From: Florian Forster <octo@leeloo.octo.it>
Date: Fri, 25 Feb 2011 16:35:28 +0000 (+0100)
Subject: Verwende Theta statt gross-O.
X-Git-Url: https://git.verplant.org/?a=commitdiff_plain;h=a27ff619b95d84323ec966f03e3419959d82f29f;p=diplomarbeit.git

Verwende Theta statt gross-O.
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diff --git a/diplomarbeit.tex b/diplomarbeit.tex
index eda81d2..24ae125 100644
--- a/diplomarbeit.tex
+++ b/diplomarbeit.tex
@@ -270,8 +270,8 @@ Widerspruch zu der Annahme, dass alle 0-1-Folgen sortiert werden.
 
 Im Gegensatz zum Überprüfen aller möglichen Permutationen, was der
 Komplexitätsklasse
-$\mathcal{O}\left(\sqrt{n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\right)$ zuzuordnen ist,
-ist das Überprüfen aller 0-1-Folgen „nur“ mit dem Aufwand $\mathcal{O}(2^n)$
+$\Theta\left(\sqrt{n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\right)$ zuzuordnen ist,
+ist das Überprüfen aller 0-1-Folgen „nur“ mit dem Aufwand $\Theta(2^n)$
 verbunden. Entsprechend ist dieses Verfahren nicht \emph{effizient} -- ein
 schnelleres Verfahren ist bisher allerdings nicht bekannt. Um zu überprüfen,
 ob ein Komparatornetzwerk mit 16~Leitungen die Sortiereigenschaft besitzt,
@@ -458,7 +458,7 @@ $\operatorname{OET}(3)$ sortiert.
 Das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk ist weder in Bezug auf die
 Anzahl der Komparatoren noch in Bezug auf die Anzahl der Schichten, in denen
 sich die Komparatoren anordnen lassen, effizient. Es benötigt ${\frac12 n
-(n-1)} = \mathcal{O}(n^2)$~Komparatoren, die in $n$~Schichten angeordnet sind.
+(n-1)} = \Theta(n^2)$~Komparatoren, die in $n$~Schichten angeordnet sind.
 Die im Folgenden vorgestellten Sortiernetzwerke benötigen deutlich weniger Komparatoren,
 ($\Theta(n \log (n)^2)$), die in weniger Schichten,
 ($\Theta(\log (n)^2)$), angeordnet sind.
@@ -574,7 +574,7 @@ Statt an eine Treppe erinnert das Muster nun an einen Trichter.
 Da sich die Anzahl der Leitungen in jedem Rekursionsschritt halbiert, endet
 die Rekursion nach $\log(n)$~Schritten. In jedem Rekursionsschritt werden
 $\frac{n}{2}$~Komparatoren eingefügt, so dass der gesamte Mischer aus
-$\frac{1}{2} n \log(n) = \mathcal{O}\left(n \log(n)\right)$~Komparatoren
+$\frac{1}{2} n \log(n) = \Theta\left(n \log(n)\right)$~Komparatoren
 besteht, die in $\log(n)$~Schichten angeordnet werden können.
 
 \subsubsection{Das bitone Mergesort-Netzwerk}
@@ -746,7 +746,7 @@ in Abbildung~\ref{fig:oe-post-recursive} dargestellt.
 \end{figure}
 
 Da die Teilfolgen $U$ und $V$ in jedem Rekursionsschritt etwa halbiert werden,
-bricht die Rekursion nach $\mathcal{O}\left(\log (n) + \log (m)\right)$
+bricht die Rekursion nach $\Theta\left(\log (n) + \log (m)\right)$
 Schritten ab. Die exakte Anzahl der benötigten Rekursionsschritte (und damit
 Schichten im Mischer-Netzwerk), hängt von der längeren der beiden
 Eingabefolgen ab und beträgt $1 + \lceil \log\left(\max(n, m)\right) \rceil$.
@@ -764,7 +764,7 @@ Länge der Eingabefolgen, $n$ und $m$ ab:
 \end{displaymath}
 Leider ist es schwierig, diese allgemeine Formel in einer geschlossenen Form
 anzugeben. Aus der Anzahl der Rekursionsschritte ist jedoch leicht erkennbar,
-dass $K(n,m)$ in $\mathcal{O}(N \log (N))$ enthalten ist.
+dass $K(n,m)$ in $\Theta(N \log (N))$ enthalten ist.
 
 Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = m = 2^{t-1}$ beträgt, lässt sich die
 Anzahl der Komparatoren im Vergleich zum \emph{bitonen Mischer} angeben: Der