Instanzen von
567 $\operatorname{BM}(\frac{n}{2})$. Diese rekursive Definition endet mit dem
568 bitonen Mischer mit zwei Leitungen, $\operatorname{BM}(2)$, der als
569 Komparator-Netzwerk mit einem Komparator zwischen den beiden Leitungen
572 Der bitone Mischer kann auch zwei aufsteigende Folgen sortieren. Dazu ist
573 lediglich eine etwas modifizierte Vergleichs-Kaskade im ersten Schritt
574 notwendig. Die folgenden, kleineren Mischer erhalten als Eingabe wieder eine
575 „echte“ bitone Folge. Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-tricheter} zeigt das
576 Schema des bitonen Mischers für zwei aufsteigend sortierte Folgen. Durch das
577 Umdrehen einer Folge verändert sich das Muster der Komparatoren ein wenig:
578 Statt an eine Treppe erinnert das Muster nun an einen Trichter.
580 Da sich die Anzahl der Leitungen in jedem Rekursionsschritt halbiert, endet
581 die Rekursion nach $\log(n)$~Schritten. In jedem Rekursionsschritt werden
582 $\frac{n}{2}$~Komparatoren eingefügt, so dass der gesamte Mischer aus
583 $\frac{1}{2} n \log(n) = \Theta\left(n \log(n)\right)$~Komparatoren
584 besteht, die in $\log(n)$~Schichten angeordnet werden können.
586 \subsubsection{Das bitone Mergesort-Netzwerk}
588 Ebenso wie der bitone Mischer $\operatorname{BM}(n)$ ist auch das \emph{bitone
589 Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{BS}(n)$ rekursiv definiert. Es setzt sich
590 zusammen aus zwei Instanzen des bitonen Mergesort-Netzwerks halber Größe
591 $\bs{\frac{n}{2}}$ für je die Hälfte der Eingänge, sowie dem bitonen Mischer
592 für $n$~Leitungen $\operatorname{BM}(n)$. Das Rekursionsende ist das bitone
593 Mergesort-Netzwerk mit nur einer Leitung $\operatorname{BS}(1)$, welches als
594 leeres Komparatornetzwerk definiert ist. Entsprechend sind die
595 Komparatornetzwerke $\operatorname{BM}(2)$ und $\operatorname{BS}(2)$
598 Bei der Konstruktion kommt die trichterförmige Anordnung der Komparatoren
599 (Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-tricheter}) gelegen, weil so die beiden
600 rekursiven Sortiernetzwerke in die gleiche Richtung sortieren können und so
601 alle Komparatoren in die gleiche Richtung zeigen.
605 \input{images/batcher-8.tex}
607 \caption{\bs{8}, Batchers \emph{bitones Mergesort}-Netzwerk für 8~Eingänge.
608 Markiert sind die beiden Instanzen von \bs{4} (rot), die beiden bitonen
609 Mischer~\bm{4} (blau) und die Komparatoren, die im letzten rekursiven
610 Schritt hinzugefügt wurden (grün).}
611 \label{fig:bitonic-08}
614 Das Sortiernetzwerk~$\operatorname{BS}(8)$ ist in
615 Abbildung~\ref{fig:bitonic-08} zu sehen. Eingezeichnet sind ebenfalls die
616 beiden Instanzen des Netzwerks~$\operatorname{BS}(4)$ (rot) sowie der bitone
617 Mischer~$\operatorname{BM}(8)$ (blau). Die trichterförmige Komparator-Kaskade,
618 die die bitone Eingabefolge in zwei bitone Ausgabefolgen transformiert, ist
621 Das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk mit einer Leitungszahl $n = 2^d$, die
622 eine Zweierpotenz ist, besteht aus $\frac{1}{4} n \log(n) \log(n+1) =
623 \Theta\left(n (log (n))^2\right)$ Komparatoren, die in $\frac{1}{2}
624 \log(n) \log(n+1) = \Theta(\log(n)^2)$ Schichten angeordnet sind.
626 \subsection{Das Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
628 Obwohl der Name ähnlich klingt, haben das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk
629 (OES) und das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk (siehe
630 Abschnitt~\ref{sect:odd_even_transpositionsort}) wenig gemein. Vielmehr ist
631 OES dem \emph{bitonen Mergesort}-Netzwerk, das im vorherigen Abschnitt
632 vorgestellt wurde, ähnlich: Auch dieses Sortiernetzwerk ist von
633 \textit{Kenneth~E. Batcher} gefunden worden und ist ebenfalls in~\cite{B1968}
634 beschrieben und initial analysiert worden. Eine weitere Gemeinsamkeit besteht
635 darin, dass es ebenfalls rekursiv durch einen Mischer definiert ist.
637 \subsubsection{Der \emph{Odd-Even}-Mischer}\label{sect:der_odd_even_mischer}
639 Der \emph{Odd-Even}-Mischer $\operatorname{OEM}(n,m)$ ist ein
640 Komparatornetzwerk, das zwei sortierte Folgen mit $n$ beziehungsweise $m$
641 Elementen zu einer sortierten Ausgabefolge mit $N = n+m$~Elementen
642 zusammenfügen kann. Dabei kommt es mit weniger Vergleichen aus als der
643 \emph{bitone Mischer}, der im Abschnitt~\ref{sect:der_bitone_mischer}
644 vorgestellt wurde. Im allgemeinen Fall, wenn die Anzahl der Leitungen keine
645 Zweierpotenz ist, kann das \emph{bitonic-Merge}-Netzwerk schneller sein
646 als das \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk.~\cite{KNUTH}
648 Der \emph{Odd-Even}-Mischer selbst ist ebenfalls rekursiv aufgebaut: Die
649 Eingabe für den Mischer mit $N = n + m$ Leitungen besteht aus den beiden
650 sortierten Folgen $U = \left(u_0, u_1, \ldots, u_{n-1}\right)$ und
651 $V = \left(v_0, v_1, \ldots, v_{m-1}\right)$. Die gesamte Eingabe sei
652 $W = \left(w_0, w_1, \ldots, w_{N-1}\right)$ mit:
654 w_i = \left\{ \begin{array}{ll}
663 \input{images/oe-merge.tex}
665 \caption{Schematischer Aufbau des \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerks. Die
666 beiden Dreiecke symbolisieren die beiden sortierten Folgen $U$ und $V$,
667 die Blöcke darunter die rekursiven Mischer mit etwa der Hälfte der
668 Leitungen. Im Vergleich zum \emph{bitonen Mischer} für 8~Leitungen kommt
669 dieses Schema mit einem Komparator weniger aus. Der Effekt wird durch den
670 rekursiven Aufbau verstärkt.}
674 Diese werden in insgesamt vier sortierte Folgen aufgeteilt, je eine Liste der
675 geraden Indizes und je eine Liste der ungeraden Indizes.
677 U_{\textrm{gerade}} &=& \left(u_0, u_2, u_4, \ldots\right) \\
678 U_{\textrm{ungerade}} &=& \left(u_1, u_3, u_5, \ldots\right) \\
679 V_{\textrm{gerade}} &=& \left(v_0, v_2, u_4, \ldots\right) \\
680 V_{\textrm{ungerade}} &=& \left(v_1, v_3, u_5, \ldots\right)
683 Die geraden Folgen $U_{\textrm{gerade}}$ und $V_{\textrm{gerade}}$,
684 beziehungsweise die ungeraden Folgen $U_{\textrm{ungerade}}$ und
685 $V_{\textrm{ungerade}}$ werden rekursiv von kleineren \emph{Odd-Even}-Mischern
686 zusammengefügt, so dass sich am Ausgang der Mischer die Folgen
688 W_{\textrm{gerade}} &=& \left(w_0, w_2, w_4, \ldots\right) \\
689 W_{\textrm{ungerade}} &=& \left(w_1, w_3, w_5, \ldots\right)
693 Anschließend werden die Komparatoren zwischen benachbarten Leitungen
696 w_{2i-1} \longleftrightarrow w_{2i}, \quad 1 \leqq i < \frac{N}{2}
698 die die Folge~$W$ sortieren. Den schematischen Aufbau des
699 \emph{Odd-Even}-Mischers zeigt Abbildung~\ref{fig:oe-merge}.
701 Leider bricht die Rekursion nicht so schön ab, wie das beim {\em bitonen
702 Mischer} der Fall gewesen ist. Insbesondere für ${n = m = 1}$ würde --
703 entsprechend der Konstruktionsvorschrift -- ein leeres Netzwerk entstehen, was
704 offensichtlich nicht korrekt wäre. Die Abbruchbedingungen für den rekursiven
707 \item Falls ${n = 0}$ oder ${m = 0}$: Das Netzwerk ist leer.
708 \item Falls ${n = 1}$ und ${m = 1}$: Das Netzwerk besteht aus einem
709 einzelnen Komparator.
712 Mit dem {\em 0-1-Prinzip} lässt sich zeigen, dass die resultierende Folge
713 sortiert ist. Da $U$ und $V$ sortiert sind, ist die Anzahl der Nullen in den
714 geraden Teilfolgen $U_{\textrm{gerade}}$, beziehungsweise
715 $V_{\textrm{gerade}}$ größer oder gleich der Anzahl der Nullen in den
716 ungeraden Teilfolgen $U_{\textrm{ungerade}}$ beziehungsweise
717 $V_{\textrm{ungerade}}$ --~die Einsen verhalten sich entsprechend umgekehrt.
718 Das trifft demnach auch auf die Folgen $W_{\textrm{gerade}}$ und
719 $W_{\textrm{ungerade}}$ entsprechend zu:
721 \left|W_{\textrm{gerade}}\right|_0
722 &=& \left|U_{\textrm{gerade}}\right|_0
723 + \left|V_{\textrm{gerade}}\right|_0
724 = \left\lceil \frac{1}{2} \left|U\right|_0 \right\rceil
725 + \left\lceil \frac{1}{2} \left|V\right|_0 \right\rceil \\
726 \left|W_{\textrm{ungerade}}\right|_0
727 &=& \left|U_{\textrm{ungerade}}\right|_0
728 + \left|V_{\textrm{ungerade}}\right|_0
729 = \left\lfloor \frac{1}{2} \left|U\right|_0 \right\rfloor
730 + \left\lfloor \frac{1}{2} \left|V\right|_0 \right\rfloor
732 Daraus folgt, dass $W_{\textrm{gerade}}$ $0$, $1$ oder $2$ Nullen mehr enthält
733 als $W_{\textrm{ungerade}}$. In den ersten beiden Fällen ist die "`verzahnte"'
734 Ausgabe der beiden kleineren Mischer bereits sortiert. Nur im letzten Fall,
735 wenn $W_{\textrm{gerade}}$ zwei Nullen mehr enthält als
736 $W_{\textrm{ungerade}}$, muss genau eine Vertauschung stattfinden, um die
737 Ausgabe zu sortieren. Diese wird von den Komparatoren ausgeführt, die
738 benachbarte Leitungen miteinander vergleichen. Die jeweiligen Situationen sind
739 in Abbildung~\ref{fig:oe-post-recursive} dargestellt.
743 \subfigure[$\left|W_{\textrm{gerade}}\right|_0 - \left|W_{\textrm{ungerade}}\right|_0 = 0$]{\input{images/oe-post-recursive-diff0.tex}}
745 \subfigure[$\left|W_{\textrm{gerade}}\right|_0 - \left|W_{\textrm{ungerade}}\right|_0 = 1$]{\input{images/oe-post-recursive-diff1.tex}}
747 \subfigure[$\left|W_{\textrm{gerade}}\right|_0 - \left|W_{\textrm{ungerade}}\right|_0 = 2$]{\input{images/oe-post-recursive-diff2.tex}}
748 \caption{Die drei Situationen, die nach dem Verzahnen der Ausgaben der
749 kleineren \emph{Odd-Even}-Mischer entstehen können. Ist die Differenz der
750 Anzahl der Nullen gleich $0$ oder $1$, ist die Folge bereits sortiert. Im
751 letzten Fall stellt einer der Komparatoren sicher, dass das Ergebnis
753 \label{fig:oe-post-recursive}
756 Da die Teilfolgen $U$ und $V$ in jedem Rekursionsschritt etwa halbiert werden,
757 bricht die Rekursion nach $\Theta\left(\log (n) + \log (m)\right)$
758 Schritten ab. Die exakte Anzahl der benötigten Rekursionsschritte (und damit
759 Schichten im Mischer-Netzwerk), hängt von der längeren der beiden
760 Eingabefolgen ab und beträgt $1 + \lceil \log\left(\max(n, m)\right) \rceil$.
762 Die Anzahl der Komparatoren $K(n,m)$, die $\operatorname{OEM}(n,m)$ im
763 allgemeinen Fall verwendet, hängt gemäß der rekursiven Definition von der
764 Länge der Eingabefolgen, $n$ und $m$ ab:
766 K(n,m) = \left\{ \begin{array}{ll}
767 nm, & \mathrm{falls} \quad nm \leqq 1 \\
768 K\left(\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil, \left\lceil \frac{m}{2} \right\rceil\right)
769 + K\left(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{m}{2} \right\rfloor\right)
770 + \left\lfloor \frac{1}{2} (m + n - 1) \right\rfloor & \mathrm{falls} \quad nm > 1
773 Leider ist es schwierig, diese allgemeine Formel in einer geschlossenen Form
774 anzugeben. Aus der Anzahl der Rekursionsschritte ist jedoch leicht erkennbar,
775 dass $K(n,m)$ in $\Theta(N \log (N))$ enthalten ist.
777 Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = m = 2^{d-1}$ beträgt, lässt sich die
778 Anzahl der Komparatoren im Vergleich zum \emph{bitonen Mischer} angeben: Der
779 erste Rekursionsschritt der OEM-Konstruktion fügt
780 $\left\lfloor \frac{1}{2} (m + n - 1) \right\rfloor = \frac{N}{2} - 1$
781 Komparatoren ein -- einen Komparator weniger als der \emph{bitone Mischer} in
782 diesem Schritt. Das selbe gilt für die rekursiv verwendeten kleineren Mischer
783 $\operatorname{OEM}(\frac{n}{2}, \frac{n}{2})$ und so weiter bis
784 einschließlich $\operatorname{OEM}(2, 2)$, von denen es $2, 4, \dots,
785 \frac{N}{4} = 2^{\log(N)-2}$ Instanzen gibt. Insgesamt werden
787 \sum_{i=0}^{\log(N)-2} 2^i = 2^{\log(N) - 1} - 1 = \frac{N}{2} - 1 = n - 1
789 Komparatoren eingespart. Damit ergibt sich
791 K\left(n = 2^{d-1}, n = 2^{d-1}\right) = \frac{1}{2} N \log(N) - \frac{N}{2} + 1
793 für die Anzahl der Komparatoren, die von $\operatorname{OEM}(N = 2^d)$
796 \subsubsection{Das Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
798 Das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk $\operatorname{OES}(n)$ besteht, wie
799 das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk, rekursiv aus kleineren Varianten von
800 sich selbst und einem abschließenden \emph{Odd-Even}-Mischer. Die
801 effizientesten Sortiernetzwerke in Bezug auf Komparator- und Schichtzahl
802 entstehen, wenn die Anzahl der Leitungen jeweils halbiert wird. Somit besteht
803 \oes{n} aus $\oes{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}$,
804 $\oes{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}$ und
805 $\oem{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil, \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}$.
806 Die Rekursion endet mit $\operatorname{OES}(1)$ und $\operatorname{OES}(0)$,
807 die als leere Komparatornetzwerke definiert sind.
811 \input{images/oe-mergesort-8.tex}
813 \caption{Das {\em Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} für 8~Eingänge. Markiert
814 sind die Instanzen von $\operatorname{OES}(4)$ (rot), die beiden
815 \emph{Odd-Even}-Mischer $\operatorname{OEM}(4)$ für gerade und ungerade
816 Leitungen (blau) und die im ersten Rekursionsschritt hinzugefügten
817 Komparatoren zwischen benachbarten Leitungen (grün).}
818 \label{fig:odd-even-mergesort-08}
821 In Abbildung~\ref{fig:odd-even-mergesort-08} ist das \oes{8}-Sortiernetzwerk
822 zu sehen. Rot markiert sind die beiden rekursiven Instanzen
823 $\operatorname{OES}(4)$. Die anderen Blöcke stellen den
824 \emph{Odd-Even}-Mischer für 8~Leitungen dar: die beiden blauen Blöcke sind
825 die rekursiven Instanzen von $\operatorname{OEM}(4)$, der grüne Block markiert
826 die Komparatoren, die im ersten Rekursionsschritt hinzugefügt werden.
828 Im Allgemeinen ist die Anzahl der Komparatoren, die vom
829 \emph{Odd-Even-Mergesort-Netz\-werk} verwendet wird, $k(n)$, direkt aus der
830 Definition, beziehungsweise der Konstruktionsanleitung abzulesen:
832 k(n) = k\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil\right)
833 + k\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)
834 + K\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil, \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)
836 Da es schwierig ist für $K(n,m)$ eine geschlossene Form anzugeben, ist eine
837 geschlossene Darstellung von $k(n)$ ebenfalls nicht ohne weiteres möglich. Es
838 ist allerdings bekannt, dass $k(n)$ in $\Theta\left(n \left(\log
839 (n)\right)^2\right)$ enthalten ist.
841 Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = 2^d$ eine Zweierpotenz ist, kann die
842 Anzahl der Komparatoren wieder explizit angegeben werden. \textit{Kenneth
843 Batcher} zeigt in~\cite{B1968}, dass in diesem Fall
845 k(n = 2^d) = \frac{1}{4} n \left(\log (n)\right)^2 - \frac{1}{4}n\log(n) + n - 1
849 %\subsection{Das Pairwise-Sorting-Netzwerk}
851 %Das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk \ps{n} ist eine Konstruktionsvorschrift
852 %für Sortiernetzwerke, die 1992 von \textit{Ian Parberry} in seiner Arbeit „The
853 %Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992} definiert wurde. Wenn die Anzahl der
854 %Leitungen $n = 2^d$ eine Zweierpotenz ist, hat das
855 %\emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk die selbe Effizienz und Geschwindigkeit wie
856 %das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk.
859 \section{Transformation von Sortiernetzwerken}
860 \label{sect:tranformation}
862 \subsection{Komprimieren}
864 Komparatoren, die unterschiedliche Leitungen miteinander vergleichen, können
865 gleichzeitig ausgewertet werden, wie bereits in
866 Abschnitt~\ref{sect:einleitung_sortiernetzwerke} beschrieben. Durch manche
867 Transformationen, insbesondere das Entfernen einer Leitung wie in
868 Abschnitt~\ref{sect:leitungen_entfernen} beschrieben, kann es vorkommen, dass
869 die Komparatoren eines Sortiernetzwerks nicht mehr in der kleinstmöglichen
870 Anzahl von \emph{Schichten} angeordnet sind. Unter \emph{Komprimierung} wird
871 eine (Neu-)Gruppierung der Komparatoren verstanden, die jeden Komparator so
872 früh wie möglich ausführt. So entsteht die kleinstmögliche Anzahl von
873 \emph{Schichten}, in die sich ein Sortiernetzwerk unterteilen lässt.
875 Diese Anzahl ist insbesondere beim automatisierten Bewerten von
876 Komparatornetzwerken interessant, wie in Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution:bewertung}
877 beschrieben. Die Anzahl der Schichten kann künstlich vergrößert werden, indem
878 Komparatoren später angewendet werden. Deshalb sollte vor einer Bewertung, die
879 die Anzahl der Schichten als Bewertungskriterium verwendet, immer eine
880 Komprimierung durchgeführt werden.
882 \subsection{Normalisieren}
883 \label{sect:normalisieren}
887 \subfigure[$S(8)$ (nach Konstruktion)]{\input{images/batcher-8-nonstd.tex}\label{fig:bitonic-nonstd}}
888 \subfigure[$S(8)$ (normalisiert)]{\input{images/batcher-8-std.tex}\label{fig:bitonic-std}}
889 \caption{Jedes Sortiernetzwerk kann in ein Standard-Sortiernetzwerk
890 transformiert werden. Gezeigt ist das bitone Sortiernetzwerk nach der
891 intuitiven Konstruktion und die normalisierte Variante.}
892 \label{fig:beispiel_normalisieren}
895 Ein \emph{Standard-Sortiernetzwerk} oder \emph{normalisiertes Sortiernetzwerk}
896 ist ein Sortiernetzwerk, dessen Komparatoren alle in die selbe Richtung
897 zeigen.\footnote{Die Konvention in dieser Arbeit ist, dass in diesem Fall alle
898 Pfeile nach unten zeigen. Das Minimum wird auf der untersten, das Maximum auf
899 der obersten Leitung ausgegeben.} Jedes Sortiernetzwerk kann in eine
900 normaliesierte Variante transformiert werden. Dazu gibt beispielsweise
901 \emph{Donald~E. Knuth} in~\cite{KNUTH} einen Algorithmus an.
903 Abbildung~\ref{fig:beispiel_normalisieren} stellt das \emph{bitone
904 Mergesort}-Netzwerk in zwei Varianten dar. Abbildung~\ref{fig:bitonic-nonstd}
905 zeigt das Netzwerk nach der Konstruktionsvorschrift, siehe auch
906 Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-normal}: In den ersten drei Schichten werden
907 die untere und die obere Hälfte gegenläufig sortiert. Das heißt, dass nach
908 drei Schritten die eine Hälfte auf- und die andere Hälfte absteigend sortiert
909 ist. In den Schichten~4 bis~6 folgt der bitone Mischer entsprechend der
910 rekursiven Definition.
912 In Abbildung~\ref{fig:bitonic-std} ist die normalisierte Version des bitonen
913 Mergesort-Netzwerks zu sehen. Alle Komparatoren zeigen hier in die selbe
914 Richtung. Statt dem typischen „Treppenmuster“ sind abwechselnd das Treppen-
915 und das Trichtermuster zu sehen.
917 \subsection{Zwei Netzwerke kombinieren}
919 Um Sortiernetzwerke als \emph{Individuen} evolutionärer Algorithmen verwenden
920 zu können, muss es möglich sein, zwei Sortiernetzwerke zu einem neuen
921 Sortiernetzwerk zusammenzufassen.
923 Diese Technik wurde in den vorangegangen Abschnitten bereits verwendet,
924 beispielsweise um zwei \emph{bitone Mergesort}-Netzwerke mit jeweils der
925 halben Leitungszahl, $\operatorname{BS}\left(\frac{n}{2}\right)$, zu einem
926 einzigen Sortiernetzwerk $\operatorname{BS}(n)$ zu kombinieren. Auch das
927 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk $\operatorname{OES}(n)$ wurde auf diese Art
928 und Weise rekursiv aufgebaut.
930 Die vorgestellten \emph{Mischer} erwarten als Eingabe zwei bereits sortierte
931 Folgen. \emph{Wie} diese Folgen sortiert wurden ist unerheblich. Entsprechend
932 können wir beliebige Sortiernetzwerke einsetzen, um die beiden Eingabefolgen
933 zu sortieren und die Ausgaben mit einem der beschriebenen Mischer
936 Beispielsweise kann die Ausgabe von zwei \emph{bitonen Mergesort-Netzwerken}
937 $\operatorname{BS}(8)$ mit je 8~Leitungen mit dem
938 \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk $\operatorname{OEM(8,8)}$ zu einer sortierten
939 Gesamtfolge zusammengefügt werden. Das resultierende Sortiernetzwerk besitzt
940 73~Komparatoren (zum Vergleich: $\operatorname{BS}(16)$ benötigt
941 80~Komparatoren, $\operatorname{OES}(16)$ nur 63).
943 Verbesserungen der Effizienz (die Anzahl der benötigten Komparatoren),
944 beziehungsweise der Geschwindigkeit (die Anzahl der Schichten) eines „kleinen“
945 Sortiernetzwerks, übertragen sich direkt auf das resultierende Gesamtnetzwerk.
946 Das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk $\operatorname{OES}(9)$ benötigt
947 beispielsweise 26~Komparatoren, die in 9~Schichten angeordnet sind. Es sind
948 allerdings Sortiernetzwerke mit 9~Eingängen bekannt, die lediglich
949 25~Komparatoren in 7~Schichten benötigen. Wenn zwei dieser Netzwerke mit dem
950 \emph{Odd-Even}-Mischer kombiniert werden, entsteht ein 18-Sortiernetzwerk,
951 das aus 80~Komparatoren in 11~Schichten besteht. Damit ist das resultierende
952 Netzwerk genauso schnell wie das Sortiernetzwerk mit 18~Eingängen, das
953 \textit{Sherenaz~W. Al-Haj Baddar} und \textit{Kenneth~E. Batcher} in ihrer
954 Arbeit „An 11-Step Sorting Network for 18~Elements“~\cite{BB2009} vorstellen,
955 benötigt aber 6~Komparatoren weniger. $\operatorname{OES}(18)$ benötigt
956 82~Komparatoren in 13~Schichten.
958 Das Zusammenfassen von zwei Sortiernetzwerken durch Hintereinanderausführung
959 ist nicht sinnvoll: Da die Ausgabe des ersten Sortiernetzwerks bereits
960 sortiert ist, ist das zweite Sortiernetzwerk überflüssig. Eine
961 Aneinanderreihung der Art „die ersten $x$~Schichten des einen, dann die
962 letzten $y$~Schichten des anderen Sortiernetzwerks“ zerstören im Allgemeinen
963 die Sortiereigenschaft. Die Sortiereigenschaft des resultierenden
964 Komparatornetzwerks müsste überprüft werden, was nach heutigem Wissensstand
965 nur mit exponentiellem Aufwand möglich ist.
967 \subsection{Leitungen entfernen}
968 \label{sect:leitungen_entfernen}
970 Im vorherigen Abschnitt wurde gezeigt, dass es mithilfe von \emph{Mischern}
971 möglich ist, aus zwei Sortiernetzwerken mit je $n$~Eingängen
972 ein neues Sortiernetzwerk mit $2n$~Eingängen zu erzeugen. Für einen
973 beabsichtigen \emph{evolutionären Algorithmus} ist es jedoch notwendig, dass
974 sich die Anzahl der Eingänge nicht verändert. Es soll wieder ein
975 Sortiernetzwerk mit $n$~Eingängen entstehen.
977 Man kann ein gegebenes Sortiernetzwerk mit $n$~Eingängen auf ein
978 Sortiernetzwerk mit ${n-1}$~Leitungen verkleinern, indem man eine Leitung
979 „eliminiert“. Dazu wird angenommen, dass das Minimum oder das Maximum an einem
980 bestimmten Eingang anliegt. Der Weg, den das Minimum beziehungsweise das
981 Maximum durch das Sortiernetzwerk nimmt, ist eindeutig bestimmt und endet an
982 einem der „Ränder“, also auf der Leitung mit dem höchsten oder dem niedrigsten
983 Index. Insbesondere ist bekannt, welche Komparatoren „berührt“ werden und
984 welche dafür sorgen, dass der Wert die Leitung wechselt, da das Minimum jeden
985 Vergleich „verliert“ und das Maximum jeden Vergleich „gewinnt“. Die
986 Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut0} zeigt den Weg eines Maximums durch
987 das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk.
989 Im ersten Schritt wird eine Leitung ausgewählt und Maximum oder Minimum auf
990 dieser Leitung angenommen. Dadurch ist der Weg durch das Sortiernetzwerk
991 eindeutig festgelegt.
995 \subfigure[Auf der Leitung~4 wird $-\infty$ angelegt. Dadurch ist der Pfad
996 durch das Sortiernetzwerk eindeutig festgelegt.]{\input{images/oe-transposition-cut0.tex}\label{fig:oe-transposition-cut0}}
997 \subfigure[Komparatoren, die einen Wechsel der Leitungen bewirken, werden
998 durch sich kreuzende Leitungen ersetzt.]{\input{images/oe-transposition-cut1.tex}\label{fig:oe-transposition-cut1}}
999 \subfigure[Leitung~4 wurde entfernt. Übrig bleibt ein Sortiernetzwerk mit
1000 7~Leitungen.]{\input{images/oe-transposition-cut2.tex}\label{fig:oe-transposition-cut2}}
1001 \subfigure[Die Leitungen wurden wieder gerade eingezeichnet und die
1002 Komparatoren regelmäßig angeordnet. Blau eingezeichnet ist \oet{7}.]{\input{images/oe-transposition-cut3.tex}\label{fig:oe-transposition-cut3}}
1003 \caption{Eine Leitung wird aus dem
1004 \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk \oet{8} entfernt: Auf der rot
1005 markierten Leitung wird $-\infty$ angelegt. Da der Wert bei jedem Komparator
1006 nach unten weiter gegeben wird, ist der Pfad fest vorgegeben. Da die
1007 restlichen Werte trotzdem noch richtig sortiert werden müssen, kann dieser
1008 Pfad heraus getrennt werden. In der letzten Abbildung ist \oet{7} markiert.}
1009 \label{fig:oe-transposition-cut}
1012 Im nächsten Schritt werden alle beteiligten Komparatoren gelöscht,
1013 beziehungsweise ersetzt: Komparatoren, die {\em nicht} zu einem Wechsel der
1014 Leitung geführt haben, werden ersatzlos gelöscht. Diese Komparatoren sind in
1015 Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut0} grün markiert. Die Komparatoren, die
1016 zum Wechsel der Leitung geführt haben, werden durch sich kreuzende Leitungen
1017 ersetzt. Das Resultat ist eine Leitung, auf der das Minimum beziehungsweise
1018 das Maximum angenommen wird, die an unterster oder oberster Stelle endet und
1019 die keine Komparatoren mehr berührt
1020 (Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut1}).
1022 Die Werte auf den verbleibenden $(n-1)$~Leitungen müssen vom restlichen
1023 Komparatornetzwerk immer noch sortiert werden: Es wurde lediglich die
1024 \emph{Position} des Minimums oder des Maximums in der Eingabe angenommen. Ein
1025 Sortiernetzwerk muss die Eingabe sortieren, unabhängig davon auf welcher
1026 Leitung das Minimum oder das Maximum liegt. Das Sortiernetzwerk unter diese
1027 Annahme auszuwerten -- über die verbleibenden Eingänge wurde keine Aussage
1028 getroffen. Entsprechend müssen die verbleibenden Ausgänge eine sortierte Liste
1029 mit $(n-1)$~Elementen darstellen.
1031 Wird die Minimum- beziehungsweise Maximum-Leitung entfernt, wie in
1032 Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut2} dargestellt, bleibt das
1033 Sortiernetzwerk für $(n-1)$~Leitungen übrig. Je nachdem, ob auf einer Leitung
1034 ein Minimum oder ein Maximum angenommen wird, wird das eliminieren einer
1035 Leitung auf diese Art und Weise als \emph{Minimum-Schnitt}, beziehungsweise
1036 \emph{Maximum-Schnitt} bezeichnet.
1038 Die letzte Abbildung, \ref{fig:oe-transposition-cut3}, zeigt das
1039 Sortiernetzwerk wieder mit den üblichen geraden Leitungen und die rot
1040 markierten Komparatoren sind verschoben, so dass sich eine kompaktere
1041 Darstellung ergibt. Außerdem ist das
1042 \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk für sieben Werte markiert. Der
1043 zusätzliche Komparator vor dem \oet{7} hat keinen Einfluss auf die Ausgabe und
1044 kann entfernt werden.
1046 Durch das Ersetzen von Komparatoren durch gekreuzte Leitungen werden häufig
1047 \emph{Nicht-Standard-Sortiernetzwerke} erzeugt. Im Anschluss an einen
1048 \emph{Schnitt} empfiehlt es sich deshalb, das Sortiernetzwerk zu
1049 \emph{normalisieren}, wie in Abschnitt~\ref{sect:normalisieren} beschrieben.
1051 \subsubsection{Anzahl möglicher und unterschiedlicher Schnittmuster}
1052 \label{sect:anzahl_schnittmuster}
1054 Der Eliminierungsschritt kann iterativ angewendet werden, um aus einem
1055 Sortiernetzwerk mit $n$~Ein\-gängen Sortiernetzwerke mit $n-1$, $n-2$,
1056 $n-3$,~\dots Eingängen zu erzeugen. Insbesondere können auf diese Art und
1057 Weise Sortiernetzwerke mit $2n$~Eingängen auf Sortiernetzwerke mit
1058 $n$~Eingängen reduziert werden. Als \emph{$k$-Schnittmuster} bezeichnet man
1059 die $k$~Minimum- und Maximum-Schnitte, die nacheinander angewendet ein
1060 $n$-Sortiernetzwerk auf ein ${(n-k)}$-Sortiernetz\-werk reduzieren.
1062 Zwei Schnittmuster heißen \emph{äquivalent} bezüglich~$S$, wenn ihre Anwendung
1063 auf das Sortiernetzwerk~$S$ das selbe Ergebnis liefert. Ansonsten heißen die
1064 Schnittmuster \emph{unterschiedlich} bezüglich~$S$.
1066 Bei einem Sortiernetzwerk mit $n$~Eingängen gibt es $2n$~Möglichkeiten eine
1067 Leitung zu entfernen: Auf jeder der $n$~Leitungen kann sowohl das Minimum als
1068 auch das Maximum angenommen werden. Wendet man das Verfahren iterativ an, um
1069 ein $n$-Sortiernetzwerk auf ein ${(n-k)}$-Sortiernetzwerk zu reduzieren,
1070 ergeben sich insgesamt
1072 \prod_{i=n}^{1+n-k} 2i = 2^k \cdot \frac{n!}{(n-k)!}
1075 \emph{mögliche} Schnittmuster. Diese Schnittmuster sind nicht alle
1076 unterschiedlich. Wird beispielsweise das Minimum auf der untersten Leitung
1077 und das Maximum auf der obersten Leitung eines Standard-Sortiernetzwerks
1078 angenommen, führen beide möglichen Schnitt-Reihenfolgen zum selben Ergebnis.
1080 \textit{Moritz Mühlenthaler} zeigt in seiner Arbeit~\cite{M2009}, dass es
1081 möglich ist, mehrere Eingänge gleichzeitig mit Minimum beziehungsweise Maximum
1082 vorzubelegen, ohne die Menge der erreichbaren Sortiernetzwerke einzuschränken.
1083 Dadurch wird die Anzahl der möglichen Schnittmuster reduziert, die Menge der
1084 so erzeugbaren Sortiernetzwerke bleibt aber unverändert. Die Anzahl der
1085 möglichen Schnittmuster setzt sich zusammen aus der Anzahl von Möglichkeiten,
1086 $k$~Leitungen aus $n$~Leitungen auszuwählen, und die möglichen Minimum-~/
1087 Maximum-Muster. Damit ergibt sich folgende Formel für die Anzahl der möglichen
1089 \begin{equation}\label{eqn:anzahl_schnittmuster}
1090 2^k \cdot \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)
1091 = 2^{k} \cdot \frac{n!}{k! (n-k)!}
1092 = 2^{k} \cdot \frac{n!}{(n-k)!} \cdot \frac{1}{k!}
1093 \quad (1 \leqq k < n)
1096 Die Anzahl der möglichen Schnittmuster wird mit der Anzahl der zu entfernenden
1097 Leitungen sehr schnell sehr groß. Um ein Sortiernetzwerk mit 32~Eingängen auf
1098 ein Sortiernetzwerk mit 16~Eingängen zu reduzieren, ist ein Schnittmuster mit
1099 16~Schnitten notwendig, für das es bereits etwa ${3,939 \cdot 10^{13}}$
1100 Möglichkeiten gibt. Ein Ausprobieren aller Möglichkeiten ist für große
1101 Netzwerke nicht oder nur unter erheblichem Ressourcenaufwand möglich.
1103 Die Anzahl der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster ist allerdings kleiner
1104 als die Anzahl der \emph{möglichen} Schnittmuster. Für jeden Komparator auf
1105 der ersten Stufe gibt es neun verschiedene Eingangskonfigurationen: Für beide
1106 Eingänge gibt es drei mögliche Eingangswerte, Minimum, Maximum und
1107 unspezifiziert. Es gibt drei Konfigurationen, bei denen an beiden Eingängen
1108 der gleiche Wert angelegt wird, und sechs Konfigurationen, bei denen sich die
1109 Werte unterscheiden.
1111 Bei diesen letzten sechs Konfigurationen werden je zwei auf das selbe
1112 Ausgangsmuster abgebildet, weil die Position des Minimums beziehungsweise des
1113 Maximums durch den Komparator vorgegeben wird. Das heißt, dass die neun
1114 unterschiedlichen Eingangsmuster nur sechs unterschiedliche Ausgangsmuster
1115 erzeugen. In der zweiten und allen folgenden Schichten kann man diesen
1116 Unterschied nicht mehr erkennen. In allen sechs Fällen, in denen sich die
1117 Eingänge unterscheiden, wird anschließend der Komparator entfernt, so dass
1118 sich die Resultate auch in der ersten Schicht nicht unterscheiden.
1122 \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/count-cuts-16.pdf}
1124 \caption{Anzahl der \emph{unterschiedlichen} Sortiernetzwerke, die durch
1125 8-Schnittmuster aus $\operatorname{OES}(16)$, $\operatorname{BS}(16)$ und
1126 $\operatorname{PS}(16)$ hervorgegangen sind. Die Anzahl der
1127 unterschiedlichen Netzwerke nach $10^6$~Iterationen ist 3519 für das
1128 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk, 4973 für das \emph{bitone
1129 Mergesort}-Netzwerk und 18764 für das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk.}
1130 \label{fig:count-cuts-16}
1133 Alleine durch Betrachten der ersten Schicht von Komparatoren konnte die Anzahl
1134 der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster auf höchstens $\frac{2}{3}$ der
1135 \emph{möglichen} Schnittmuster reduziert werden. Um die Anzahl der
1136 \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster experimentell zu ermitteln, wurden je
1137 eine Million zufällige 8-Schnittmuster auf die 16-Sortiernetzwerke \oes{16},
1138 \bs{16} und \ps{16} angewandt. Anschließend wurde mithilfe einer Hashtabelle
1139 überprüft, ob das resultierende Sortiernetzwerk schon von einem
1140 \emph{äquivalenten} Schnittmuster erzeugt wurde. Falls das Sortiernetzwerk
1141 noch nicht in der Hashtabelle enthalten war, wurde der Zähler für
1142 unterschiedliche Schnittmuster erhöht und das Sortiernetzwerk eingefügt.
1144 Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} trägt die Anzahl der
1145 \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster gegen die Anzahl der zufälligen
1146 Schnittmuster auf. Klar zu sehen ist, dass sich die Anzahl der erzeugten
1147 Sortiernetzwerke nach $500.000$~Iterationen nur noch gering verändert und der
1148 Wert nach $1.000.000$~Iterationen allem Anschein nach dem Endwert schon sehr
1151 Die Anzahl der möglichen 8-Schnittmuster ist entsprechend der
1152 Formel~\eqref{eqn:anzahl_schnittmuster} 3.294.720. Diese möglichen
1153 Schnittmuster führen aber nur zu wenigen \emph{unterschiedlichen}
1154 Sortiernetzwerken: 3519 ($\approx 0,1\%$) im Fall des
1155 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks, 4973 ($\approx 0,15\%$) beim
1156 \emph{bitonen Mergesort}-Netzwerk und 18764 ($\approx 0,57\%$) beim
1157 \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk. Zwar ist es möglich, dass mehr Iterationen
1158 die Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster noch wachsen lässt. Die Graphen
1159 in Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} geben jedoch Grund zu der Annahme, dass
1160 die Anzahl dieser zusätzlichen, unterschiedlichen Schnittmuster
1161 vernachlässigbar klein ist.
1163 Bedingt durch die sehr große Anzahl möglicher Schnittmuster ist dieses
1164 Experiment für größere Sortiernetzwerke nicht sinnvoll durchführbar. Die
1165 Hashtabelle würde mehr Arbeitsspeicher benötigen als in derzeitigen Rechnern
1166 vorhanden ist, bevor ein entsprechender Graph den linearen Bereich für
1167 „kleine“ x-Werte verlässt.
1169 Um die Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster trotzdem abschätzen zu
1170 können, kann man sich einer stochastischen Methode bedienen, der sogenannten
1171 \emph{Monte-Carlo-Methode}, die \textit{Rolf Wanka} in~\cite{W2006} für
1172 schwierige Zählprobleme vorstellt. Zunächst generiert man eine Menge~$S$ von
1173 $k$~unterschiedlichen Schnittmustern. Anschließend werden $n$~Schnittmuster
1174 zufällig erzeugt und überprüft, ob sie in der Menge~$S$ enthalten sind. Unter
1175 der Annahme, dass auf diese Art und Weise Sortiernetzwerke zufällig und
1176 gleichverteilt erzeugt werden, entspricht das Verhältnis der zufälligen
1177 Schnittmuster, die in $S$ enthalten sind, und $n$ gleich dem Verhältnis von
1178 $k$ und der Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster insgesamt. Damit kann
1179 die Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster abgeschätzt werden.
1183 \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/collisions-10000-1000000-32.pdf}
1185 \caption{Abschätzung der unterschiedlichen Schnittmuster mit der
1186 \emph{Monte-Carlo-Methode} für $\operatorname{OES}(32)$ und
1187 $\operatorname{BS}(32)$.}
1188 \label{fig:collisions-10000-1000000-32}
1191 In Abbildung~\ref{fig:collisions-10000-1000000-32} ist das Ergebnis des
1192 Monte-Carlo-Algorithmus für 16-Schnittmuster zu sehen, die auf
1193 $\operatorname{OES}(32)$ und $\operatorname{BS}(32)$ angewandt wurden: Von
1194 jedem Sortiernetzwerk wurden zunächst eine Menge~$S$ von 10.000
1195 \emph{unterschiedlichen} Schnittmustern erzeugt. Anschließend wurden 1.000.000
1196 zufällige Schnittmuster erzeugt und der Anteil der zufälligen Schnittmuster,
1197 die \emph{äquivalent} zu einem in~$S$ enthalten Schnittmuster sind, berechnet.
1198 Für $\operatorname{OES}(32)$ war dieser Anteil etwa $0,19 \%$, für
1199 $\operatorname{BS}(32)$ etwa $0,29 \%$. Das ergibt eine Abschätzung von $5,2
1200 \cdot 10^6$ unterschiedlichen 16-Schnittmustern für $\operatorname{OES}(32)$
1201 und $3,4 \cdot 10^6$ für $\operatorname{BS}(32)$.
1205 \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/collisions-100000-1000000-32-ps.pdf}
1207 \caption{Abschätzung der unterschiedlichen Schnittmuster mit der
1208 \emph{Monte-Carlo-Methode} für $\operatorname{PS}(32)$. 385 von 1.000.000
1209 zufälligen Schnittmustern waren äquivalent zu einem Schnittmuster in einer
1210 Menge von 100.000. Daraus ergibt sich eine Schätzung von $2,6 \cdot 10^8$
1211 unterschiedlichen Schnittmustern.}
1212 \label{fig:collisions-100000-1000000-32-ps}
1215 Im vorherigen Abschnitt wurde das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk
1216 $\operatorname{PS}(32)$ nicht betrachtet, da es für dieses Netzwerk viel mehr
1217 unterschiedliche 16-Schnittmuster gibt als für $\operatorname{OES}(32)$ und
1218 $\operatorname{BS}(32)$. In Anbetracht der Tatsache, dass die Anzahl der
1219 unterschiedlichen 8-Schnittmuster für $\operatorname{PS}(16)$ in
1220 Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} bereits mehr als dreimal größer war als die
1221 Anzahl für $\operatorname{OES}(16)$ beziehungsweise $\operatorname{BS}(16)$,
1222 ist dieser Umstand wenig verwunderlich. Entsprechend hätte man in einem
1223 kombinierten Graphen keine Details mehr erkennen können. Aufgrund der hohen
1224 Anzahl unterschiedlicher Schnittmuster, wurde für das gleiche Experiment mit
1225 $\operatorname{PS}(32)$ eine initiale Menge von 100.000 unterschiedlichen
1226 Schnittmustern erzeugt. Trotzdem wurden nach 1.000.000 Iterationen nur 385
1227 Schnittmuster gefunden, die zu einem Schnittmuster in der Menge äquivalent
1228 waren. Daraus ergibt sich eine Abschätzung von $2,6 \cdot 10^8$
1229 unterschiedlichen Schnittmustern -- zwei Zehnerpotenzen mehr als bei den
1230 vorherigen Sortiernetzwerken, aber immer noch fünf Zehnerpotenzen kleiner als
1231 die Anzahl der \emph{möglichen} Schnittmuster.
1234 \section{Der \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus}
1235 \label{sect:sn-evolution}
1237 Der \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus ist ein \emph{evolutionärer
1238 Algorithmus}, der die in den vorherigen Abschnitten beschriebenen Mischer
1239 (Abschnitt~\ref{sect:konstruktive_netzwerke}) und Schnittmuster
1240 (Abschnitt~\ref{sect:leitungen_entfernen}) verwendet, um „möglichst gute“
1241 Sortiernetzwerke zu erzeugen. Was ein „gutes“ Sortiernetzwerk ausmacht, wird
1242 in Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution:bewertung} behandelt. Informationen zur Implementierung
1243 von \textsc{SN-Evolution} befinden sich in
1244 Abschnitt~\ref{sect:implementierung}.
1246 \subsection{Bewertungsfunktion}\label{sect:sn-evolution:bewertung}
1248 Um Sortiernetzwerke überhaupt optimieren zu können, muss zunächst die
1249 {\em Güte} eines Netzwerks definiert werden. Prinzipiell gibt es zwei Ziele,
1250 die bei Sortiernetzwerken verfolgt werden können:
1252 \item Möglichst wenige Komparatoren („effizient“)
1253 \item Möglichst wenige Schichten („schnell“)
1258 \subfigure[16-Sortiernetzwerk aus 60~Komparatoren in 10~Schichten. Das
1259 Netzwerk wurde von \textit{M.~W. Green} konstruiert und 1969 in~\cite{G1972}
1260 veröffentlicht.]{\input{images/16-green.tex}\label{fig:16-green}}
1261 \subfigure[16-Sortiernetzwerk aus 61~Komparatoren in 9~Schichten. Das
1262 Netzwerk wurde von \textit{D. Van~Voorhis} 1974 in~\cite{V1974}
1263 veröffentlicht.]{\input{images/16-voorhis.tex}\label{fig:16-voorhis}}
1264 \caption{Das effizienteste und das schnellste Sortiernetzwerk für
1265 16~Leitungen, das derzeit bekannt ist.}
1266 \label{fig:16-best-known}
1268 Diese Ziele führen im Allgemeinen zu unterschiedlichen Netzwerken.
1269 Beispielsweise besteht das \emph{effizienteste} bekannte Sortiernetzwerk für
1270 16~Eingänge aus 60~Komparatoren in 10~Schichten. Es ist in
1271 Abbildung~\ref{fig:16-green} dargestellt. Das \emph{schnellste} bekannte
1272 16-Sortiernetzwerk besteht aus 61~Komparatoren in nur 9~Schichten und ist in
1273 Abbildung~\ref{fig:16-voorhis} zu sehen.
1275 \textsc{SN-Evolution} verwendet eine Gütefunktion, die die beiden Ziele
1276 "`effizient"' und "`schnell"' berücksichtigen kann. Sie hat die folgende
1279 \operatorname{Guete}(S) = w_{\mathrm{Basis}}
1280 + w_{\mathrm{Komparatoren}} \cdot \left|S\right|_\mathrm{Komparatoren}
1281 + w_{\mathrm{Schichten}} \cdot \left|S\right|_\mathrm{Schichten}
1283 Die Parameter $w_{\mathrm{Komparatoren}}$ und $w_{\mathrm{Schichten}}$ dienen
1284 dabei der Festlegung des Optimierungsziels. Wenn einer der beiden Parameter
1285 gleich Null ist, wird nur das jeweils andere Ziel verfolgt. Sind beide
1286 Parameter gleich Null, werden alle Netzwerke mit der gleich Güte bewertet --
1287 jegliche Ergebnisse sind dann rein zufälliger Natur.\footnote{Dass dies nicht
1288 so schlecht ist wie man intuitiv vermuten könnte, zeigt der
1289 \textsc{SN-Markov}-Algorithmus in Abschnitt~\ref{sect:markov}.}
1291 Da möglichst effiziente und schnelle Sortiernetzwerke gefunden werden sollen,
1292 ist ein kleiner Wert von $\operatorname{Guete}(S)$ besser als ein großer Wert.
1293 Das heißt, dass das Ziel von \textsc{SN-Evolution} ist,
1294 $\operatorname{Guete}(S)$ zu \emph{minimieren}.
1296 Mit dem Parameter $w_{\mathrm{Basis}}$ kann auf die Selektion Einfluss
1297 genommen werden. Ist er groß, wird der relative Unterschied der Güten
1298 verschiedener Netzwerke kleiner, was die {\em Exploration}, das Absuchen des
1299 gesamten Lösungsraums, begünstigt. Wählt man $w_{\mathrm{Basis}}$ hingegen
1300 klein -- in Abhängigkeit von den anderen beiden Parametern sind auch negative
1301 Werte möglich -- werden die relativen Unterschiede groß. Dadurch wird die {\em
1302 Exploitation}, das Streben zu (lokalen) Optima, verstärkt.
1304 Diese Parameter haben einen großen Einfluss auf die Geschwindigkeit, mit der
1305 der \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus konvergiert und ob er tatsächlich gute
1306 Lösungen findet oder sich in \emph{lokalen} Optima "`verfängt"'. Leider gibt
1307 es kein Patentrezept für die Wahl der Parameter, so dass für verschiedene
1308 Leitungszahlen und Mischer-Typen experimentiert werden muss.
1310 Als guter Standardansatz für \textsc{SN-Evolution} haben sich die folgenden
1311 Werte herausgestellt:
1313 w_{\mathrm{Basis}} &=& 0 \\
1314 w_{\mathrm{Komparatoren}} &=& 1 \\
1315 w_{\mathrm{Schichten}} &=& \left|S\right|_\mathrm{Leitungen}
1317 Sofern nicht anders angegeben, werden diese Werte im Folgenden zur Bewertung
1318 von Sortiernetzwerken verwendet. Die Bewertungsfunktion bevorzugt mit diesen
1319 Konstanten \emph{schnelle} Sortiernetzwerke, da das Einsparen einer Schicht
1320 ein höheres Gewicht als das Einsparen von Komparatoren hat.
1322 Wenn der \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus nach \emph{effizienten}
1323 Sortiernetzwerken suchen soll, werden alternative Werte für die Konstanten der
1324 Bewertungsfunktion verwendet. Die Werte
1326 w_{\mathrm{Basis}} &=& 0 \\
1327 w_{\mathrm{Komparatoren}} &=& 2 \\
1328 w_{\mathrm{Schichten}} &=& 1
1330 geben dem Einsparen eines Komparators ein höheres Gewicht als dem Einsparen
1333 \subsection{Selektion}
1335 Als \emph{Selektion} wird der Vorgang bezeichnet, der zwei Individuen zufällig
1336 aus der Population auswählt. Sie werden im folgenden Schritt miteinander
1337 rekombiniert. Die Auswahl der Individuen erfolgt zufällig, aber nicht
1338 gleichverteilt. So sorgt die \emph{Selektion} dafür, dass bessere Individuen
1339 eine größere Wahrscheinlichkeit haben zur nächsten Generation beizutragen.
1340 Diese Ungleichbehandlung von Individuen verschiedener Güte ist der Grund für
1341 das Streben des Algorithmus nach besseren Lösungen.
1343 Obwohl dieser Vorteil für gute Individuen intuitiv als sehr gering erscheint,
1344 passiert es häufig, dass die Ausnutzung \emph{(Exploitation)} überhand gewinnt
1345 und der Algorithmus vorschnell in Richtung eines lokalen Optimums optimiert.
1347 Die in \textsc{SN-Evolution} implementierte Selektion eines Individuums lässt
1348 sich mit Pseudocode wie folgt beschreiben:
1353 für jedes Individuum in Population
1355 reziproke Güte := 1.0 / Guete(Individuum)
1356 Wahrscheinlichkeit P := reziproke Güte / (Gütesumme + reziproke Güte)
1357 Gütesumme := Gütesumme + reziproke Güte
1359 mit Wahrscheinlichkeit P
1361 Auswahl := Individuum
1367 Diese Auswahl wird zweimal ausgeführt, um zwei Individuen für die
1368 Rekombination zu erhalten. Das heißt, dass die Individuen bei
1369 \textsc{SN-Evolution} stochastisch unabhängig voneinander ausgewählt werden.
1371 \subsection{Rekombination}
1372 \label{sect:sn-evolution:rekombination}
1374 Bei der Rekombination werden zwei Individuen --~hier Sortiernetzwerke~-- zu
1375 einer neuen Lösung kombiniert. Geeignete Mischer, um die beiden Netzwerke zu
1376 einem Netzwerk mit $2n$~Leitungen zusammenzufügen, sind zum Beispiel der {\em
1377 bitonen Mischer} (Abschnitt~\ref{sect:der_bitone_mischer}) und der
1378 \emph{Odd-Even}-Mischer (Abschnitt~\ref{sect:der_odd_even_mischer}),
1379 Anschließend werden $n$~Leitungen mit einem zufälligen $n$-Schnittmuster wie
1380 in Abschnitt~\ref{sect:leitungen_entfernen} beschrieben entfernt.
1382 Dieses Verfahren hat den großen Vorteil, dass es die Sortiereigenschaft
1383 erhält. Entsprechend muss nicht aufwendig überprüft werden, ob das
1384 Komparatornetzwerk die Sortiereigenschaft besitzt. Der Nachteil ist, dass
1385 nicht alle Sortiernetzwerke auf diese Art und Weise erzeugt werden können.
1387 \subsection{Mutation}
1389 Zu einem vollständigen evolutionären Algorithmus gehört außerdem die Mutation
1390 --~eine zufällige Veränderung einer Lösung. Leider ist es nicht möglich ein
1391 Sortiernetzwerk zufällig zu verändern und dabei die Sortiereigenschaft zu
1392 erhalten. Selbst das \emph{Hinzufügen} eines zufälligen Komparators kann diese
1393 Eigenschaft zerstören.
1395 Nach einer Mutation müsste man überprüfen, ob das neue Komparatornetzwerk die
1396 Sortiereigenschaft noch besitzt. Nach heutigem Wissenstand ist diese
1397 Überprüfung nur mit exponentiellem Aufwand möglich, etwa durch das
1398 Ausprobieren aller $2^n$~Bitmuster, wie in Abschnitt~\ref{sect:0-1-prinzip}
1401 Um das Potenzial einer Mutation abzuschätzen wurde in \textsc{SN-Evolution}
1402 eine Überprüfung eingebaut: Unmittelbar vor dem Einfügen in die Population
1403 überprüft eine Funktion die Notwendigkeit jedes einzelnen Komparators. Dazu
1404 wird nacheinander jeder Komparator entfernt und überprüft, ob das verbleibende
1405 Netzwerk die Sortiereigenschaft noch besitzt. Trotz des hohen Rechenaufwands
1406 -- bei 16-Sortiernetzwerken sind gut 4~Millionen Tests notwendig, um alle
1407 Komparatoren zu überprüfen -- waren die Ergebnisse ernüchternd: Nach circa
1408 1~Million Iterationen mit 16-Sortiernetzwerken fand der so modifizierte
1409 Algorithmus keinen einzigen Komparator, den er hätte entfernen können. Daher
1410 wurde beim \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus auf eine Mutation verzichtet.
1412 \subsection[Bitoner Mischer]{Versuche mit dem bitonen Mischer}
1414 Wenn \textsc{SN-Evolution} mit dem \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk
1415 als Eingabe gestartet wird und in der Rekombinationsphase den \emph{bitonen
1416 Mischer} verwendet, gibt der Algorithmus \emph{effiziente} und in einigen
1417 Fällen \emph{schnelle} Sortiernetzwerke aus. Die Ergebnisse des
1418 \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus unter Verwendung des \emph{bitonen Mischers}
1419 sind in Tabelle~\ref{tbl:sn-ev-bm-fast} zusammengefasst.
1421 \begin{table}\label{tbl:sn-ev-bm-fast}
1423 \rowcolors{4}{black!5}{}
1424 \begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
1426 Leitungen & \multicolumn{2}{l|}{\textsc{SN-EV} mit \bm{n}} & \multicolumn{2}{|l|}{\bs{n}} \\
1428 ($n$) & Komp. & Schichten & Komp. & Schichten \\
1430 8 & \gcell 20 & 6 & 24 & 6 \\
1431 9 & \Gcell 26 & 8 & 28 & 8 \\
1432 10 & \gcell 31 & \gcell 8 & 33 & 9 \\
1433 11 & \Gcell 37 & \Gcell 9 & 39 & 10 \\
1434 12 & \gcell 42 & \gcell 9 & 46 & 10 \\
1435 13 & \Gcell 48 & 10 & 53 & 10 \\
1436 14 & \gcell 54 & 10 & 61 & 10 \\
1437 15 & \Gcell 61 & 10 & 70 & 10 \\
1438 16 & \gcell 67 & 10 & 80 & 10 \\
1439 17 & \Gcell 76 & 12 & 85 & 12 \\
1440 18 & \gcell 87 & \gcell 12 & 91 & 13 \\
1441 19 & \Gcell 93 & \Gcell 13 & 98 & 14 \\
1442 20 & \gcell 104 & \gcell 13 & 106 & 14 \\
1443 21 & \Gcell 109 & \Gcell 14 & 114 & 15 \\
1444 22 & \gcell 118 & \gcell 14 & 123 & 15 \\
1445 23 & \Gcell 129 & \Gcell 14 & 133 & 15 \\
1446 24 & \gcell 133 & 15 & 144 & 15 \\
1449 \caption{Übersicht über die Ergebnisse des \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus
1450 unter Verwendung des \emph{bitonen Merge}-Netzwerks \bm{n}. Der Algorithmus
1451 wurde mit dem \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk \oet{n} gestartet
1452 und nach 2.500.000 Iterationen beendet. Die Bewertungsfunktion nutzte die
1453 Konstanten $w_{\mathrm{Basis}} = 0$, $w_{\mathrm{Komparatoren}} = 1$,
1454 $w_{\mathrm{Schichten}} = n$.}
1458 Alle Sortiernetzwerke, die von \textsc{SN-Evolution} in dieser Konfiguration
1459 gefunden wurden, waren \emph{effizienter} als das \emph{bitone
1460 Mergesort}-Netzwerk \bs{n}, das ebenfalls auf dem \emph{bitonen
1461 Merge}-Netzwerk \bm{n} beruht. Zum Beispiel benötigt das in
1462 Abbildung~\ref{fig:16-e1-bitonic-1296542566} dargestellte 16-Sortiernetzwerk
1463 67~Komparatoren, 13~Komparatoren weniger als \bs{n}.
1467 \input{images/16-e1-bitonic-1296542566.tex}
1469 \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 67~Komparatoren in
1470 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
1471 \textsc{SN-Evolution} unter Verwendung des \emph{bitonen Mischers}
1473 \label{fig:16-e1-bitonic-1296542566}
1476 Wenn die Gütefunktion so gewählt ist, dass sie schnelle Sortiernetzwerke
1477 bevorzugt, werden in einigen Fällen Netzwerke zurückgegeben, die
1478 \emph{schneller} und \emph{effizienter} als \bs{n} sind. Das
1479 19-Sortiernetzwerk in Abbildung~\ref{fig:19-e1-bm-fast} besitzt beispielsweise
1480 nur 13~Schichten und benötigt damit einen parallelen Schritt weniger als
1485 \input{images/19-e1-bm-fast.tex}
1487 \caption{Sortiernetzwerk mit 19~Leitungen und 93~Komparatoren in
1488 13~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus \textsc{SN-Evolution}
1489 unter Verwendung des \emph{bitonen Mischers} erzeugt.}
1490 \label{fig:19-e1-bm-fast}
1493 \subsection[Odd-Even-Mischer]{Versuche mit dem Odd-Even-Mischer}
1495 Die folgenden Ergebnisse wurden erzielt, indem \textsc{SN-Evolution} mit dem
1496 \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk als Eingabe gestartet wurde und in
1497 der Rekombinationsphase das \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk verwendete. So
1498 erzeugt der Algorithmus entweder Sortiernetzwerke, die genauso schnell und
1499 effizient wie das \oes{n}-Netzwerk, oder Sortiernetzwerke, die schneller aber
1500 weniger effizient als das \oes{n}-Netzwerk sind. Die Ergebnisse von
1501 \textsc{SN-Evolution} mit dem \emph{Odd-Even}-Mischer sind in
1502 Tabelle~\ref{tbl:sn-ev-oem-fast} zusammengefasst.
1504 \begin{table}\label{tbl:sn-ev-oem-fast}
1506 \rowcolors{4}{black!5}{}
1507 \begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
1509 Leitungen & \multicolumn{2}{l|}{\textsc{SN-EV} mit \oem{n}} & \multicolumn{2}{|l|}{\oes{n}} \\
1511 & Komp. & Schichten & Komp. & Schichten \\
1513 8 & 19 & 6 & 19 & 6 \\
1514 9 & 26 & 8 & 26 & 8 \\
1515 10 & 31 & 9 & 31 & 9 \\
1516 11 & 38 & \Gcell 9 & \Gcell 37 & 10 \\
1517 12 & 43 & \gcell 9 & \gcell 41 & 10 \\
1518 13 & 48 & 10 & 48 & 10 \\
1519 14 & 53 & 10 & 53 & 10 \\
1520 15 & 59 & 10 & 59 & 10 \\
1521 16 & 63 & 10 & 63 & 10 \\
1522 17 & 74 & 12 & 74 & 12 \\
1523 18 & 82 & 13 & 82 & 13 \\
1524 19 & 93 & \Gcell 13 & \Gcell 91 & 14 \\
1525 20 & 97 & 14 & 97 & 14 \\
1526 21 & 108 & \Gcell 14 & \Gcell 107 & 15 \\
1527 22 & 117 & \gcell 14 & \gcell 114 & 15 \\
1528 23 & 127 & \Gcell 14 & \Gcell 122 & 15 \\
1529 24 & 128 & 15 & \gcell 127 & 15 \\
1532 \caption{Übersicht über die Ergebnisse des \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus
1533 unter Verwendung des \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerks \oem{n}. Der
1534 Algorithmus wurde mit dem \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk \oet{n}
1535 gestartet und nach 2.500.000 Iterationen beendet. Die Bewertungsfunktion
1536 nutzte die Konstanten $w_{\mathrm{Basis}} = 0$, $w_{\mathrm{Komparatoren}} =
1537 1$, $w_{\mathrm{Schichten}} = n$.}
1541 Im vorherigen Abschnitt wurde gezeigt, dass der
1542 \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus unter Verwendung des \emph{bitonen Mischers}
1543 Sortiernetzwerke erzeugen kann, die effizienter als das rekursiv aus dem
1544 \emph{bitonen Mischer} aufgebaute \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk sind.
1545 Dieses Ergebnis lies sich mit dem \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk nicht
1546 erzielen. Die Sortiernetzwerke, die \textsc{SN-Evolution} unter Verwendung des
1547 \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerks findet, erreichen das
1548 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk bezüglich Effizienz, übertreffen es aber
1549 nicht. Ein Beispiel für ein entsprechendes Sortiernetzwerk ist in
1550 Abbildung~\ref{fig:16-e1-oem-fast} dargestellt.
1554 \input{images/16-e1-oem-fast.tex}
1556 \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 63~Komparatoren in
1557 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
1558 \textsc{SN-Evolution} unter Verwendung des \emph{Odd-Even}-Mischers
1560 \label{fig:16-e1-oem-fast}
1563 Mit einer Gütefunktion, die schnelle Sortiernetzwerke bevorzugt, ist es auch
1564 mit dem \emph{Odd-Even}-Mischer möglich, dass \textsc{SN-Evolution}
1565 Sortiernetzwerke zurück gibt, die schneller als \oes{n} sind. Beispielsweise
1566 benötigt das 19-Sortiernetzwerk, das in Abbildung~\ref{fig:19-e1-oem-fast}
1567 dargestellt ist, nur 13~Schichten, während \oes{19} 14~Schichten benötigt.
1571 \input{images/19-e1-oem-fast.tex}
1573 \caption{Sortiernetzwerk mit 19~Leitungen und 93~Komparatoren in
1574 13~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus \textsc{SN-Evolution}
1575 unter Verwendung des \emph{Odd-Even}-Mischers erzeugt.}
1576 \label{fig:19-e1-oem-fast}
1581 %\input{images/08-e2-1237993371.tex}
1583 %\caption{{\tt images/08-e2-1237993371.tex}: 19~Komparatoren in 6~Schichten}
1584 %\label{fig:08-e2-1237993371}
1589 %\input{images/09-e2-1237997073.tex}
1591 %\caption{{\tt images/09-e2-1237997073.tex}: 25~Komparatoren in 8~Schichten}
1592 %\label{fig:09-e2-1237997073}
1597 %\input{images/09-e2-1237999719.tex}
1599 %\caption{{\tt images/09-e2-1237999719.tex}: 25~Komparatoren in 7~Schichten}
1600 %\label{fig:09-e2-1237999719}
1605 %\input{images/10-e2-1239014566.tex}
1607 %\caption{{\tt images/10-e2-1239014566.tex}: 29~Komparatoren in 8~Schichten}
1608 %\label{fig:10-e2-1239014566}
1611 \subsection{Zufälliger Mischer}
1613 Die Ergebnisse der beiden vorhergehenden Abschnitte zeigen, dass für einige
1614 Leitungszahlen der \emph{bitone Mischer} und für andere Leitungszahlen der
1615 \emph{Odd-Even}-Mischer bessere Ergebnisse liefert. Beispielsweise hat das
1616 Netzwerk für $n = 18$ bei Verwendung des \emph{bitone Mischers} nur
1617 12~Schichten, bei Verwendung des \emph{Odd-Even}-Mischers hingegen nur
1618 82~Komparatoren. Daher liegt die Idee nahe, beide Mischer-Netzwerke zu nutzen,
1619 um das beste Ergebnis beider Konstruktionen zu erreichen.
1620 \textsc{SN-Evolution} kann zu diesem Zweck beim Zusammenfügen zweier
1621 Individuen zufällig zwischen dem \emph{bitonen Mischer} und dem
1622 \emph{Odd-Even}-Mischer wählen. Die Ergebnisse von \textsc{SN-Evolution} bei
1623 einer zufälligen Wahl des Mischers in der Rekombinationsphase sind in
1624 Tabelle~\ref{tbl:sn-ev-rnd-fast} zusammengefasst.
1626 \begin{table}\label{tbl:sn-ev-rnd-fast}
1628 \rowcolors{4}{black!5}{}
1629 \begin{tabular}{|r|r|r|r|r|r|r|}
1631 Leitungen & \multicolumn{2}{l|}{\textsc{SN-EV} mit \bm{n}}
1632 & \multicolumn{2}{l|}{\textsc{SN-EV} mit \oem{n}}
1633 & \multicolumn{2}{l|}{\textsc{SN-EV} mit Zufall} \\
1635 ($n$) & Komp. & Schichten & Komp. & Schichten & Komp. & Schichten \\
1637 8 & 20 & 6 & \gcell 19 & 6 & \gcell 19 & 6 \\
1638 9 & 26 & 8 & 26 & 8 & 26 & 8 \\
1639 10 & 31 & \gcell 8 & 31 & 9 & 31 & \gcell 8 \\
1640 11 & \Gcell 37 & 9 & 38 & 9 & \Gcell 37 & 9 \\
1641 12 & 42 & 9 & 43 & 9 & \gcell 41 & 9 \\
1642 13 & 48 & 10 & 48 & 10 & 48 & 10 \\
1643 14 & 54 & 10 & \gcell 53 & 10 & \gcell 53 & 10 \\
1644 15 & 61 & 10 & \Gcell 59 & 10 & \Gcell 59 & 10 \\
1645 16 & 67 & 10 & \gcell 63 & 10 & 64 & 10 \\
1646 17 & 76 & 12 & \Gcell 74 & 12 & \Gcell 74 & 12 \\
1647 18 & 87 & \gcell 12 & \gcell 82 & 13 & 83 & \gcell 12 \\
1648 19 & 93 & 13 & 93 & 13 & \Gcell 92 & 13 \\
1649 20 & 104 & \gcell 13 & \gcell 97 & 14 & 101 & \gcell 13 \\
1650 21 & 109 & 14 & 108 & 14 & \Gcell 107 & 14 \\
1651 22 & 118 & 14 & 117 & 14 & \gcell 116 & 14 \\
1652 23 & 129 & 14 & \Gcell 127 & 14 & 128 & 14 \\
1653 24 & 133 & 15 & \gcell 128 & 15 & 130 & 15 \\
1656 \caption{Übersicht über die Ergebnisse des \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus
1657 unter Verwendung der beiden Mischer-Netzwerke. Der Algorithmus wurde mit dem
1658 \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk \oet{n} gestartet und nach
1659 2.500.000 Iterationen beendet. Die Bewertungsfunktion nutzte die Konstanten
1660 $w_{\mathrm{Basis}} = 0$, $w_{\mathrm{Komparatoren}} = 1$ und
1661 $w_{\mathrm{Schichten}} = n$.}
1665 Bei einigen Leitungszahlen kann der Algorithmus durch die Verfügbarkeit beider
1666 Mi\-scher-Netzwerke Sortiernetzwerke zurückgeben, die effizienter als die
1667 vorherigen Ergebnisse sind. Beispielsweise ist das 19-Sortiernetzwerk in
1668 Abbildung~\ref{fig:19-e1-rnd-fast} mit 92~Komparatoren effizienter als die
1669 19-Sortiernetzwerke, die mit nur einem der beiden Mischer-Netzwerke erreicht
1670 wurden (Abbildungen~\ref{fig:19-e1-bm-fast} und~\ref{fig:19-e1-oem-fast}).
1674 \input{images/19-e1-rnd-fast.tex}
1676 \caption{Sortiernetzwerk mit 19~Leitungen und 92~Komparatoren in
1677 13~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus \textsc{SN-Evolution}
1678 unter Verwendung des \emph{bitonen Mischers} und des
1679 \emph{Odd-Even}-Mischers erzeugt.}
1680 \label{fig:19-e1-rnd-fast}
1683 Die Ergebnisse anderer Leitungszahlen erreichen die Geschwindigkeit der
1684 Ergebnisse, die mit dem \emph{bitonen Mischer} erzielt wurden. Die Effizienz
1685 liegt zwischen den Ergebnissen, die mit dem \emph{bitonen Mischer} erzielt
1686 wurden, und den Ergebnissen, die mit dem \emph{Odd-Even}-Mischer erzielt
1687 wurden. Beispielsweise ist das 18-Sortiernetzwerk in
1688 Abbildung~\ref{fig:18-e1-rnd-fast} so schnell wie das Ergebnis, das mit dem
1689 \emph{bitonen Mischer} ausgegeben wurde. Mit 83~Komparatoren liegt die
1690 Effizienz des Sortiernetzwerks zwischen den Ergebnissen, die mit dem
1691 \emph{bitonen Mischer} (87~Komparatoren), beziehungsweise dem
1692 \emph{Odd-Even}-Mischer (82~Komparatoren) erreicht werden konnten.
1696 \input{images/18-e1-rnd-fast.tex}
1698 \caption{Sortiernetzwerk mit 18~Leitungen und 83~Komparatoren in
1699 12~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus \textsc{SN-Evolution}
1700 unter Verwendung des \emph{bitonen Mischers} und des
1701 \emph{Odd-Even}-Mischers erzeugt.}
1702 \label{fig:18-e1-rnd-fast}
1705 In einigen Fällen hat \textsc{SN-Evolution} in dieser Konfiguration
1706 Sortiernetzwerke ausgegeben, die weniger effizient und genauso schnell wie die
1707 bisherigen Ergebnisse unter Verwendung des \emph{Odd-Even}-Mischers sind.
1708 Prinzipiell könnte der Algorithmus in jeder Iteration zufällig den
1709 \emph{Odd-Even}-Mischers auswählen, um die selektierten Individuen zu
1710 rekombinieren. Das heißt, das die Ergebnisse auch bei einer zufälligen Wahl
1711 des Mischer-Netzwerks theoretisch erreicht werden können. Allerdings sind
1712 unter Umständen mehr Iterationen notwendig, bis die gleiche Effizienz erreicht
1715 %\input{shmoo-aequivalenz.tex}
1718 \section{Der \textsc{SN-Markov}-Algorithmus}
1721 Der evolutionäre \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus aus dem vorherigen
1722 Abschnitt verwendet immer zwei zufällige Sortiernetzwerke („Individuen“) aus
1723 einer Population. Da die beiden „Eltern“ zufällig und unabhängig voneinander
1724 ausgewählt werden, kann es vorkommen, dass das selbe Sortiernetzwerk zweimal
1725 verwendet und mit sich selbst kombiniert wird.
1727 Macht man diesen Spezialfall zum Regelfall, kombiniert das aktuelle Netzwerk
1728 \emph{immer} mit sich selbst und eliminiert anschließend die Hälfte aller
1729 Leitungen, lassen sich einige interessante Beobachtungen anstellen. Netzwerke,
1730 die aus einem Netzwerk $S_0$ durch die beschriebene Kombination von $S_0$ mit
1731 sich selbst und anschließendem Eliminieren der Hälfte der Leitungen hervorgehen
1732 können, heißen \emph{Nachfolger} von $S_0$.
1734 Beim beschriebenen Vorgehen kann man die Sortiernetzwerke als Knoten in einem
1735 (gerichteten) Graphen betrachten. Zwei Knoten $V_0$ und $V_1$, die zwei
1736 Sortiernetzwerke $S_0$ und $S_1$ repräsentieren, sind genau dann mit einer
1737 Kante ${E_{0,1} = (V_0, V_1)}$ verbunden, wenn $S_1$ ein \emph{Nachfolger} von
1738 $S_0$ ist, das heißt, dass $S_1$ durch die Rekombination von $S_0$ mit sich
1739 selbst erzeugt werden kann.
1741 Wie in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} beschrieben, ist die Anzahl
1742 der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster und damit die Anzahl der Nachfolger
1743 sehr groß. Bei den untersuchten 16-Sortiernetzwerken lag die Anzahl der
1744 Nachfolger zwar noch unter 20.000, bei den untersuchten
1745 32-Sortier\-netz\-werken wurden jedoch bereits bis zu $2,6 \cdot 10^8$
1746 unterschiedliche Schnittmuster geschätzt.
1748 Der Algorithmus {\sc SN-Markov} legt auf diesem Nachfolger-Graph einen
1749 zufälligen Weg (englisch: \textit{random walk}) zurück. Er startet auf einem
1750 gegebenen Sortiernetzwerk. Um von einem Sortiernetzwerk zum Nächsten zu
1751 gelangen, rekombiniert der Algorithmus das aktuelle Sortiernetzwerk mit sich
1752 selbst und erhält so einen zufälligen Nachfolger. In Pseudocode lässt sich der
1753 Algorithmus wie folgt beschreiben:
1760 Nachfolger := kombiniere (Netzwerk, Netzwerk)
1761 Netzwerk := Nachfolger
1767 Die Graphen in Abbildung~\ref{fig:markov-comparators} zeigen die Anzahl der
1768 Komparatoren der Sortiernetzwerke, die \textsc{SN-Markov} auf seinem
1769 zufälligen Pfad durchläuft (rot). Für jeden Graphen wurde der
1770 \textsc{SN-Markov}-Algorithmus auf einem entsprechenden
1771 \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk gestartet und hat mindestens
1772 1.000.000~Iterationen durchlaufen. In jedem Schritt wurde die Anzahl der
1773 Komparatoren des Sortiernetzwerks bestimmt und ein entsprechender Zähler
1774 erhöht. In Abbildung~\ref{fig:markov-comparators} ist die resultierende
1775 prozentuale Verteilung zu sehen.
1777 Ebenfalls in die Graphen der Abbildung~\ref{fig:markov-comparators}
1778 eingezeichnet ist eine \emph{Gamma-Verteilung} (grün), die die gemessenen
1779 Daten gut annähert. Die Gamma-Verteilung verwendet einen Offset~$\delta$, der
1780 um Eins kleiner als die kleinste erreichte Komparatorzahl gewählt wurde.
1781 Beispielsweise war die kleinste erreichte Komparatorzahl bei
1782 16-Sortiernetzwerken~63, entsprechend wurde der Offset $\delta = 63 - 1$
1783 gesetzt und die Gamma-Verteilung $g(x - 62)$ eingezeichnet. Die Parameter $k$
1784 und $\theta$, die eine Gamma-Verteilung charakterisieren, wurden mit einem
1785 Fitting-Algorithmus bestimmt. Der konkrete Offset ist als Parameter~$\delta$
1786 unter den Graphen angegeben.
1790 \subfigure[12 Leitungen, $k = 8,267$, $\theta = 0,962$, $\delta = 40$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-12-pct.pdf}}
1791 \subfigure[14 Leitungen, $k = 9,522$, $\theta = 0,867$, $\delta = 52$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-14-pct.pdf}}
1792 \subfigure[16 Leitungen, $k = 17,939$, $\theta = 1,091$, $\delta = 62$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-16-pct.pdf}}
1793 \subfigure[18 Leitungen, $k = 10,724$, $\theta = 0,766$, $\delta = 81$]{\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=7cm]{images/markov-comparators-18-pct.pdf}}
1794 \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken,
1795 die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden (rot). Ebenfalls eingezeichnet
1796 ist jeweils eine \emph{Gamma-Verteilung} (grün), die eine gute Näherung der
1797 gemessenen Daten darstellt.}
1798 \label{fig:markov-comparators}
1803 \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/comparison-comparators-16.pdf}
1805 \caption{Anzahl der Komparatoren, die 16-Sortiernetzwerke von
1806 \textsc{SN-Markov} und \textsc{SN-Evolution} (mit dem
1807 \emph{Odd-Even}-Mischer und dem \emph{bitonen Mischer}) besaßen.}
1808 \label{fig:comparison-comparators}
1811 Der Graph in Abbildung~\ref{fig:comparison-comparators} zeigt, dass der
1812 \textsc{SN-Markov}-Algorithmus nicht schlechter ist als der
1813 \textsc{SN-Evolution}-Algo\-rith\-mus. Analog zu dem Versuch mit
1814 \textsc{SN-Markov}, wurde beim \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus die Anzahl
1815 der Komparatoren jedes neuen Individuums ermittelt und gespeichert. Als
1816 Startnetzwerk diente bei beiden Algorithmen das
1817 \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk \oet{16}. Der Graph zeigt auf der
1818 x-Achse die Anzahl der Komparatoren, auf der y-Achse die Häufigkeit, mit der
1819 ein Sortiernetzwerk mit dieser Komparatorzahl durch die Rekombination erzeugt
1820 wurde. Die Ergebnisse von \textsc{SN-Evolution} unterscheiden sich außerdem je
1821 nach verwendetem Mischer-Netzwerk -- \oem{32}, beziehungsweise \bm{32}.
1823 Sowohl der \textsc{SN-Markov}-Algorithmus, der das
1824 \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk verwendet, als auch \textsc{SN-Evolution} mit
1825 \oem{32} erreichen eine Komparatorzahl von~63 und finden Sortiernetzwerke, die
1826 bezüglich Effizienz und Geschwindigkeit identisch zu \oes{16} sind.
1827 Interessanterweise erzeugt \textsc{SN-Markov} derartige Netzwerke häufiger:
1828 Während nur $0,000017 \%$ der Individuen von \textsc{SN-Evolution} mit
1829 63~Komparatoren auskamen, ist die Rate bei \textsc{SN-Markov} mit $0,000335
1830 \%$ rund 20~mal höher.
1832 Erwartungsgemäß sind die besten Netzwerke, die \textsc{SN-Evolution} mit dem
1833 \emph{bitonen Mischer} findet, aus 67~Komparatoren aufgebaut. Überraschend ist
1834 jedoch, dass in dieser Konfiguration Sortiernetzwerke auftreten können, die
1835 mehr Komparatoren besitzen als \emph{Odd-Even-Transpositionsort}. \oet{16}
1836 ist aus 120~Komparatoren aufgebaut. Bei dem Lauf, der die Daten für
1837 Abbildung~\ref{fig:comparison-comparators} lieferte, trat auch jeweils ein
1838 Sortiernetzwerk mit 121 und 124~Komparatoren auf. Dass Sortiernetzwerke mit so
1839 vielen Komparatoren im Verlauf des Experiments selbst nach über 100~Millionen
1840 Iterationen nicht noch einmal erzeugt wurden, ist vermutlich ein Phänomen, das
1841 mit der Initialisierung durch das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk
1846 % \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-14-pct.pdf}
1848 % \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 14~Leitungen),
1849 % die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
1850 % \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 52)$ mit $k = 9,522$ und $\theta = 0,867$.}
1851 % \label{fig:markov-comparators-14}
1856 % \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-16-pct.pdf}
1858 % \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 16~Leitungen),
1859 % die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
1860 % \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 62)$ mit $k = 17,939$ und $\theta = 1,091$.}
1861 % \label{fig:markov-comparators-16}
1866 % \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-comparators-18-pct.pdf}
1868 % \caption{Anzahl der Komparatoren von Sortiernetzwerken (mit 18~Leitungen),
1869 % die von {\sc SN-Markov} durchlaufen wurden. Grün eingezeichnet ist die
1870 % \emph{Gamma-Verteilung} $f(x - 81)$ mit $k = 10,724$ und $\theta = 0,766$.}
1871 % \label{fig:markov-comparators-18}
1876 % \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-cycles-16.pdf}
1878 % \caption{Zyklen, die beim \textit{Random Walk} des
1879 % \textsc{SN-Markov}-Algorithmus detektiert wurden. Auf der x-Achse sind die
1880 % Anzahl der Schritte, die \textsc{SN-Markov} zurückgelegt hat, auf der
1881 % y-Achse die Längen der gefundenen Zyklen aufgetragen. Das initiale
1882 % Start-Sortiernetzwerk war $\operatorname{OET}(16)$.}
1883 % \label{fig:markov-cycles-16}
1887 \section[\textsc{SN-Evolution-Cut}]{Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus}
1888 \label{sect:sn-evolution-cut}
1890 Das Programm \textsc{SN-Evolution-Cut} implementiert einen evolutionären
1891 Algorithmus, der zu einem gegebenen Sortiernetzwerk und einer gewünschten
1892 Leitungszahl ein Schnittmuster sucht, dass ein Sortiernetzwerk mit einer
1893 möglichst geringen Anzahl von Komparatoren und Schichten ergibt. Zur Bewertung
1894 von Sortiernetzwerken siehe auch Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution:bewertung}.
1896 Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus verwendet \emph{Schnittmuster}, die
1897 in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} definiert wurden, als Individuen.
1898 Ein Individuum besteht aus einer Liste von $n$~Zahlen, die entweder 1, $-1$
1899 oder 0 sind. Dieser Werte entsprechen Maximum, Minimum und unbelegt. Bei einem
1900 $k$-Schnittmuster sind genau $k$ Zahlen ungleich Null.
1902 Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten $r$~Werte des einen
1903 Schnittmusters und die letzten ${n-r}$~Schnitte des zweiten Schnittmusters
1904 verwendet. $r$ ist eine Zufallsvariable mit $0 \leqq r \leqq n$. Anschließend
1905 werden zufällig Werte auf Null beziehungsweise 1 oder $-1$ gesetzt, um die
1906 Anzahl der Schnitte zu korrigieren.
1908 Die Mutation vertauscht entweder die Werte von zwei zufälligen Positionen oder
1909 multipliziert den Wert einer Leitung mit $-1$, um die Schnittrichtung zu
1912 Die Eingabe für \textsc{SN-Evolution-Cut} ist ein $n$-Sortiernetzwerk und eine
1913 Zahl $k$, $1 \leqq k < n$, die angibt wie viele Leitungen entfernt werden
1914 sollen. Der Rückgabewert des \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus ist ein
1915 \emph{$k$-Schnittmuster}. Wird das Schnittmuster auf das Sortiernetzwerk, mit
1916 dem der Algorithmus gestartet wurde, angewendet, entsteht ein möglichst
1917 schnelles und effizientes Sortiernetzwerk mit $m = n - k$ Leitungen. Da mit
1918 dem Eingabe-Netzwerk und dem zurückgegebenen $k$-Schnittmuster das
1919 $m$-Sortiernetzwerk eindeutig bestimmt ist, werden im Folgenden sowohl das
1920 $k$-Schnittmuster als auch das $m$-Sortiernetzwerk als Ausgabe von
1921 \textsc{SN-Evolution-Cut} bezeichnet.
1923 \subsection[Bitones Mergesort-Netzwerk]{Versuche mit dem bitonen Mergesort-Netzwerk}
1924 \label{sect:sn-evolution-cut:bs}
1928 Wenn der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus mit dem \emph{bitonen
1929 Mergesort}-Netzwerk \bs{n} gestartet wird und $k$~Leitungen entfernen soll,
1930 ergeben die gefundenen Schnittmuster in vielen Fällen effizientere Netzwerke
1931 als \bs{n-k}. Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} beispielsweise mit \bs{22} und $k
1932 = 6$ gestartet, resultiert das gefundene Schnittmuster in einem
1933 Sortiernetzwerk mit 67~Komparatoren, 13~Komparatoren weniger als \bs{16}
1934 benötigt. Eines der Sortiernetzwerke, die auf diese Art und Weise generiert
1935 wurde, ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs22} zu sehen.
1937 % Beispiel Effizienz
1941 \input{images/16-ec-from-bs22.tex}
1943 \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 67~Komparatoren in
1944 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
1945 \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{bitonen Mergesort}-Netzwerk
1946 $\operatorname{BS}(22)$ durch das 6-Schnittmuster $\operatorname{MIN}(4,
1947 10, 17)$, $\operatorname{MAX}(7, 15, 20)$ erzeugt.}
1948 \label{fig:16-ec-from-bs22}
1951 Eine Übersicht über die Effizienz der Ergebnisse, die mit dem \emph{bitonen
1952 Mergesort}-Netzwerk als Eingabe für \textsc{SN-Evolution-Cut} erzielt wurden,
1953 gibt Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-efficiency}. \textsc{SN-E\-vo\-lu\-tion-Cut} wurde
1954 mit \bs{n}, $n = 9 \dots 24$ und $k = 1 \dots (n-8)$ gestartet. Die Konstanten
1955 der Bewertungsfunktion waren $w_{\mathrm{Basis}} = 0$,
1956 $w_{\mathrm{Komparatoren}} = 1$ und $w_{\mathrm{Schichten}} = n$. In jeder
1957 Zeile befinden sich die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk, in den Spalten
1958 befinden sich die Ergebnisse für eine Leitungszahl $m=n-k$ des
1959 Ausgabenetzwerks. In den Zellen stehen jeweils die Anzahl der Komparatoren des
1960 resultierenden Netzwerks. Die letzte Zeile enthält die Anzahl der
1961 Komparatoren, die \bs{m} benötigt, um die Ergebnisse besser einordnen zu
1966 \rowcolors{2}{black!5}{}
1967 \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
1969 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
1971 9 & 21 & & & & & & & & & & & & & & & \\
1972 10 & 20 & 27 & & & & & & & & & & & & & & \\
1973 11 & 20 & 27 & 32 & & & & & & & & & & & & & \\
1974 12 & 20 & 26 & 32 & 39 & & & & & & & & & & & & \\
1975 13 & 20 & 26 & 32 & 39 & 45 & & & & & & & & & & & \\
1976 14 & 20 & 26 & 32 & 39 & 45 & 53 & & & & & & & & & & \\
1977 15 & 20 & 26 & 32 & 39 & 45 & 53 & 61 & & & & & & & & & \\
1978 16 & 20 & 26 & 32 & 39 & 45 & 53 & 61 & 70 & & & & & & & & \\
1979 17 & 20 & 26 & 32 & 37 & 43 & 50 & 57 & 65 & 74 & & & & & & & \\
1980 18 & 20 & 26 & 31 & 37 & 43 & 49 & 56 & 63 & 71 & 82 & & & & & & \\
1981 19 & 20 & 26 & 31 & 37 & 43 & 48 & 55 & 62 & 70 & 79 & 88 & & & & & \\
1982 20 & 20 & 26 & 32 & 37 & 44 & 48 & 55 & 61 & 68 & 77 & 86 & 95 & & & & \\
1983 21 & 20 & 26 & 32 & 37 & 44 & 48 & 55 & 61 & 68 & 77 & 85 & 94 & 103 & & & \\
1984 22 & 20 & 26 & 31 & 37 & 42 & 48 & 54 & 61 & 67 & 77 & 84 & 93 & 102 & 112 & & \\
1985 23 & 20 & 26 & 31 & 37 & 42 & 48 & 54 & 61 & 68 & 76 & 84 & 93 & 102 & 112 & 122 & \\
1986 24 & 20 & 26 & 32 & 37 & 42 & 48 & 54 & 61 & 68 & 76 & 84 & 93 & 102 & 112 & 122 & 133 \\
1988 \bs{m} & 24 & 28 & 33 & 39 & 46 & 53 & 61 & 70 & 80 & 85 & 91 & 98 & 106 & 114 & 123 & 133 \\
1992 \caption{Anzahl der Komparatoren der Ergebnisse von
1993 \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des \emph{bitonen
1994 Mergesort}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$. Jede Zeile gibt
1995 die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \bs{n} an, jede Spalte enthält die
1996 Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des Ausgabenetzwerks.}
1997 \label{tbl:ec-bs-efficiency}
2000 Zu sehen ist, dass jedes einzelne Ergebnis von \textsc{SN-Evolution-Cut}
2001 mindestens so effizient wie das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk mit der
2002 gleichen Leitungszahl ist. Außerdem enthält jede Spalte (mit Ausnahme von
2003 $m=23$) ein Ergebnis, das effizienter als \bs{m} ist.
2005 In zahlreichen Fällen reicht das Entfernen einer einzigen Leitung aus, um ein
2006 effizientes Ergebnis zu erzielen. Das Ergebnis, das \textsc{SN-Evolution-Cut}
2007 gestartet mit \bs{20} und $k = 1$ erreicht, benötigt mit 95~Komparatoren
2008 3~weniger als \bs{19}.
2010 Bei anderen Größen ergeben erst größere~$k$ effiziente Sortiernetzwerke,
2011 beispielsweise bei $m = 10$: erst für $n = 18$, $k = 8$ wird ein
2012 Sortiernetzwerk mit 31~Komparatoren gefunden.
2016 Bei einigen Werten für die Ziel-Leitungsanzahl $m$ kann der
2017 \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus Ergebnisse erzielen, die schneller als
2018 das entsprechende \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk \bs{m} sind. In
2019 Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-speed} ist die Anzahl der Schichten, die die Ergebnisse
2020 von \textsc{SN-Evolution-Cut} benötigen, um die Eingabe zu sortieren,
2021 aufgelistet. Jede Zeile enthält die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \bs{n},
2022 jede Spalte enthält die Ergebnisse für eine Ziel-Leitungszahl $m = n-k$. Die
2023 Zellen enthalten die Anzahl der Schichten des jeweiligen Ergebnis-Netzwerks.
2027 \rowcolors{2}{black!5}{}
2028 \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
2030 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
2032 9 & 6 & & & & & & & & & & & & & & & \\
2033 10 & 6 & 8 & & & & & & & & & & & & & & \\
2034 11 & 6 & 8 & 9 & & & & & & & & & & & & & \\
2035 12 & 6 & 8 & 9 & 10 & & & & & & & & & & & & \\
2036 13 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & & & & & & & & & & & \\
2037 14 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & & \\
2038 15 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & \\
2039 16 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & \\
2040 17 & 6 & 8 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & \\
2041 18 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & & & & & & \\
2042 19 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & & & & & \\
2043 20 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & & & & \\
2044 21 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & & & \\
2045 22 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & & \\
2046 23 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & \\
2047 24 & 6 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
2049 \bs{m}& 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
2053 \caption{Anzahl der Schichten der Ergebnisse von
2054 \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des \emph{bitonen
2055 Mergesort}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$. Jede Zeile gibt
2056 die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \bs{n} an, jede Spalte enthält die
2057 Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des Ausgabenetzwerks.}
2058 \label{tbl:ec-bs-speed}
2061 Für die Ziel-Leitungszahlen 9, 10 und 11 wurden Schnittmuster gefunden, die
2062 schnelle Sortiernetzwerke erzeugen. Beispiele für schnelle Sortiernetzwerke,
2063 die mit den von \textsc{SN-Evolution-Cut} ausgegebenen Schnittmustern erzeugt
2064 werden können, sind in Abbildung~\ref{fig:ec-bs-fast_networks} dargestellt.
2066 % Beispiel Geschwindigkeit
2070 \subfigure[10-Sortiernetzwerk aus 31~Komparatoren in 8~Schichten. Das
2071 Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{19} erzeugt.]{\input{images/10-ec-from-bs19-fast.tex}\label{fig:10-ec-from-bs19-fast}}
2072 \subfigure[11-Sortiernetzwerk aus 37~Komparatoren in 9~Schichten. Das
2073 Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{18} erzeugt.]{\input{images/11-ec-from-bs18-fast.tex}\label{fig:11-ec-from-bs18-fast}}
2074 \subfigure[12-Sortiernetzwerk aus 42~Komparatoren in 9~Schichten. Das
2075 Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{22} erzeugt.]{\input{images/12-ec-from-bs22-fast.tex}\label{fig:12-ec-from-bs22-fast}}
2076 \subfigure[19-Sortiernetzwerk aus 92~Komparatoren in 13~Schichten. Das
2077 Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{37} erzeugt.]{\input{images/19-ec-from-bs37-fast.tex}\label{fig:19-ec-from-bs37-fast}}
2078 \caption{Für einige Ziel-Leitungszahlen, unter anderem $m \in \{10, 11,
2079 12, 19\}$, kann der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus Sortiernetzwerke
2080 erzeugen, die \emph{schneller} und \emph{effizienter} als \bs{m} sind.}
2081 \label{fig:ec-bs-fast_networks}
2084 Bei der Betrachtung der Effizienz wurde festgestellt, dass oft schon das
2085 Entfernen einer einzigen Leitung zu eines effizienteren Ergebnis als \bs{m}
2086 führt. Bei der Geschwindigkeit ist die Anzahl der Leitungen, die entfernt
2087 werden müssen, um schnellere Netzwerke zu erzielen, größer. Um eine Schicht
2088 einzusparen waren bei $m = 10$ und $m = 11$ $k = 6$ Schnitte notwendig. Bei $m
2089 = 9$ war sogar ein 7-Schnittmuster notwendig, um die Anzahl der Schichten zu
2090 reduzieren. Für schnelle \emph{und} effiziente Netzwerke musste $k$ teilweise
2091 noch größer gewählt werden.
2093 % Detaillierte Betrachtung fuer m = 19
2095 Die Effizienz und Geschwindigkeit der Sortiernetzwerke, die von
2096 \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{bitonen Mergesort}-Netzwerk erzeugten
2097 werden, ist für $m = 19$ und $n = 20 \dots 38$ ($k = 1 \dots 19$) in
2098 Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-19} aufgelistet. Erst, wenn $k \geqq 6$ ist, wird im
2099 Vergleich zu \bs{19} eine Schicht eingespart. Für $n = 36$ ($k = 17$) und $n =
2100 37$ ($k = 18$) werden Sortiernetzwerke ausgegeben, die schneller als \bs{19}
2101 und \oes{19} sind und nur einen Komparator mehr als \oes{19} benötigen. Ein
2102 Beispiel für ein solches Netzwerk ist in
2103 Abbildung~\ref{fig:19-ec-from-bs37-fast} zu sehen.
2107 \rowcolors{2}{black!5}{}
2108 \begin{tabular}{|r|r|r|}
2110 $n$ & Komp. & Schichten \\
2130 \rowcolor{green!10!white!95!black}
2134 \bs{19} & 98 & 14 \\
2135 \oes{19} & 91 & 14 \\
2139 \caption{Anzahl der Komparatoren und Schichten von 19-Sortiernetzwerken, die
2140 von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{n}, $n = 20, \dots, 38$ erzeugt
2141 wurden. Für $k \geqq 6$ ergeben sich Sortiernetzwerke, die schneller als
2142 \bs{19} sind. Mit $k \in \{14, 16, 19\}$ erreichen die Ergebnisse mit
2143 13~Schichten die Effizienz der vorherigen
2144 Ergebnisse mit 14~Schichten, mit $k = 17$ und $k = 18$ wird diese
2145 Effizienz noch übertroffen. Ein 19-Sortiernetzwerk, das aus \bs{37}
2146 auf diese Art erzeugt wurde, ist in
2147 Abbildung~\ref{fig:19-ec-from-bs37-fast} dargestellt.}
2148 \label{tbl:ec-bs-19}
2153 \textit{Moritz Mühlenthaler} und \textit{Rolf Wanka} zeigen in~\cite{MW2010},
2154 wie ein \emph{bitoner Mischer} $\bm{n = 2^d}$, der nach Batchers Methode
2155 konstruiert wurde, durch systematisches Entfernen von Leitungen in einen
2156 ebenfalls bitonen Mischer mit der Hälfte der Leitungen transformiert werden
2157 kann, so dass dieser alternative Mischer im Vergleich zu $\bm{\frac{n}{2} =
2158 2^{d-1}}$ Komparatoren einspart.
2160 Basierend auf diesen alternativen Mischern geben \textit{Mühlenthaler} und
2161 \textit{Wanka} eine Konstruktionsvorschrift für Sortiernetzwerke an, die
2162 gegenüber \bs{n} ${\frac{1}{4}n(\log n - 1)}$ Komparatoren einspart.
2163 Beispielsweise wird ein 16-Sortiernetzwerk angegeben, das nur 68~Komparatoren
2164 benötigt. Dieses Netzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:16-muehlenthaler}
2169 \input{images/16-muehlenthaler.tex}
2171 \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 68~Komparatoren in
2172 10~Schichten. Das Netzwerk wurde 2010 von \textit{Mühlenthaler} und
2173 \textit{Wanka} aus optimierten bitonen Mischern konstruiert und
2174 in~\cite{MW2010} veröffentlicht.}
2175 \label{fig:16-muehlenthaler}
2180 \input{images/16-ec-from-bs32.tex}
2182 \caption{Visualisierung eines 16-Schnittmusters, das von
2183 \textsc{SN-Evolution-Cut} für das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk \bs{32}
2184 berechnet wurde. Das resultierende Sortiernetzwerk besteht aus
2185 68~Komparatoren in 10~Schichten und ist in
2186 Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs32-normalized} als
2187 Standard-Sortiernetzwerk dargestellt.}
2188 \label{fig:16-ec-from-bs32}
2193 \input{images/16-ec-from-bs32-normalized.tex}
2195 \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 68~Komparatoren in
2196 10~Schichten. Das Netzwerk wurde mit einem 16-Schnittmuster, das von
2197 \textsc{SN-Evolution-Cut} berechnet wurde, aus dem \emph{bitone
2198 Mergesort}-Netzwerk \bs{32} erzeugt. Das Schnittmuster ist in
2199 Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs32} dargestellt.}
2200 \label{fig:16-ec-from-bs32-normalized}
2203 Startet man {\sc SN-Evolution-Cut} mit dem \emph{bitonen Mergesort}-Netzwerk
2204 $\operatorname{BS}(32)$ und der Vorgabe 16~Leitungen zu entfernen, liefert der
2205 Algorithmus Sortiernetzwerke, die ebenfalls aus 68~Komparatoren bestehen. Ein
2206 16-Sortiernetzwerk, das auf diese Weise generiert wurde, ist in den
2207 Abbildungen~\ref{fig:16-ec-from-bs32} und~\ref{fig:16-ec-from-bs32-normalized}
2208 zu sehen. Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs32} zeigt $\operatorname{BS}(32)$
2209 und das Schnittmuster ${\operatorname{MIN}(0, 5, 9, 11, 15, 17, 20, 22, 26,
2210 29, 30)}$, ${\operatorname{MAX}(2, 4, 13, 19, 24)}$, das durch
2211 \textsc{SN-Evolution-Cut} gefunden wurde.
2212 Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs32-normalized} zeigt das 16-Sortiernetzwerk
2213 nachdem das Schnittmuster angewendet und das Netzwerk normalisiert wurde.
2214 % Eine Ähnlichkeit zu $\operatorname{BS}(32)$ oder $\operatorname{BS}(16)$ ist
2215 % in diesem Netzwerk nicht mehr erkennbar -- insbesondere die ersten Schichten
2216 % des Netzwerks scheinen rein zufällig zu sein.
2219 % 0:MAX 1:MAX 4:MIN 6:MAX 9:MAX 11:MAX 14:MIN 15:MAX 18:MAX 19:MAX 21:MAX
2220 % 23:MIN 24:MAX 25:MAX 30:MIN 31:MIN 32:MAX 34:MAX 36:MIN 37:MAX 40:MAX
2221 % 43:MAX 46:MIN 47:MAX 48:MAX 49:MAX 54:MIN 55:MAX 56:MAX 58:MIN 60:MAX
2224 \input{images/32-ec-from-bs64.tex}
2226 \caption{Sortiernetzwerk mit 32~Leitungen und 206~Komparatoren in
2227 15~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
2228 \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem bitonen Mergesort-Netzwerk
2229 $\operatorname{BS}(64)$ durch 32~Schnitte erzeugt. Das zugehörige
2231 $\operatorname{MIN}(4, 14, 23, 30, 31, 36, 46, 54, 58)$,
2232 $\operatorname{MAX}(0, 1, 6, 9, 11, 15, 18, 19, 21, 24, 25, 32, 34, 37,
2233 40, 43, 47, 48, 49, 55, 56, 60, 63)$.}
2234 \label{fig:32-ec-from-bs64}
2237 Wenn \textsc{SN-Evolution-Cut} mit dem \bs{64}-Netzwerk und $k = 32$ gestartet
2238 wird, findet der Algorithmus 32-Sortiernetzwerke, die effizienter sind als
2239 32-Sortiernetzwerke, die nach \textit{Mühlenthalers} und \textit{Wankas}
2240 Methode konstruiert werden. Ein von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{64}
2241 generiertes 32-Sortiernetzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64}
2242 dargestellt. Das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk \bs{32} benötigt
2243 240~Komparatoren, ein aus den optimierten Mischern aufgebautes Netzwerk
2244 verbessert die Effizienz auf 208~Komparatoren. Das Ergebnis von
2245 \textsc{SN-Evolution-Cut} kommt mit nur 206~Komparatoren aus. Die
2246 Geschwindigkeit aller genannten Sortiernetzwerke ist mit 15 parallelen
2247 Schritten identisch.
2249 Wenn die Leitungszahl des Eingabenetzwerks keine Zweierpotenz ist, kann
2250 \textsc{SN-Evo\-lu\-tion-Cut} auch 16-Sortiernetzwerke erzeugen, die diese
2251 Effizienz unterbieten. Das geht aus den Daten in
2252 Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-efficiency} hervor. Ein 16-Sortiernetzwerk mit
2253 67~Komparatoren, das von \textsc{SN-Evolution-Cut} generiert wurde, ist in
2254 Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs22} dargestellt.
2256 Leider sind die Schnittmuster, die \textsc{SN-Evolution-Cut} ausgibt, sehr
2257 unregelmäßig. Bisher ist es nicht gelungen eine Konstruktionsanweisung für
2258 gute Schnittmuster anzugeben.
2260 Entscheidend für das Ergebnis eines Schnittmusters scheint beim \emph{bitonen
2261 Mergesort}-Netzwerk die Aufteilung der Minimum- und Maximumschnitte zu sein.
2262 Von Hundert 16-Schnittmustern für $\operatorname{BS}(32)$, die in
2263 Sortiernetzwerken mit 68~Komparatoren in 10~Schichten resultieren, hatten 73
2264 ein Verhältnis von $5/11$, 13 hatten ein Verhältnis von $4/12$ und 14 hatten
2265 ein Verhältnis von $3/13$ Minimum- beziehungsweise Maximumschnitten. Da sich
2266 die Schnittmuster aufgrund der Symmetrie des \emph{bitonen
2267 Mergesort}-Netzwerks leicht invertieren lassen, ist eine Fallunterscheidung --
2268 mehr Minimum- oder mehr Maximumschnitte -- nicht notwendig.
2270 Dass die Sortiernetzwerke, die mit den Schnittmustern von
2271 \textsc{SN-Evolution-Cut} entstehen, keine erkennbare Struktur haben, ist
2272 jedoch kein Eigenschaft des Algorithmus, sondern hängt insbesondere von der
2273 Eingabe ab. Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} beispielsweise mit dem
2274 \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk $\operatorname{OET}(n)$ und
2275 $k$~Schnitten gestartet, so ist das beste Ergebnis immer das
2276 $\operatorname{OET}(n-k)$-Netzwerk.
2278 \subsection[Odd-Even-Mergesort-Netzwerk]{Versuche mit dem Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
2279 \label{sect:sn-evolution-cut:oes}
2281 Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} mit dem \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk
2282 \oes{n} gestartet, gibt der Algorithmus meist Sortiernetzwerke zurück, die
2283 genauso effizient und schnell wie das entsprechende
2284 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk \oes{m} sind. Die Effizienz der
2285 Sortiernetzwerke, die mit Schnittmustern von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus
2286 \oes{n} entstehen können, zeigt Tabelle~\ref{tbl:ec-oes-efficiency}
2291 \rowcolors{2}{black!5}{}
2292 \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
2294 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
2296 9 & 19 & & & & & & & & & & & & & & & \\
2297 10 & 19 & 26 & & & & & & & & & & & & & & \\
2298 11 & 19 & 26 & 31 & & & & & & & & & & & & & \\
2299 12 & 19 & 26 & 31 & 37 & & & & & & & & & & & & \\
2300 13 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & & & & & & & & & & & \\
2301 14 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & 48 & & & & & & & & & & \\
2302 15 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & & & & & & & & & \\
2303 16 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & 59 & & & & & & & & \\
2304 17 & 19 & 26 & 31 & 38 & 41 & 48 & 53 & 59 & 63 & & & & & & & \\
2305 18 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & & & & & & \\
2306 19 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & & & & & \\
2307 20 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & & & & \\
2308 21 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & & & \\
2309 22 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & 107 & & \\
2310 23 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & 107 & 114 & \\
2311 24 & 19 & 26 & 31 & 38 & 43 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & 107 & 114 & 122 \\
2313 \oes{m}&19& 26 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & 59 & 63 & 74 & 82 & 91 & 97 & 107 & 114 & 122 \\
2317 \caption{Anzahl der Komparatoren der Ergebnisse von
2318 \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des
2319 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$.
2320 Jede Zeile gibt die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \oes{n} an, jede
2321 Spalte enthält die Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des
2323 \label{tbl:ec-oes-efficiency}
2328 \subfigure[11-Sortiernetzwerk aus 38~Komparatoren in 9~Schichten. Das
2329 Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \oes{17} erzeugt.]{\input{images/11-ec-from-oes17-fast.tex}\label{fig:11-ec-from-oes17-fast}}
2330 \subfigure[12-Sortiernetzwerk aus 43~Komparatoren in 9~Schichten. Das
2331 Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \oes{18} erzeugt.]{\input{images/12-ec-from-oes18-fast.tex}\label{fig:12-ec-from-oes18-fast}}
2332 \caption{Für einige Ziel-Leitungszahlen, unter anderem $m = 10$ und $m =
2333 11$, kann der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus Sortiernetzwerke
2334 erzeugen, die \emph{schneller} aber weniger \emph{effizient} als \oes{m}
2336 \label{fig:ec-oes-fast_networks}
2339 Die Bewertungsfunktion, die \textsc{SN-Evolution-Cut} verwendet, bevorzugt
2340 schnelle Sortiernetzwerke. Dadurch kann es vorkommen, dass ein
2341 $m$-Sortiernetzwerk, das durch ein von \textsc{SN-Evolution-Cut} ausgegebenes
2342 Schnittmuster entsteht, schneller als \oes{m} ist. Diese Geschwindigkeit
2343 war allerdings in allen beobachteten Fällen nur dann möglich, wenn
2344 zusätzliche Komparatoren in Kauf genommen wurden. In den
2345 Tabellen~\ref{tbl:ec-oes-efficiency} und~\ref{tbl:ec-oes-speed} ist dieser
2346 Fall für $m = 11$ und $k \geqq 6$, beziehungsweise $m = 12$ und $k \geqq 6$ zu
2347 beobachten. Die entsprechenden schnellen Sortiernetzwerke sind in
2348 Abbildung~\ref{fig:ec-oes-fast_networks} dargestellt.
2350 Wie beim \emph{bitonen Mergesort}-Netzwerk reicht auch beim
2351 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk ein einziger Schnitt nicht aus, um die
2352 Geschwindigkeit gegenüber \oes{m} zu verbessern. Bei $m = 11$ und $m = 12$ war
2353 jeweils mindestens ein 6-Schnittmuster notwendig, um eine höhere
2354 Geschwindigkeit zu erreichen.
2356 In Tabelle~\ref{tbl:ec-oes-19} sind die Ergebnisse von
2357 \textsc{SN-Evolution-Cut} für \oes{n}, $n = 20$ und $m = 19$ ($k = 1 \dots
2358 19$) aufgelistet. Mit $k = 10$ wird das erste mal ein schnelles
2359 19-Sortiernetzwerk mit 13~Schichten ausgegeben. Mit $k \geqq 11$ sind die
2360 resultierenden Netzwerke mit 93~Komparatoren effizienter als das Ergebnis mit
2361 $k = 10$, das 95~Komparatoren benötigt. Das Ergebnis, das auf Basis des
2362 \emph{bitonen Mergesort}-Netzwerks erreicht wurde (92~Komparatoren in
2363 13~Schichten, siehe Tabelle~\ref{tbl:ec-bs-19}), wird nicht erreicht.
2367 \rowcolors{2}{black!5}{}
2368 \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
2370 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
2372 9 & 6 & & & & & & & & & & & & & & & \\
2373 10 & 6 & 8 & & & & & & & & & & & & & & \\
2374 11 & 6 & 8 & 9 & & & & & & & & & & & & & \\
2375 12 & 6 & 8 & 9 & 10 & & & & & & & & & & & & \\
2376 13 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & & & & & & & & & & & \\
2377 14 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & & \\
2378 15 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & \\
2379 16 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & \\
2380 17 & 6 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & \\
2381 18 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & & & & & & \\
2382 19 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & & & & & \\
2383 20 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & & & & \\
2384 21 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & & & \\
2385 22 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & & \\
2386 23 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & \\
2387 24 & 6 & 8 & 9 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
2389 \oes{m}& 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
2393 \caption{Anzahl der Schichten der Ergebnisse von
2394 \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des
2395 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$.
2396 Jede Zeile gibt die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \oes{n} an, jede
2397 Spalte enthält die Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des
2399 \label{tbl:ec-oes-speed}
2404 \rowcolors{2}{black!5}{}
2405 \begin{tabular}{|r|r|r|}
2407 $n$ & Komp. & Schichten \\
2421 \rowcolor{green!10!white!95!black}
2425 \rowcolor{green!10!white!95!black}
2429 \rowcolor{green!10!white!95!black}
2433 \rowcolor{green!10!white!95!black}
2438 \bs{19} & 98 & 14 \\
2439 \oes{19} & 91 & 14 \\
2443 \caption{Komparatoren und Schichten von Sortiernetzwerken, die von
2444 \textsc{SN-Evolution-Cut} mit \oes{n} und $k = n - 19$ ermittelt wurden. Erst mit $k = 10$
2445 ist es möglich gegenüber \oes{19} eine Schicht einzusparen. Dafür ist die
2446 Effizienz von 91~Komparatoren nicht mehr erreichbar.}
2447 \label{tbl:ec-oes-19}
2452 In Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} wurde bereits untersucht, wie
2453 viele \emph{unterschiedliche} 16-Schnittmuster die konstruierten
2454 Sortiernetzwerke $\operatorname{OES}(32)$, $\operatorname{BS}(32)$ und
2455 $\operatorname{PS}(32)$ besitzen. Eines der Ergebnisse war, dass von diesen
2456 Sortiernetzwerken das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk die wenigsten
2457 unterschiedlichen 16-Schnittmuster besitzt -- nur etwa $5,2$~Millionen.
2458 Entsprechend ist es wenig verwunderlich, dass \textsc{SN-Evolution-Cut}
2459 gestartet mit $\operatorname{OES}(32)$ sehr schnell\footnote{Ein
2460 entsprechendes Ergebnis wird meist nach 20.000 bis 100.000 Iterationen
2461 geliefert. Bei dieser Problemgröße erreicht die Implementierung (siehe
2462 Abschnitt~\ref{sect:implementierung}) etwa 20.000 Iterationen pro Sekunde auf
2463 derzeitigen Computern.} ein gutes 16-Schnittmuster findet.
2465 Eines der 16-Schnittmuster für \oes{32}, die ein Sortiernetzwerk erzeugen, das
2466 bezüglich Effizienz und Geschwindigkeit identisch zu \oes{16} ist, ist
2467 $\operatorname{MIN}(1, 6, 11, 14, 17, 23, 26, 29)$, $\operatorname{MAX}(2, 7,
2468 8,$ $13, 18, 21, 27, 31)$. Das Schnittmuster ist in
2469 Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32-cut} veranschaulicht, das resultierende
2470 Netzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32} zu sehen.
2474 \input{images/16-ec-from-oes32-cut.tex}
2476 \caption{Visualisierung eines 16-Schnittmusters, das auf
2477 $\operatorname{OES}(32)$ angewendet ein Sortiernetzwerk ergibt, das
2478 bezüglich Geschwindigkeit und Effizienz identisch zu \oes{16} ist. Das
2479 resultierende Sortiernetzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32}
2481 \label{fig:16-ec-from-oes32-cut}
2486 \input{images/16-ec-from-oes32.tex}
2488 \caption{16-Sortiernetzwerk mit 63~Komparatoren in 10~Schichten.
2489 Das Netzwerk wurde aus dem \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk \oes{32} mit
2490 einem 16-Schnittmuster erzeugt, das von \textsc{SN-Evolution-Cut}
2491 berechnet wurde. Das Schnittmuster ist in
2492 Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32-cut} dargestellt.}
2493 \label{fig:16-ec-from-oes32}
2496 % Regelmaessiges Schnittmuster fuer n = 2^d
2498 Bei diesem Schnittmuster fällt auf, dass es für jeweils vier Eingänge (0--3,
2499 4--7, \dots, 28--31) einen Minimum- und einen Maximumschnitt gibt. Aus dieser
2500 Beobachtung kann das regelmäßige Schnittmuster
2502 \textit{Eingang}_i = \left\{ \begin{array}{rl}
2503 \infty & \quad \textrm{falls } i \bmod 4 = 0 \\
2504 -\infty & \quad \textrm{falls } i \bmod 4 = 3 \\
2505 ? & \quad \mathrm{sonst}
2508 abgeleitet werden. Es entfernt die Hälfte der Leitungen, vorausgesetzt die
2509 Anzahl der Leitungen ist durch Vier teilbar. Das Schnittmuster erzeugt
2510 effiziente Netzwerke, wenn die Anzahl der Leitungen $n = 2^d$ eine
2511 Zweierpotenz ist. Ein 32-Sortiernetzwerk, das mit diesem Schnittmuster aus
2512 \oes{64} erzeugt wurde, ist in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-oes64} zu sehen.
2516 \input{images/32-ec-from-oes64.tex}
2518 \caption{32-Sortiernetzwerk mit 191~Komparatoren in 15~Schichten.
2519 Das Netzwerk wurde mit einem regelmäßigen Schnittmuster aus dem
2520 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk \oes{64} erzeugt.}
2521 \label{fig:32-ec-from-oes64}
2524 Wenn die Anzahl der Leitungen keine Zweierpotenz ist, erreichen die durch
2525 dieses regelmäßige Schnittmuster erzeugten Sortiernetzwerke die Effizienz des
2526 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks nicht. Wendet man das Schnittmuster
2527 beispielsweise auf \oes{24} an, so erhält man ein Sortiernetzwerk mit
2528 43~Komparatoren -- \oes{12} kommt mit 41~Komparatoren aus. Die Geschwindigkeit
2529 beider Sortiernetzwerke ist mit 10~Schichten identisch.
2531 % SN-Evolution-Cut vs. regelmaessiges Schnittmuster
2533 Wird der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus mit \oes{n}, $n = 22, 23, 24$
2534 und $k = 10, 11, 12$ gestartet, hängt die Ausgabe von der verwendeten
2535 Gütefunktion ab. Werden effiziente Netzwerke bevorzugt, findet der Algorithmus
2536 Schnittmuster wie das 12-Schnittmus\-ter $\operatorname{MIN}(6, 7, 8, 9, 16, 17,
2537 20, 22)$, $\operatorname{MAX}(2, 4, 12, 14)$ für \oes{24}, dessen Ergebnis in
2538 Abbildung~\ref{fig:12-ec-from-oes24-efficient} zu sehen ist. Das resultierende
2539 Sortiernetzwerk besteht aus 41~Komparatoren, die in 10~Schichten angeordnet
2540 werden können. Damit ist das Netzwerk bezüglich Effizienz und Geschwindigkeit
2541 gleichauf mit \oes{12}. Werden hingegen schnelle Sortiernetzwerke bevorzugt,
2542 werden stattdessen Schnittmuster wie $\operatorname{MIN}(6, 7, 11, 12, 15,
2543 16)$, $\operatorname{MAX}(1, 3, 10, 17, 20, 23)$ ausgegeben. Das Ergebnis
2544 dieses Schnittmusters ist in Abbildung~\ref{fig:12-ec-from-oes24-fast} zu
2545 sehen, weitere Ergebnisse für diese Gütefunktion sind in den
2546 Tabellen~\ref{tbl:ec-oes-efficiency} und~\ref{tbl:ec-oes-speed} zusammengefasst.
2547 Das resultierende 12-Sortiernetzwerk besteht aus 43~Komparatoren, die
2548 in 9~Schichten angeordnet sind. Das resultierende Netzwerk zwar nicht so
2549 effizient wie \oes{12}, dafür aber schneller als \oes{12} und \bs{12}.
2553 \subfigure[Effizientes 12-Sortiernetzwerk aus 41~Komparatoren in
2554 10~Schichten, das von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem
2555 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk generiert
2556 wurde.]{\input{images/12-ec-from-oes24-efficient.tex}\label{fig:12-ec-from-oes24-efficient}}
2557 \subfigure[Schnelles 12-Sortiernetzwerk aus 43~Komparatoren in 9~Schichten,
2558 das von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk
2560 wurde.]{\input{images/12-ec-from-oes24-fast.tex}\label{fig:12-ec-from-oes24-fast}}
2561 \caption{Startet man \textsc{SN-Evolution-Cut} mit \oes{24}, hängt das
2562 Ergebnis von der Bewertungsfunktion ab.}
2563 \label{fig:12-ec-from-oes24}
2566 \subsection[Pairwise-Sorting-Netzwerk]{Versuche mit dem Pairwise-Sorting-Netzwerk}
2568 Eine weitere interessante Eingabe für \textsc{SN-Evolution-Cut} ist das
2569 \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk \ps{n}, das \textit{Ian
2570 Parberry} in seiner Arbeit „The Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992}
2571 definiert. Einerseits wurde in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster}
2572 gezeigt, dass es für \ps{n} sehr viele \emph{unterschiedliche} Schnittmuster
2573 gibt. Andererseits sind die Sortiernetzwerke, die nach \textit{Parberrys}
2574 Methode erzeugt werden, genauso schnell und effizient wie das
2575 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk, wenn die Leitungszahl $n = 2^d$ eine
2580 Für viele Kombinationen von \ps{n} und $k$ sind die Sortiernetzwerke, die
2581 \textsc{SN-Evolution-Cut} ausgibt, weniger effizient als das entsprechende
2582 \ps{m}-Netzwerk. Für einige Kombinationen werden jedoch auch effizientere
2583 Netzwerke generiert, beispielsweise für $m = 11$ und $m = 20$. Die Effizienz
2584 der Sortiernetzwerke, die \textsc{SN-Evolution-Cut} auf Basis des
2585 \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerks berechnet, ist tabellarisch in
2586 Tabelle~\ref{tbl:ec-ps-efficiency} dargestellt.
2590 \rowcolors{2}{black!5}{}
2591 \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
2593 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
2595 9 & 20 & & & & & & & & & & & & & & & \\
2596 10 & 20 & 27 & & & & & & & & & & & & & & \\
2597 11 & 20 & 28 & 32 & & & & & & & & & & & & & \\
2598 12 & 20 & 28 & 32 & 38 & & & & & & & & & & & & \\
2599 13 & 19 & 27 & 31 & 37 & 41 & & & & & & & & & & & \\
2600 14 & 19 & 27 & 31 & 37 & 41 & 48 & & & & & & & & & & \\
2601 15 & 19 & 27 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & & & & & & & & & \\
2602 16 & 19 & 27 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53 & 59 & & & & & & & & \\
2603 17 & 21 & 29 & 32 & 39 & 43 & 51 & 57 & 64 & 68 & & & & & & & \\
2604 18 & 22 & 29 & 32 & 39 & 43 & 52 & 58 & 65 & 69 & 80 & & & & & & \\
2605 19 & 23 & 29 & 32 & 39 & 43 & 52 & 58 & 65 & 69 & 80 & 88 & & & & & \\
2606 20 & 23 & 29 & 32 & 39 & 43 & 52 & 58 & 65 & 69 & 80 & 88 & 97 & & & & \\
2607 21 & 20 & 30 & 34 & 38 & 44 & 51 & 57 & 64 & 74 & 82 & 87 & 96 & 102 & & & \\
2608 22 & 20 & 30 & 34 & 38 & 46 & 51 & 57 & 64 & 72 & 82 & 89 & 96 & 102 & 112 & & \\
2609 23 & 20 & 27 & 34 & 38 & 42 & 51 & 57 & 66 & 72 & 83 & 89 & 97 & 102 & 112 & 119 & \\
2610 24 & 20 & 27 & 34 & 38 & 42 & 51 & 57 & 64 & 72 & 82 & 89 & 96 & 102 & 112 & 119 & 127 \\
2612 \ps{m}&19 & 27 & 32 & 38 & 42 & 48 & 53 & 59 & 63 & 79 & 88 & 97 & 103 & 112 & 119 & 127 \\
2616 \caption{Anzahl der Komparatoren der Ergebnisse von
2617 \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des
2618 \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$.
2619 Jede Zeile gibt die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \ps{n} an, jede
2620 Spalte enthält die Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des
2622 \label{tbl:ec-ps-efficiency}
2625 % Beispiel Effizienz
2627 Zwei Ergebnisse, die effizienter als die entsprechenden
2628 \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerke sind, zeigt
2629 Abbildung~\ref{fig:ec-ps-efficient_networks}. Sie erreichen die
2630 Geschwindigkeit und Effizienz des \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks mit der
2631 entsprechenden Leitungszahl. Bei größeren Netzwerken, beispielsweise $m = 19$,
2632 ist dies mit der in Tabelle~\ref{tbl:ec-ps-efficiency} dargestellten Größe der
2633 Schnittmuster noch nicht zu beobachten.
2637 \subfigure[11-Sortiernetzwerk aus 37~Komparatoren in 10~Schichten. Das
2638 Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem
2639 \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk \ps{13}
2640 erzeugt.]{\input{images/11-ec-from-ps13.tex}}
2641 \subfigure[12-Sortiernetzwerk aus 41~Komparatoren in 10~Schichten. Das
2642 Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem
2643 \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk \ps{16}
2644 erzeugt.]{\input{images/12-ec-from-ps16.tex}}
2645 \caption{Zwei effiziente Sortiernetzwerke, die durch Schnittmuster, die von
2646 \emph{SN-Evolution-Cut} berechnet wurden, aus dem
2647 \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk \ps{n} erzeugt wurden.}
2648 \label{fig:ec-ps-efficient_networks}
2651 % Wie viele Schnitte man braucht.
2653 Bei welchen Parametern \textsc{SN-Evolution-Cut} effiziente
2654 19-Sortiernetzwerke findet, ist Tabelle~\ref{tbl:ec-ps-19} zu entnehmen. Für
2655 $n = 31$, $k = 12$ und $n = 32$, $k = 13$ werden 19-Sortiernetzwerke mit der
2656 selben Effizienz und Geschwindigkeit wie \oes{19} erzeugt. Das
2657 19-Sortiernetzwerk, das auf diese Art und Weise aus \ps{32} erzeugt wurde, ist
2658 in Abbildung~\ref{fig:19-ec-from-ps32} dargestellt.
2662 \rowcolors{2}{black!5}{}
2663 \begin{tabular}{|r|r|r|}
2665 $n$ & Komp. & Schichten \\
2678 \rowcolor{green!10!white!95!black}
2689 \ps{19} & 97 & 15 \\
2690 \oes{19} & 91 & 14 \\
2694 \caption{Anzahl der Komparatoren und Schichten von 19-Sortiernetzwerken, die
2695 von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \ps{n}, $n = 20, \dots, 38$ erzeugt
2697 \label{tbl:ec-ps-19}
2702 \input{images/19-ec-from-ps32.tex}
2704 \caption{Sortiernetzwerk mit 19~Leitungen und 91~Komparatoren in
2705 14~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
2706 \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk
2707 $\operatorname{PS}(32)$ erzeugt.}
2708 \label{fig:19-ec-from-ps32}
2711 An den Daten in Tabelle~\ref{tbl:ec-ps-19} fällt auf, dass die Effizienz und
2712 Geschwindigkeit der Ergebnisse für $n > 32$ schlechter werden. Das
2713 \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk ist Leitungszahlen, die Zweierpotenzen sind,
2714 besonders effizient und schnell. Um der Vermutung nachzugehen, dass der
2715 \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus für $\ps{n = 2^d}$ besonders effiziente
2716 Schnittmuster findet, wurde \textsc{SN-Evolution-Cut} mit \ps{32} und $k = 1
2717 \dots 16$ gestartet. Die Ergebnisse sind in Tabelle~\ref{tbl:ec-ps-32}
2722 \rowcolors{2}{black!5}{}
2723 \begin{tabular}{|r|r|r|}
2725 $m$ & Komp. & Schichten \\
2746 \caption{Anzahl der Komparatoren und Schichten von $m$-Sortiernetzwerken,
2747 die von \textsc{SN-Evolution-Cut} nach 5.000.000 Iterationen aus \ps{32}
2749 \label{tbl:ec-ps-32}
2754 Die Schnittmuster, die \textsc{SN-Evolution-Cut} für das
2755 \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk berechnet, können zu schnelleren
2756 Sortiernetzwerken als \ps{m} führen. Beispielsweise konnte aus \ps{24} ein
2757 18-Sortiernetzwerk erzeugt werden, das mit 13~Schichten zwei parallele
2758 Schritte im Vergleich zu \ps{18} einspart. Eine Darstellung dieses
2759 Sortiernetzwerks befindet sich in Abbildung~\ref{fig:18-ec-from-ps24}. Für
2760 andere $m$ wurde die Geschwindigkeit des \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerks
2761 nicht übertroffen und im Fall von $m = 16$ wurde die Geschwindigkeit nicht
2766 \rowcolors{2}{black!5}{}
2767 \begin{tabular}{|r|rrrrrrrrrrrrrrrr|}
2769 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 \\
2771 9 & 6 & & & & & & & & & & & & & & & \\
2772 10 & 6 & 10 & & & & & & & & & & & & & & \\
2773 11 & 6 & 9 & 10 & & & & & & & & & & & & & \\
2774 12 & 6 & 8 & 9 & 10 & & & & & & & & & & & & \\
2775 13 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & & & & & & & & & & & \\
2776 14 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & & \\
2777 15 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & & \\
2778 16 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & & & & & & & & \\
2779 17 & 7 & 8 & 9 & 10 & 10 & 11 & 11 & 11 & 11 & & & & & & & \\
2780 18 & 7 & 8 & 9 & 10 & 10 & 11 & 11 & 11 & 11 & 15 & & & & & & \\
2781 19 & 7 & 8 & 9 & 10 & 10 & 11 & 11 & 11 & 11 & 15 & 15 & & & & & \\
2782 20 & 7 & 8 & 9 & 10 & 10 & 11 & 11 & 11 & 11 & 15 & 15 & 15 & & & & \\
2783 21 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 11 & 11 & 11 & 12 & 14 & 15 & 15 & 15 & & & \\
2784 22 & 6 & 8 & 9 & 10 & 10 & 11 & 11 & 11 & 12 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 & & \\
2785 23 & 6 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 11 & 11 & 11 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 & \\
2786 24 & 6 & 9 & 9 & 10 & 10 & 10 & 11 & 11 & 11 & 13 & 13 & 14 & 14 & 15 & 15 & 15 \\
2788 \ps{m} & 6 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 \\
2792 \caption{Anzahl der Schichten der Ergebnisse von
2793 \textsc{SN-Evolution-Cut} mit verschiedenen Größen des
2794 \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerks und unterschiedlichen Werten für~$k$.
2795 Jede Zeile gibt die Ergebnisse für ein Eingabenetzwerk \ps{n} an, jede
2796 Spalte enthält die Ergebnisse für $m=n-k$, die Anzahl der Leitungen des
2798 \label{tbl:ec-ps-speed}
2801 % Beispiel Geschwindigkeit
2805 \input{images/18-ec-from-ps24.tex}
2807 \caption{Sortiernetzwerk mit 18~Leitungen und 89~Komparatoren in
2808 13~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
2809 \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk
2810 $\operatorname{PS}(24)$ erzeugt.}
2811 \label{fig:18-ec-from-ps24}
2816 Die Ergebnisse, die \textsc{SN-Evolution-Cut} erzielte, wenn das gegebene
2817 Sortiernetzwerk das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk war
2818 (Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution-cut:bs}), waren sehr wirr. Beispielsweise
2819 ist bei dem Netzwerk in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} nicht ersichtlich,
2820 wie und warum es jede beliebige Eingabe sortiert.
2822 Bei dem \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk $\ps{n=2^d}$ ist das anders. Startet
2823 man \textsc{SN-Evolution-Cut} mit $\operatorname{PS}(32)$ und der Vorgabe,
2824 16~Leitungen zu entfernen, kann der Algorithmus ein Sortiernetzwerk
2825 zurückgeben, das die gleiche Anzahl Komparatoren und Schichten wie
2826 $\operatorname{PS}(16)$ und $\operatorname{OES}(16)$ hat. Eines dieser
2827 Sortiernetzwerke ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} dargestellt.
2828 Dieses Ergebnis demonstriert, dass sich die Ergebnisse in den gezeigten
2829 Tabellen oft durch zusätzliche Iterationen verbessern lassen.
2833 \input{images/16-ec-from-ps32.tex}
2835 \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 63~Komparatoren in
2836 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
2837 \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}
2838 $\operatorname{PS}(32)$ durch 16~Schnitte erzeugt.}
2839 \label{fig:16-ec-from-ps32}
2842 Obwohl das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk den \emph{Odd-Even}-Mischer nicht
2843 einsetzt und auch nicht auf einem Mischer basiert, ist das
2844 \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk $\operatorname{OEM}(8,8)$ im Sortiernetzwerk in
2845 Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} eindeutig erkennbar (Schichten~7--10). In
2846 den Schichten~1--6 erkennt man zwei unabhängige Sortiernetzwerke, die
2847 strukturell sehr ähnlich zu $\operatorname{PS}(8)$ sind -- lediglich die
2848 Schichten~1 und~2 sowie 4~und~5 sind vertauscht.
2852 \input{images/32-pairwise-cut-16-pairwise.tex}
2854 \caption{Das \ps{32}-Netzwerk mit 8~Maximum- und 8~Minimumschnitten. Gut zu
2855 sehen sind die verbleibenden Komparatoren, die das \ps{16}-Netzwerk
2857 \label{fig:ps16-from-ps32}
2860 Für das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} ist es vergleichsweise einfach
2861 regelmäßige Schnittmuster anzugeben, die aus dem Netzwerk ein kleineres
2862 schnelles und effizientes Sortiernetzwerk erzeugen. Beispielsweise führt das
2863 einfache Schnittmuster
2865 \textit{Eingang}_i = \left\{ \begin{array}{rl}
2866 -\infty & \quad \textrm{falls } i < \frac{1}{4} n \\
2867 \infty & \quad \textrm{falls } i \geqq \frac{3}{4} n \\
2868 ? & \quad \mathrm{sonst}
2871 für $\operatorname{PS}\left(n = 2^d\right)$ zum Sortiernetzwerk
2872 $\operatorname{PS}\left(\frac{1}{2}n\right)$. Die Art und Weise, mit der
2873 dieses Schnittmuster Komparatoren eliminiert und welche Komparatoren das
2874 verbleibende Netzwerk ausmachen, ist in Abbildung~\ref{fig:ps16-from-ps32}
2875 dargestellt. Die matt blauen und roten Leitungen und Komparatoren sind
2876 diejenigen, die Aufgrund eines Minimums oder eines Maximums im resultierenden
2877 Netzwerk nicht mehr enthalten sind. Da die Minima und Maxima bereits auf den
2878 „richtigen“ Leitungen angelegt werden, müssen keine Leitungen vertauscht
2879 werden und das Ergebnis ist bereits normalisiert. Daher ist das resultierende
2880 Netzwerk in schwarz gut zu erkennen.
2884 \input{images/16-pairwise.tex}
2886 \caption{Das $\operatorname{PS}(16)$-Sortiernetzwerk mit 8~Schnitten
2887 ($\operatorname{MIN}(0, 2, 4, 6), \operatorname{MAX}(9, 11, 13, 15)$). Das
2888 resultierende 8-Sortiernetzwerk ist $\operatorname{OES}(8)$.}
2889 \label{fig:16-pairwise}
2892 Ein Spezialfall ergibt sich, wenn \textsc{SN-Evolution-Cut} auf
2893 $\operatorname{PS}(16)$ angewendet wird: In diesem Fall kann ein
2894 8-Schnittmuster ausgegeben werden, das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk
2895 \oes{8} aus \ps{16} erzeugt.. Für größere Sortiernetzwerke ist dies hingegen
2896 nicht mehr möglich, beispielsweise kann $\operatorname{PS}(32)$ nicht durch
2897 ein 16-Schnittmuster in \oes{16} konvertiert werden. Die Verwandtschaft von
2898 $\operatorname{PS}(n)$ und \oes{n} untersucht \textit{Moritz Mühlenthaler}
2899 ausführlich in~\cite{M2009}.
2902 \section{Fazit und Ausblick}
2904 Mit dem Entfernen von Leitungen aus bekannten Sortiernetzwerken lassen sich
2905 interessante Ergebnisse erzielen. Dies zeigte \textit{Moritz Mühlenthaler}
2906 bereits in~\cite{M2009}. Die in dieser Arbeit vorgestellten Methoden und
2907 Resultate machen deutlich, dass sich mit diesem Verfahren noch weitere
2908 interessante Beobachtungen machen lassen.
2910 Das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk wird sowohl von \textsc{SN-Evolution},
2911 \textsc{SN-Evolution-Cut} und \textsc{SN-Markov} erreicht. Wenn die Anzahl der
2912 Leitungen keine Zweierpotenz ist, kann gegebenenfalls ein schnelleres
2913 Sortiernetzwerk erzeugt werden. Einige Beispiele hierfür wurden in
2914 Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution-cut:oes} aufgezeigt.
2916 Das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk kann in Bezug auf Effizienz von den
2917 vorgestellten Algorithmen übertroffen werden. Der Algorithmus
2918 \textsc{SN-Evolution-Cut} kann das Ergebnis von \textit{Mühlenthaler} und
2919 \textit{Wanka} (\cite{MW2010}) für ein 16-Sortiernetzwerk reproduzieren und
2920 für ein 32-Sortiernetzwerk sogar noch übertreffen. Der
2921 \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus fand 16-Sortiernetzwerke, die gegenüber dem
2922 Ergebnis von \textsc{SN-Evolution-Cut} beziehungsweise~\cite{MW2010} einen
2923 weiteren Komparator einsparen.
2925 Leider weisen die Sortiernetzwerke, die von den angegebenen Algorithmen
2926 zurückgegeben werden, keine Struktur auf, die sich zur Angabe einer
2927 Konstruktionsanweisung eigenen würde. Für das \emph{Pairwise-Sorting}- und das
2928 \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk mit Zweierpotenzen als Leitungszahl wurden
2929 regelmäßige Schnittmuster angegeben. Diese ergeben Sortiernetzwerke, die so
2930 schnell und effizient sind wie die vergleichbaren \oes{n} und \ps{n}
2933 Die Anzahl der \emph{unterschiedlichen} Schnitte von verschiedenen
2934 Sortiernetzwerken wurde experimentell bestimmt und gezeigt, dass es deutlich
2935 weniger \emph{unterschiedliche} als \emph{mögliche} Schnittmuster gibt. Das
2936 bedeutet im Umkehrschluss, dass die gewonnenen Sortiernetzwerke mit mehreren
2937 Schnittmustern erreicht werden können.
2939 Die Möglichkeiten der Optimierung von Sortiernetzwerken mit
2940 \emph{Evolutionären Algorithmen} sind durch die in dieser Arbeit vorgestellten
2941 Herangehensweisen bei weitem nicht erschöpft. Im Folgenden werden Ansätze
2942 umrissen, mit denen an die Untersuchungen in dieser Arbeit nahtlos angeknüpft
2945 \subsection{Ausblick: Das \textit{Pairwise-Sorting}-Netzwerk und \textsc{SN-Evolution}}
2947 Die aktuelle Implementierung von \textsc{SN-Evolution}
2948 (Abschnitte~\ref{sect:sn-evolution}
2949 beziehungsweise~\ref{sect:implementierung}) kann sowohl den \emph{bitonen
2950 Mischer} als auch den \emph{Odd-Even}-Mischer verwenden, um zwei Individuen zu
2951 rekombinieren. Das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk verwendet zwar keinen
2952 Mischer, es ist aber ebenfalls rekursiv über kleinere Versionen von sich
2953 selbst definiert. Das heißt, dass \ps{n} aus zwei Instanzen von
2954 $\ps{\frac{n}{2}}$ und zusätzlichen Komparatoren besteht, die die Eingabe für
2955 die kleineren Sortiernetzwerke vorbereiten und anschließend für eine sortierte
2956 Ausgabe sorgen. Anstelle von $\ps{\frac{n}{2}}$ können beliebige
2957 Sortiernetzwerke mit $\frac{n}{2}$~Leitungen verwendet werden.
2959 Dies ließe sich für \textsc{SN-Evolution} nutzen, um zwei Individuen zu
2960 rekombinieren. Da es für das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk sehr viele
2961 \emph{unterschiedliche} Schnittmuster gibt
2962 (Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster}), ist es möglich, dass die
2963 Verwendung dieser Rekombinationsmethode neue Ergebnisse ermöglicht. Leider
2964 wird die Aussicht auf Erfolg durch die Tatsache geschmälert, dass keine
2965 $n$-Schnittmuster für \ps{2n} gefunden werden konnten, die zu besseren
2966 $n$-Sortiernetzwerken als \ps{n} führen.
2968 \subsection{Ausblick: Kooperation von \textsc{SN-Evolution} und \textsc{SN-Evolution-Cut}}
2970 Ähnlich zu der parasitären \emph{Co-Evolution}, die \textit{W.~Daniel Hillis}
2971 in~\cite{H1990} beschreibt, könnte man versuchen, die Algorithmen
2972 \textsc{SN-Evolution} und \textsc{SN-Evolution-Cut} zu kombinieren. Nach dem
2973 Zusammenfügen von zwei $n$-Sortiernetzwerken könnte der Algorithmus
2974 \textsc{SN-Evolution-Cut} beispielsweise einen möglichst guten Schnitt für
2975 \emph{dieses} Netzwerk ermitteln. Da sich die Lösungen, die Evolutionäre
2976 Algorithmen in ihre Population aufnehmen, in den ersten Schritten rasch
2977 verbessern, könnten selbst weniger Iterationen von \textsc{SN-Evolution-Cut}
2978 die Zwischenlösungen von \textsc{SN-Evolution} deutlich verbessern.
2980 Alternativ könnte man -- analog zur Herangehensweise von \textit{Hillis} --
2981 eine zweite Population von Schnittmustern evolvieren, die für die
2982 Sortiernetzwerke in der Population von \textsc{SN-Evolution} besonders gut
2983 funktionieren. In jeder Iteration wendet man alle oder eine zufällige Menge
2984 Schnittmuster auf das zusammengeführte Netzwerk an und gibt dem besten
2985 Ergebnis den Zuschlag. Anschließend erfährt das entsprechende Schnittmuster
2986 eine Aufwertung, so dass es wahrscheinlicher wird, dass \emph{dieses}
2987 Schnittmuster zur nächsten Generation beiträgt. Im Gegensatz zum Ansatz der
2988 parasitären Eingaben entsteht eine \emph{Synergie} zweier Populationen, die
2989 das Gesamtergebnis oder zumindest die Konvergenzgeschwindigkeit verbessern
2993 \section{Implementierung}
2994 \label{sect:implementierung}
2996 Alle in dieser Arbeit beschriebenen Versuche wurden mit einer eigens
2997 entwickelten C-Bibliothek, \textit{libsortnetwork}, und zugehörigen
2998 Kommandozeilen-Programmen durchgeführt. Die Bibliothek wurde unter der
2999 \textit{GNU Lesser General Public License} (LGPL) in der Version~2.1
3000 veröffentlicht; die Kommandozeilen-Programme, die in vielen Fällen lediglich
3001 Funktionalität der Bibliothek auf der Kommandozeile zur Verfügung stellen,
3002 stehen unter der \textit{GNU General Public License}, Version~2. Diese
3003 Lizenzen räumen einem Benutzer weitreichende Rechte ein, unter anderem das
3004 Programm beliebig zu verwenden, zu studieren, zu verändern sowie veränderte
3005 und unveränderte Kopien zu veröffentlichen.
3007 Die Programmierschnittstelle (API) der Bibliothek orientiert sich an
3008 Paradigmen der \textit{objektorientierten Programmierung}. Beispielsweise kann
3009 mit der Funktion \texttt{sn\_network\_ create()} ein neues Zustands-Objekt
3010 erzeugt werden, für das mehrere Manipulations-Methoden, zum Beispiel
3011 \texttt{sn\_network\_comparator\_add()}, zur Verfügung stehen. Auf diese Art
3012 und Weise kann die Bibliothek leicht erweitert werden, ohne dass bestehende
3013 Programme angepasst werden müssen.
3015 Die meisten Kommandozeilen-Programmen lesen ein Komparatornetzwerk von der
3016 Standard-Eingabe und schreiben ihr Ergebnis auf die Standard-Ausgabe. Um
3017 Beispielsweise eine \emph{normalisierte} Variante des \emph{bitonen
3018 Mergesort}-Netzwerks \bs{42} zu erzeugen, kann folgendes Kommando verwendet
3021 $ sn-bitonicsort 42 | sn-normalize >sn-42
3023 Dieses Prinzip, kleine Programme \emph{eine} Aufgabe erledigen zu lassen und
3024 es einfach zu ermöglichen, Programme zu verketten, ist eines der
3025 Grundprinzipien des UNIX-Be\-triebs\-sys\-tems. Es hat sich in den letzten
3026 Jahrzehnten und beim Verfassen dieser Arbeit als sehr flexibel und mächtig
3029 Funktionen, die von Kommandozeilen-Programmen zur Verfügung gestellt werden,
3030 sind unter anderem das Erzeugen des \emph{Odd-Even-Mergesort}-, \emph{bitonen
3031 Mergesort}- und \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerks, das Normalisieren von
3032 Sortiernetzwerken, Anwendung von Schnittmustern auf Sortiernetzwerke und
3033 Anwendung eines Komparatornetzwerks auf eine Eingabepermutation. Das
3034 Darstellen von Sortiernetzwerken wird ebenfalls angeboten, beispielsweise
3035 wurden die Sortiernetzwerke in dieser Arbeit mit dem Kommando \texttt{sn-tex}
3038 \textit{libsortnetwork} kann unter der Web-Adresse
3039 \url{http://octo.it/libsortnetwork/} unentgeltlich heruntergeladen werden.
3042 \bibliography{references}
3043 \bibliographystyle{plain}
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