From: Florian Forster Date: Sun, 27 Feb 2011 09:14:07 +0000 (+0100) Subject: Verwende "d" als Exponent von Zweierpotenzen. X-Git-Url: https://git.verplant.org/?a=commitdiff_plain;h=3c974b400e6997a18481058f591119badb042842;p=diplomarbeit.git Verwende "d" als Exponent von Zweierpotenzen. --- diff --git a/diplomarbeit.tex b/diplomarbeit.tex index a2550ab..2e92d46 100644 --- a/diplomarbeit.tex +++ b/diplomarbeit.tex @@ -496,7 +496,7 @@ sortierte Listen zusammenfügen (Englisch: \textit{to~merge}) kann. Dieser verleiht dem Sortiernetzwerk seinen Namen. Da das Sortiernetzwerk rekursiv definiert ist, betrachten wir hier nur die -Instanzen des Netzwerks, deren Leitungszahl $n = 2^t$ eine Zweierpotenz ist. +Instanzen des Netzwerks, deren Leitungszahl $n = 2^d$ eine Zweierpotenz ist. Es ist jedoch möglich, das Sortiernetzwerk für beliebige~$n$ zu erzeugen. \subsubsection{Der bitone Mischer}\label{sect:der_bitone_mischer} @@ -776,7 +776,7 @@ Leider ist es schwierig, diese allgemeine Formel in einer geschlossenen Form anzugeben. Aus der Anzahl der Rekursionsschritte ist jedoch leicht erkennbar, dass $K(n,m)$ in $\Theta(N \log (N))$ enthalten ist. -Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = m = 2^{t-1}$ beträgt, lässt sich die +Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = m = 2^{d-1}$ beträgt, lässt sich die Anzahl der Komparatoren im Vergleich zum \emph{bitonen Mischer} angeben: Der erste Rekursionsschritt der OEM-Konstruktion fügt $\left\lfloor \frac{1}{2} (m + n - 1) \right\rfloor = \frac{N}{2} - 1$ @@ -790,9 +790,9 @@ einschließlich $\operatorname{OEM}(2, 2)$, von denen es $2, 4, \dots, \end{displaymath} Komparatoren eingespart. Damit ergibt sich \begin{displaymath} - K\left(n = 2^{t-1}, n = 2^{t-1}\right) = \frac{1}{2} N \log(N) - \frac{N}{2} + 1 + K\left(n = 2^{d-1}, n = 2^{d-1}\right) = \frac{1}{2} N \log(N) - \frac{N}{2} + 1 \end{displaymath} -für die Anzahl der Komparatoren, die von $\operatorname{OEM}(N = 2^t)$ +für die Anzahl der Komparatoren, die von $\operatorname{OEM}(N = 2^d)$ benötigt werden. \subsubsection{Das Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} @@ -840,11 +840,11 @@ geschlossene Darstellung von $k(n)$ ebenfalls nicht ohne weiteres möglich. Es ist allerdings bekannt, dass $k(n)$ in $\Theta\left(n \left(\log (n)\right)^2\right)$ enthalten ist. -Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = 2^t$ eine Zweierpotenz ist, kann die +Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = 2^d$ eine Zweierpotenz ist, kann die Anzahl der Komparatoren wieder explizit angegeben werden. \textit{Kenneth Batcher} zeigt in~\cite{B1968}, dass in diesem Fall \begin{displaymath} - k(n = 2^t) = \frac{1}{4} n \left(\log (n)\right)^2 - \frac{1}{4}n\log(n) + n - 1 + k(n = 2^d) = \frac{1}{4} n \left(\log (n)\right)^2 - \frac{1}{4}n\log(n) + n - 1 \end{displaymath} gilt.