From: Florian Forster Date: Fri, 25 Feb 2011 16:35:28 +0000 (+0100) Subject: Verwende Theta statt gross-O. X-Git-Url: https://git.verplant.org/?a=commitdiff_plain;h=a27ff619b95d84323ec966f03e3419959d82f29f;p=diplomarbeit.git Verwende Theta statt gross-O. --- diff --git a/diplomarbeit.tex b/diplomarbeit.tex index eda81d2..24ae125 100644 --- a/diplomarbeit.tex +++ b/diplomarbeit.tex @@ -270,8 +270,8 @@ Widerspruch zu der Annahme, dass alle 0-1-Folgen sortiert werden. Im Gegensatz zum Überprüfen aller möglichen Permutationen, was der Komplexitätsklasse -$\mathcal{O}\left(\sqrt{n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\right)$ zuzuordnen ist, -ist das Überprüfen aller 0-1-Folgen „nur“ mit dem Aufwand $\mathcal{O}(2^n)$ +$\Theta\left(\sqrt{n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\right)$ zuzuordnen ist, +ist das Überprüfen aller 0-1-Folgen „nur“ mit dem Aufwand $\Theta(2^n)$ verbunden. Entsprechend ist dieses Verfahren nicht \emph{effizient} -- ein schnelleres Verfahren ist bisher allerdings nicht bekannt. Um zu überprüfen, ob ein Komparatornetzwerk mit 16~Leitungen die Sortiereigenschaft besitzt, @@ -458,7 +458,7 @@ $\operatorname{OET}(3)$ sortiert. Das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk ist weder in Bezug auf die Anzahl der Komparatoren noch in Bezug auf die Anzahl der Schichten, in denen sich die Komparatoren anordnen lassen, effizient. Es benötigt ${\frac12 n -(n-1)} = \mathcal{O}(n^2)$~Komparatoren, die in $n$~Schichten angeordnet sind. +(n-1)} = \Theta(n^2)$~Komparatoren, die in $n$~Schichten angeordnet sind. Die im Folgenden vorgestellten Sortiernetzwerke benötigen deutlich weniger Komparatoren, ($\Theta(n \log (n)^2)$), die in weniger Schichten, ($\Theta(\log (n)^2)$), angeordnet sind. @@ -574,7 +574,7 @@ Statt an eine Treppe erinnert das Muster nun an einen Trichter. Da sich die Anzahl der Leitungen in jedem Rekursionsschritt halbiert, endet die Rekursion nach $\log(n)$~Schritten. In jedem Rekursionsschritt werden $\frac{n}{2}$~Komparatoren eingefügt, so dass der gesamte Mischer aus -$\frac{1}{2} n \log(n) = \mathcal{O}\left(n \log(n)\right)$~Komparatoren +$\frac{1}{2} n \log(n) = \Theta\left(n \log(n)\right)$~Komparatoren besteht, die in $\log(n)$~Schichten angeordnet werden können. \subsubsection{Das bitone Mergesort-Netzwerk} @@ -746,7 +746,7 @@ in Abbildung~\ref{fig:oe-post-recursive} dargestellt. \end{figure} Da die Teilfolgen $U$ und $V$ in jedem Rekursionsschritt etwa halbiert werden, -bricht die Rekursion nach $\mathcal{O}\left(\log (n) + \log (m)\right)$ +bricht die Rekursion nach $\Theta\left(\log (n) + \log (m)\right)$ Schritten ab. Die exakte Anzahl der benötigten Rekursionsschritte (und damit Schichten im Mischer-Netzwerk), hängt von der längeren der beiden Eingabefolgen ab und beträgt $1 + \lceil \log\left(\max(n, m)\right) \rceil$. @@ -764,7 +764,7 @@ Länge der Eingabefolgen, $n$ und $m$ ab: \end{displaymath} Leider ist es schwierig, diese allgemeine Formel in einer geschlossenen Form anzugeben. Aus der Anzahl der Rekursionsschritte ist jedoch leicht erkennbar, -dass $K(n,m)$ in $\mathcal{O}(N \log (N))$ enthalten ist. +dass $K(n,m)$ in $\Theta(N \log (N))$ enthalten ist. Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = m = 2^{t-1}$ beträgt, lässt sich die Anzahl der Komparatoren im Vergleich zum \emph{bitonen Mischer} angeben: Der