From: Florian Forster Date: Mon, 17 Jan 2011 21:21:18 +0000 (+0100) Subject: Abschnitt "Anzahl Schnittmuster" weiter ausgebaut. X-Git-Url: https://git.verplant.org/?a=commitdiff_plain;h=88f8374f92aaee4c291f70e9faa72d42427d82cd;p=diplomarbeit.git Abschnitt "Anzahl Schnittmuster" weiter ausgebaut. --- diff --git a/diplomarbeit.tex b/diplomarbeit.tex index 0e48941..21ff5e0 100644 --- a/diplomarbeit.tex +++ b/diplomarbeit.tex @@ -863,10 +863,10 @@ Leitung zu entfernen: Auf jeder der $n$~Leitungen kann sowohl das Minimum als auch das Maximum angenommen werden. Wendet man das Verfahren iterativ an, um ein $n$-Sortiernetzwerk auf ein $m$-Sortiernetzwerk zu reduzieren, ergeben sich insgesamt -\begin{displaymath} +\begin{equation}\label{eqn:anzahl_schnittmuster} \prod_{i=n}^{m+1} 2i = 2^{n-m} \frac{n!}{m!} \quad (n > m) -\end{displaymath} +\end{equation} \emph{mögliche} Schnittmuster. Diese Schnittmuster sind nicht alle unterschiedlich. Legt man beispielsweise das Minimum auf die unterste Leitung und das Maximum auf die oberste Leitung eines Standard-Sortiernetzwerks, @@ -911,8 +911,103 @@ Unterschied nicht mehr erkennen. In allen sechs Fällen, in denen sich die Eingänge unterscheiden, wird anschließend der Komparator entfernt, so dass sich die Resultate auch in der ersten Schicht nicht unterscheiden. -\todo{Mit \textit{Approximate Counting} könnte man die Anzahl der -\emph{unterschiedlichen} Schnittmuster genauer abschätzen.} +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[viewport=0 0 360 216,width=15cm]{images/count-cuts-16.pdf} + \end{center} + \caption{Anzahl der \emph{unterschiedlichen} Sortiernetzwerke, die durch + 8-Schnittmuster aus $\operatorname{OES}(16)$, $\operatorname{BS}(16)$ und + $\operatorname{PS}(16)$ hervorgegangen sind. Die Anzahl der + unterschiedlichen Netzwerke nach $10^6$~Iterationen ist 3519 für das + \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}, 4973 für das \emph{bitone + Mergesort-Netzwerk} und 18764 für das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}.} + \label{fig:count-cuts-16} +\end{figure} + +Um die Anzahl der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster abschätzen zu können, +wurden je eine Million zufällige 8-Schnittmuster auf die 16-Sortiernetzwerke +$\operatorname{OES}(16)$, $\operatorname{BS}(16)$ und $\operatorname{PS}(16)$ +angewandt. Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} trägt die Anzahl der +\emph{unterschiedlichen} Sortiernetzwerke gegen die Anzahl der zufälligen +Schnittmuster auf. Klar zu sehen ist, dass sich die Anzahl der erzeugten +Sortiernetzwerke nach $500.000$~Iterationen nur noch gering verändert und der +Wert nach $1.000.000$~Iterationen allem Anschein nach dem Endwert schon sehr +nahe ist. + +Die Anzahl der 8-Schnittmuster ist entsprechend der +Formel~\ref{eqn:anzahl_schnittmuster} 3.294.720. Diese möglichen Schnittmuster +führen aber nur zu wenigen \emph{unterschiedlichen} Sortiernetzwerken: 3519 +($\approx 0,1\%$) im Fall des \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerks}, 4973 +($\approx 0,15\%$) beim \emph{bitonen Mergesort-Netzwerk} und 18764 ($\approx +0,57\%$) beim \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}. Zwar ist es möglich, dass mehr +Iterationen die Anzahl der unterschiedlichen Netzwerke noch wachsen lässt. Die +Graphen in Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} geben jedoch Grund zu der +Annahme, dass Anzahl dieser zusätzlichen, unterschiedlichen Schnittmuster +vernachlässigbar klein ist. + +Bedingt durch die sehr große Anzahl möglicher Schnittmuster ist dieses +Experiment für größere Sortiernetzwerke leider nicht sinnvoll durchführbar. Um +die Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster trotzdem abschätzen zu können, +kann man sich einer stochastischen Methode bedienen, der sogenannten +\emph{Monte-Carlo-Methode}. Zunächst generiert man eine Menge~$S$ von +$k$~unterschiedlichen Schnittmustern. Anschließend werden $n$~Schnittmuster +zufällig erzeugt, und überprüft, ob sie sich in der Menge~$S$ enthalten sind. +Unter der Annahme, dass das Verhältnis der zufälligen Schnittmuster, die in $S$ +enthalten sind, und $n$ dem Verhältnis von $k$ und der Anzahl der +unterschiedlichen Schnittmuster ingesamt entspricht, kann man die Anzahl der +unterschiedlichen Schnittmuster abschätzen. + +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/collisions-10000-1000000-32.pdf} + \end{center} + \caption{Abschnätzung der unterschiedlichen Schnittmuster mit der + \emph{Monte-Carlo-Methode} für $\operatorname{OES}(32)$ und + $\operatorname{BS}(32)$.} + \label{fig:collisions-10000-1000000-32} +\end{figure} + +In Abbildung~\ref{fig:collisions-10000-1000000-32} ist das Ergebnis des +Monte-Carlo-Algorithmus für 16-Schnittmuster zu sehen, die auf +$\operatorname{OES}(32)$ und $\operatorname{BS}(32)$ angewandt wurden: Von +jedem Sortiernetzwerk wurden zunächst eine Menge von 10.000 +\emph{unterschiedlichen} Schnittmustern erzeugt. Anschließend wurden 1.000.000 +zufällige Schnittmuster erzeugt und der Anteil der zufälligen Schnittmuster, +die identisch zu einem in der Menge enthalten Schnittmuster sind, berechnet. +Für $\operatorname{OES}(32)$ war dieser Anteil etwa $0,19 \%$, für +$\operatorname{BS}(32)$ etwa $0,29 \%$. Das ergibt eine Abschätzung von $5,2 +\cdot 10^6$ unterschiedlichen Schnittmustern für $\operatorname{OES}(32)$ und +$3,4 \cdot 10^6$ für $\operatorname{BS}(32)$. + +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/collisions-100000-1000000-32-ps.pdf} + \end{center} + \caption{Abschnätzung der unterschiedlichen Schnittmuster mit der + \emph{Monte-Carlo-Methode} für $\operatorname{PS}(32)$. 385 von 1.000.000 + zufälligen Schnittmustern waren äquivalent zu einem Schnittmuster in einer + Menge von 100.000. Daraus ergibt sich eine Schätzung von $2,6 \cdot 10^8$ + unterschiedlichen Schnittmustern.} + \label{fig:collisions-100000-1000000-32-ps} +\end{figure} + +Im vorherigen Abschnitt wurde das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} +$\operatorname{PS}(32)$ nicht betrachtet, da es für dieses Netzwerk viel mehr +unterschiedliche 16-Schnittmuster gibt als für $\operatorname{OES}(32)$ und +$\operatorname{BS}(32)$. In Anbetracht der Tatsache, dass die Anzahl der +unterschiedlichen 8-Schnittmuster für $\operatorname{PS}(16)$ in +Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} bereits mehr als dreimal größer war als die +Anzahl für $\operatorname{OES}(16)$ beziehungsweise $\operatorname{BS}(16)$, +ist dieser Umstand wenig verwunderlich. In einem kombinierten Graphen hätte +man keine Details mehr erkennen können. Aufgrund der hohen Anzahl +unterschiedlicher Schnittmuster, wurde für das gleiche Experiment mit +$\operatorname{PS}(32)$ eine initiale Menge von 100.000 unterschiedilchen +Schnittmustern erzeugt. Trotzdem wurden nach 1.000.000 Iterationen nur 385 +Schnittmuster gefunden, die ein Sortiernetzwerk aus dieser Menge erzeugen. +Daraus ergibt sich eine Abschätzung von $2,6 \cdot 10^8$ unterschiedlichen +Schnittmustern -- zwei Zehnerpotenzen mehr als bei den vorherigen +Sortiernetzwerken, aber immernoch fünf Zehnerpotenzen kleiner als die Anzahl +der \emph{möglichen} Schnittmuster. \newpage \section{Der \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus} diff --git a/images/collisions-10000-1000000-32-bs.data b/images/collisions-10000-1000000-32-bs.data new file mode 100644 index 0000000..76a26ff --- /dev/null +++ b/images/collisions-10000-1000000-32-bs.data @@ -0,0 +1,351 @@ +200 1 0.005 2000000 +210 1 0.0047619 2100000 +220 1 0.00454545 2200000 +230 1 0.00434783 2300000 +240 1 0.00416667 2400000 +250 1 0.004 2500000 +260 1 0.00384615 2600000 +270 1 0.0037037 2700000 +280 1 0.00357143 2800000 +290 1 0.00344828 2900000 +300 1 0.00333333 3000000 +310 1 0.00322581 3100000 +320 1 0.003125 3200000 +330 1 0.0030303 3300000 +340 1 0.00294118 3400000 +350 1 0.00285714 3500000 +360 1 0.00277778 3600000 +370 1 0.0027027 3700000 +380 1 0.00263158 3800000 +390 1 0.0025641 3900000 +400 1 0.0025 4000000 +410 1 0.00243902 4100000 +420 1 0.00238095 4200000 +430 1 0.00232558 4300000 +440 1 0.00227273 4400000 +450 1 0.00222222 4500000 +460 1 0.00217391 4600000 +470 1 0.00212766 4700000 +480 1 0.00208333 4800000 +490 1 0.00204082 4900000 +500 1 0.002 5000000 +510 1 0.00196078 5100000 +520 1 0.00192308 5200000 +530 1 0.00188679 5300000 +540 1 0.00185185 5400000 +550 1 0.00181818 5500000 +560 1 0.00178571 5600000 +570 1 0.00175439 5700000 +580 1 0.00172414 5800000 +590 1 0.00169492 5900000 +600 1 0.00166667 6000000 +610 1 0.00163934 6100000 +620 1 0.0016129 6200000 +630 1 0.0015873 6300000 +640 1 0.0015625 6400000 +650 1 0.00153846 6500000 +660 1 0.00151515 6600000 +670 1 0.00149254 6700000 +680 1 0.00147059 6800000 +690 1 0.00144928 6900000 +700 1 0.00142857 7000000 +710 1 0.00140845 7100000 +720 1 0.00138889 7200000 +730 1 0.00136986 7300000 +740 2 0.0027027 3700000 +750 2 0.00266667 3750000 +760 2 0.00263158 3800000 +770 2 0.0025974 3850000 +780 2 0.0025641 3900000 +790 2 0.00253165 3950000 +800 2 0.0025 4000000 +810 2 0.00246914 4050000 +820 2 0.00243902 4100000 +830 2 0.00240964 4150000 +840 2 0.00238095 4200000 +850 2 0.00235294 4250000 +860 2 0.00232558 4300000 +870 2 0.00229885 4350000 +880 2 0.00227273 4400000 +890 2 0.00224719 4450000 +900 2 0.00222222 4500000 +910 2 0.0021978 4550000 +920 2 0.00217391 4600000 +930 2 0.00215054 4650000 +940 2 0.00212766 4700000 +950 2 0.00210526 4750000 +960 2 0.00208333 4800000 +970 2 0.00206186 4850000 +980 2 0.00204082 4900000 +990 2 0.0020202 4950000 +1000 2 0.002 5000000 +1100 2 0.00181818 5500000 +1200 3 0.0025 4000000 +1300 4 0.00307692 3250000 +1400 4 0.00285714 3500000 +1500 4 0.00266667 3750000 +1600 4 0.0025 4000000 +1700 5 0.00294118 3400000 +1800 6 0.00333333 3000000 +1900 7 0.00368421 2714285 +2000 7 0.0035 2857142 +2100 7 0.00333333 3000000 +2200 7 0.00318182 3142857 +2300 8 0.00347826 2875000 +2400 8 0.00333333 3000000 +2500 8 0.0032 3125000 +2600 8 0.00307692 3250000 +2700 8 0.00296296 3375000 +2800 8 0.00285714 3500000 +2900 9 0.00310345 3222222 +3000 9 0.003 3333333 +3100 9 0.00290323 3444444 +3200 9 0.0028125 3555555 +3300 9 0.00272727 3666666 +3400 9 0.00264706 3777777 +3500 9 0.00257143 3888888 +3600 10 0.00277778 3600000 +3700 10 0.0027027 3700000 +3800 10 0.00263158 3800000 +3900 13 0.00333333 3000000 +4000 13 0.00325 3076923 +4100 13 0.00317073 3153846 +4200 13 0.00309524 3230769 +4300 14 0.00325581 3071428 +4400 15 0.00340909 2933333 +4500 15 0.00333333 3000000 +4600 15 0.00326087 3066666 +4700 15 0.00319149 3133333 +4800 15 0.003125 3200000 +4900 15 0.00306122 3266666 +5000 15 0.003 3333333 +5100 16 0.00313725 3187500 +5200 17 0.00326923 3058823 +5300 18 0.00339623 2944444 +5400 19 0.00351852 2842105 +5500 19 0.00345455 2894736 +5600 19 0.00339286 2947368 +5700 19 0.00333333 3000000 +5800 19 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