\newcommand{\todo}[1]{{\bf TODO:} #1}
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\newtheorem{definition}{Definition}
\newtheorem{satz}{Satz}
Herausforderung.
Diese Arbeit verwendet „Schnitte“ oder „Leitungselimination“ und
-Mischer-Netzwerke, um evolutionäre Algorithmen anzugeben, deren Individuen die
-Menge der gültigen Sortiernetzwerke nie verlassen. Bisherige Ansätze bewegten
-sich in der Regel in der Menge aller Komparatornetzwerke und suchten dort nach
-Sortiernetzwerken. Nach dem Vorstellen der zwei Algorithmen
+Mischer-Netz\-werke, um evolutionäre Algorithmen anzugeben, deren Individuen
+die Menge der gültigen Sortiernetzwerke nie verlassen. Bisherige Ansätze
+bewegten sich in der Regel in der Menge aller Komparatornetzwerke und suchten
+dort nach Sortiernetzwerken. Nach dem Vorstellen der zwei Algorithmen
\textsc{SN-Evolution} und \textsc{SN-Evolution-Cut} sowie einiger Ergebnisse,
die diese Algorithmen erzielen konnten, wird -- basierend auf dem
evolutionären Algorithmus \textsc{SN-Evolution} -- eine Markov-Kette für
bewältigen.
Einfacher ist der Korrektheitsbeweis bei konstruktiven Verfahren, da hier die
-Konstruktionsvorschrift genutzt werden kann um die Korrektheit für beliebige
+Konstruktionsvorschrift genutzt werden kann, um die Korrektheit für beliebige
Eingabegrößen zu beweisen. Im Abschnitt~\ref{sect:konstruktive_netzwerke}
geschieht dies beispielsweise für zwei von \emph{Kenneth~E. Batcher} 1968
gefundene Konstruktionsvorschriften.
können und zwei Ausgänge, auf denen die Zahlen wieder ausgegeben werden. Dabei
sind die Ausgänge im Gegensatz zu den Eingängen unterscheidbar, da die größere
der beiden Zahlen wird immer auf dem einen, die kleinere der beiden Zahlen
-immer auf dem anderen Ausgang ausgegeben ausgegeben wird.
+immer auf dem anderen Ausgang ausgegeben wird.
Kombiniert man mehrere \emph{Komparatoren} miteinander, das heißt, dass die
Ausgänge eines Komparators mit Eingängen weiterer Komparatoren verbunden sind,
das Netzwerk hinein gegeben. Jeder Komparator vergleicht die Zahlen „auf“ den
beiden Leitungen, die er verbindet. Nach einem Komparator befindet sich die
kleinere Zahl immer auf der Leitung, auf die der Pfeil zeigt, die größere Zahl
-befindet sich auf der Leitung, auf der der Pfeil seinen Ursprung hat.
-
-Komparatoren, die unterschiedliche Leitungen miteinander vergleichen, können
-gleichzeitig angewandt werden. Das Beispiel in
+befindet sich auf der Leitung, auf der der Pfeil seinen Ursprung hat. Wenn in
+einem Komparatornetzwerk alle Komparatoren in die gleiche Richtung zeigen --
+die Konvention in dieser Arbeit ist, dass das Minimum auf der unteren Leitung
+ausgegeben wird -- werden die Pfeile durch einfache Linien ersetzt. Zu diesen
+sogenannten \emph{Standard-Netzwerken} siehe auch
+Abschnitt~\ref{sect:normalisieren}.
+
+Komparatoren, die \emph{unterschiedliche} Leitungen miteinander vergleichen,
+können gleichzeitig angewendet werden. Das Beispiel in
Abbildung~\ref{fig:einfaches_komparatornetzwerk} verwendet diesen Umstand und
vergleicht die zwei oberen und die zwei unteren Leitungen gleichzeitig. Eine
Gruppe von Komparatoren, die gleichzeitig angewendet werden können, nennt man
-eine \emph{Schicht} des Komparatornetzwerks. Die \emph{Verzögerung} eines
+eine \emph{Schicht} des Komparatornetzwerks. Die \emph{Geschwindigkeit} eines
Komparatornetzwerks ist gleichbedeutend mit der Anzahl der Schichten, in die
sich die Komparatoren mindestens gruppieren lassen, da sie die Anzahl der
benötigten parallelen Schritte darstellt.
Definition handelt es sich bei dem \emph{Komparatornetzwerk} folglich
\emph{nicht} um ein \emph{Sortiernetzwerk}. Ein solches Gegenbeispiel für ein
gegebenes Komparatornetzwerk zu finden ist nach heutigem Kenntnisstand jedoch
-nicht \emph{effizient} möglich.
+nicht \emph{effizient}\footnote{In diesem Zusammenhang heißt \emph{effizient},
+dass keine Algorithmen bekannt sind, die eine polynomielle Laufzeit (in
+Abhängigkeit von der Eingabelänge) haben.} möglich.
Beispielsweise sortiert das im Rahmen dieser Arbeit entdeckte
Komparatornetzwerk in Abbildung~\ref{fig:09-e2-c24-allbut1} viele der 362.880
Viele {\em kombinatorische Optimierungsprobleme} sind schwer zu lösen -- die
entsprechenden Entscheidungsprobleme liegen oft in der Komplexitätsklasse
-\textit{NP}, das heißt das keine Verfahren bekannt sind, die das Problem
-effizient exakt lösbar. Sollte sich herausstellen, dass diese Probleme nicht
-in der Komplexitätsklasse~\textit{P} liegen, wäre eine Konsequenz, dass es
-effiziente exakte Algorithmen für diese Probleme nicht geben kann. Falls sich
+$\mathcal{NP}$. Das heißt, dass keine Verfahren bekannt sind, diese Probleme
+effizient exakt lösen. Sollte sich herausstellen, dass diese Probleme nicht
+in der Komplexitätsklasse~$\mathcal{P}$ liegen, wäre eine Konsequenz, dass es
+effiziente exakte Algorithmen für diese Probleme nicht gibt. Falls sich
hingegen herausstellt, dass diese Probleme in der
-Komplexitätsklasse~\textit{P} liegen, wird es mit großer Wahrscheinlichkeit
-noch einige Zeit dauern, bis auch Algorithmen mit praktikablen Zeitkonstanten
-gefunden werden.
+Komplexitätsklasse~\textit{P} liegen, gibt es effiziente Algorithmen. Es ist
+jedoch wahrscheinlich, dass die Zeitkonstanten solcher Algorithmen sehr groß
+sein würden, so dass der praktische Nutzen fraglich bleibt.
Aus diesem Grund besteht die Notwendigkeit einen Kompromiss einzugehen: Statt
die beziehungsweise eine der {\em optimalen} Lösungen als einzige Ausgabe des
\emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk, das in
Abschnitt~\ref{sect:odd_even_transpositionsort} beschrieben wird. Zum anderen
muss eine Methode für die Rekombination existieren. Das ist insbesondere dann
-problematisch, wenn {\em Nebenbedingungen} eingehalten werden müssen.
+problematisch, wenn {\em Nebenbedingungen} eingehalten werden müssen. Die in
+dieser Arbeit verwendeten Rekombinationsmethoden sind so gewählt, dass die
+Nebenbedingungen nicht verletzt werden.
Beim Aussuchen von zufälligen Lösungen aus der Population, der
\emph{Selektion}, werden gute Lösungen bevorzugt. Wie sehr diese Lösungen
Dabei werden Lösungen zufällig verändert, so dass auch andere Lösungen „in der
Nähe“ von direkten Nachfolgern erreicht werden können. Das hilft insbesondere
bei der intensiven Suche in der Nähe eines lokalen Optimums aber auch beim
-„Ausbrechen“ und finden noch besserer Lösungen.
+„Ausbrechen“ aus lokalen Optima und finden noch besserer Lösungen.
Bei \emph{Sortiernetzwerken} ist eine \emph{Mutation} leider immer damit
verbunden, dass anschließend die Sortiereigenschaft des resultierenden
\emph{Komparatornetzwerks} wieder überprüft werden muss, da selbst das
-Hinzufügen eines zufälligen Komparators diese Eigenschaft zerstören kann. Beim
-Suchen möglichst effizienter Netzwerke ist natürlich das zufällige Entfernen
-von Komparatoren interessanter, was die Sortiereigenschaft sehr oft aufhebt.
+Hinzufügen eines zufälligen Komparators diese Eigenschaft zer\-stö\-ren kann.
+Beim Suchen möglichst effizienter Netzwerke ist natürlich das zufällige
+Entfernen von Komparatoren interessanter, was die Sortiereigenschaft fast
+immer aufhebt.
Die im Folgenden beschriebenen Algorithmen mutieren (verändern) daher nicht
die \emph{Sortiernetzwerke} selbst, sondern verzichten auf Mutation oder
mutieren lediglich Transformationen von Sortiernetzwerken, die die
-Sortiereigenschaft erhält. Transformationen von Sortiernetzwerken werden in
+Sortiereigenschaft erhalten. Transformationen von Sortiernetzwerken werden in
Abschnitt~\ref{sect:tranformation} beschrieben, ein Algorithmus, der Mutation
einsetzt, wird in Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution-cut} vorgestellt.
\section[Konstruktionsverfahren]{Bekannte konstruktive Sortiernetzwerke}
\label{sect:konstruktive_netzwerke}
-Die bekannten Konstruktionsverfahren für Sortiernetzwerke, insbesondere
-sogenannte \emph{Mischer}, bilden die Grundlage für die beschriebenen
-evolutionären Algorithmen beziehungsweise dienen als initiale Eingabe. Im
-Folgenden werden daher drei Konstruktionsverfahren vorgestellt.
+Die bekannten Konstruktionsverfahren für Sortiernetzwerke, insbesondere ein
+häufig verwendeter Baustein, sogenannte \emph{Mischer}\footnote{Eine
+Fehlübersetzung aus dem Englischen, von \textit{to~merge} (Deutsch:
+zusammenfügen). Da der Begriff des "`mischens"' beziehungsweise der
+"`Mischer"' in der Literatur sehr weit verbreitet ist, werden diese Begriffe
+in dieser Arbeit trotzdem verwendet.}, bilden die Grundlage für die
+beschriebenen evolutionären Algorithmen beziehungsweise dienen als initiale
+Eingabe. Im Folgenden werden daher drei Konstruktionsverfahren vorgestellt.
\subsection{Das Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk}
\label{sect:odd_even_transpositionsort}
\label{fig:odd-even-transposition-08}
\end{figure}
-Dass das Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk tatsächlich jede beliebige
-Eingabe sortiert ist nicht offensichtlich. Leicht zu sehen ist jedoch, dass
+Dass das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk tatsächlich jede beliebige
+Eingabe sortiert, ist nicht offensichtlich. Leicht zu sehen ist jedoch, dass
sowohl das Minimum als auch das Maximum durch das im Netzwerk enthaltene
Treppenmuster auf die unterste beziehungsweise oberste Leitung gelangt. Beim
Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk mit drei Eingängen,
beschrieben, Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut} zeigt das
Herausschneiden einer Leitung aus $\operatorname{OET}(8)$.
-Das Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk ist weder in Bezug auf die Anzahl der
-Komparatoren noch in Bezug auf die Anzahl der Schichten, in denen sich die
-Komparatoren anordnen lassen, effizient. Es benötigt
-${\frac12 n (n-1)} = \mathcal{O}(n^2)$~Komparatoren, die in $n$~Schichten
-angeordnet sind. Andere Sortiernetzwerke benötigen deutlich weniger
-Komparatoren, beispielsweise $\mathcal{O}(n (\log n)^2)$, die in weniger
-Schichten, zum Beispiel $\mathcal{O}(\log n)$, angeordnet sind.
+Das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk ist weder in Bezug auf die
+Anzahl der Komparatoren noch in Bezug auf die Anzahl der Schichten, in denen
+sich die Komparatoren anordnen lassen, effizient. Es benötigt ${\frac12 n
+(n-1)} = \mathcal{O}(n^2)$~Komparatoren, die in $n$~Schichten angeordnet sind.
+Andere Sortiernetzwerke benötigen deutlich weniger Komparatoren,
+beispielsweise $\mathcal{O}(n (\log n)^2)$, die in weniger Schichten, zum
+Beispiel $\mathcal{O}(\log n)$, angeordnet sind.
Das Interessante am OET-Netzwerk ist seine einfache Konstruktion. Einige der
folgenden Algorithmen benötigen ein möglichst einfaches Sortiernetzwerk als
Schichten.
Das Sortiernetzwerk basiert auf einem Komparatornetzwerk, welches zwei
-sortierte Listen zusammenfügen (englisch: \textit{to~merge}) kann. Dieser
-\emph{„bitone Mischer“} (englisch: \textit{bitonic merger}) genannte Baustein
+sortierte Listen zusammenfügen (Englisch: \textit{to~merge}) kann. Dieser
+\emph{„bitone Mischer“} (Englisch: \textit{bitonic merger}) genannte Baustein
verleiht dem Sortiernetzwerk seinen Namen.
Da das Sortiernetzwerk rekursiv definiert ist, betrachten wir hier nur die
Instanzen des Netzwerks, deren Leitungszahl $n = 2^t$ eine Zweierpotenz ist.
-Es ist jedoch möglich das Sortiernetzwerk für beliebige~$n$ zu erzeugen.
+Es ist jedoch möglich, das Sortiernetzwerk für beliebige~$n$ zu erzeugen.
\subsubsection{Der bitone Mischer}\label{sect:der_bitone_mischer}
"`rechten"' Folge, $v_{m-1}$. Daraus folgt, dass das Resultat in zwei bitone
Folgen aufteilen lässt: Eine aufsteigende~/ absteigende Folge und eine
absteigende~/ aufsteigende Folge. Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-normal}
-zeigt die Situationen vor und nach diesem Schritt des Mischers.
+zeigt die Situationen vor und nach diesem Schritt des Mischers schematisch.
Um die Folge vollständig zu sortieren, müssen anschließend die beiden
resultierenden bitonen Folgen sortiert werden. Die geschieht ebenfalls
Komparator-Netzwerk mit einem Komparator zwischen den beiden Leitungen
definiert ist.
-Der bitonen Mischer kann auch zwei aufsteigende Folgen sortieren. Dazu ist
+Der bitone Mischer kann auch zwei aufsteigende Folgen sortieren. Dazu ist
lediglich eine etwas modifizierte Vergleichs-Kaskade im ersten Schritt
notwendig. Die folgenden, kleineren Mischer erhalten als Eingabe wieder eine
„echte“ bitone Folge. Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-tricheter} zeigt das
Ebenso wie der bitone Mischer $\operatorname{BM}(n)$ ist auch das \emph{bitone
Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{BS}(n)$ rekursiv definiert. Es setzt sich
zusammen aus zwei Instanzen des bitonen Mergesort-Netzwerks halber Größe,
-$\operatorname{BS}(\frac{n}{2})$, für je die Hälfte der Eingänge, sowie dem
-bitonen Mischer für $n$~Leitungen, $\operatorname{BM}(n)$. Das Rekursionsende
-ist das bitone Mergesort-Netzwerk mit nur einer Leitung,
-$\operatorname{BS}(1)$, welches als leeres Komparatornetzwerk definiert ist.
-Entsprechend sind die Komparatornetzwerke $\operatorname{BM}(2)$ und
-$\operatorname{BS}(2)$ identisch.
+\bs{\frac{n}{2}}, für je die Hälfte der Eingänge, sowie dem bitonen Mischer
+für $n$~Leitungen, $\operatorname{BM}(n)$. Das Rekursionsende ist das bitone
+Mergesort-Netzwerk mit nur einer Leitung, $\operatorname{BS}(1)$, welches als
+leeres Komparatornetzwerk definiert ist. Entsprechend sind die
+Komparatornetzwerke $\operatorname{BM}(2)$ und $\operatorname{BS}(2)$
+identisch.
Bei der Konstruktion kommt die trichterförmige Anordnung der Komparatoren
(Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-tricheter}) gelegen, weil so die beiden
die die bitone Eingabefolge in zwei bitone Ausgabefolgen transformiert, ist
grün hinterlegt.
-Das \emph{bitone Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{BS}(8)$ besteht aus
-$\frac{1}{4} n \log(n) \log(n+1) = \mathcal{O}\left(n (log (n))^2\right)$
-Komparatoren, die in $\frac{1}{2} \log(n) \log(n+1) = \mathcal{O}(\log(n))$
-Schichten angeordnet sind.
+Das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk $\bs{n = 2^d}$ besteht aus $\frac{1}{4} n
+\log(n) \log(n+1) = \mathcal{O}\left(n (log (n))^2\right)$ Komparatoren, die
+in $\frac{1}{2} \log(n) \log(n+1) = \mathcal{O}(\log(n))$ Schichten angeordnet
+sind.
\subsection{Das Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
-Obwohl der Name ähnlich klingt, haben das \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
-(OES) und das \emph{Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk} (siehe
+Obwohl der Name ähnlich klingt, haben das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk
+(OES) und das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk (siehe
Abschnitt~\ref{sect:odd_even_transpositionsort}) wenig gemein. Vielmehr ist
-OES dem \emph{bitonen Mergesort-Netzwerk}, das im vorherigen Abschnitt
+OES dem \emph{bitonen Mergesort}-Netzwerk, das im vorherigen Abschnitt
vorgestellt wurde, ähnlich: Auch dieses Sortiernetzwerk ist von
\textit{Kenneth~E. Batcher} gefunden worden und ist ebenfalls in~\cite{B1968}
beschrieben und initial analysiert worden. Eine weitere Gemeinsamkeit besteht
Elementen zu einer sortierten Ausgabefolge mit $N = n+m$~Elementen
zusammenfügen kann. Dabei kommt es mit weniger Vergleichen aus als der
\emph{bitone Mischer}, der im Abschnitt~\ref{sect:der_bitone_mischer}
-vorgestellt wurde. Allerdings benötigt der \emph{Odd-Even}-Mischer unter
-Umständen mehr Schichten als der \emph{bitone Mischer}.~\cite{KNUTH}
+vorgestellt wurde. Im allgemeinen Fall, wenn die Anzahl der Leitungen keine
+Zweierpotenz ist, kann das \emph{bitonic-Merge}-Netzwerk schneller sein
+als das \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk.~\cite{KNUTH}
Der \emph{Odd-Even}-Mischer selbst ist ebenfalls rekursiv aufgebaut: Die
Eingabe für den Mischer mit $N = n + m$ Leitungen besteht aus den beiden
\begin{center}
\input{images/oe-merge.tex}
\end{center}
- \caption{Schematischer Aufbau des {\em Odd-Even} Mischers. Im Vergleich zum
- bitonen Mischer für Acht kommt dieses Schema mit einem Komparator weniger
- aus. Der Effekt wird durch den rekursiven Aufbau noch verstärkt.}
+ \caption{Schematischer Aufbau des \emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerks. Im
+ Vergleich zum bitonen Mischer für Acht Leitungen kommt dieses Schema mit
+ einem Komparator weniger aus. Der Effekt wird durch den rekursiven Aufbau
+ verstärkt.}
\label{fig:oe-merge}
\end{figure}
V_{\textrm{ungerade}} &=& \left(v_1, v_3, u_5, \ldots\right)
\end{eqnarray}
-Die geraden Folgen $U_{\textrm{gerade}}$ und $V_{\textrm{gerade}}$ bzw. die
-ungeraden Folgen $U_{\textrm{ungerade}}$ und $V_{\textrm{ungerade}}$ werden
-rekursiv von kleineren \emph{Odd-Even}-Mischern zusammengefügt, so dass sich am
-Ausgang der Mischer die Folgen
+Die geraden Folgen $U_{\textrm{gerade}}$ und $V_{\textrm{gerade}}$
+beziehungsweise die ungeraden Folgen $U_{\textrm{ungerade}}$ und
+$V_{\textrm{ungerade}}$ werden rekursiv von kleineren \emph{Odd-Even}-Mischern
+zusammengefügt, so dass sich am Ausgang der Mischer die Folgen
\begin{eqnarray}
W_{\textrm{gerade}} &=& \left(w_0, w_2, w_4, \ldots\right) \\
W_{\textrm{ungerade}} &=& \left(w_1, w_3, w_5, \ldots\right)
\subsubsection{Das Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
-Das \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{OES}(n)$ besteht --~wie
-das \emph{bitone Mergesort-Netzwerk}~-- rekursiv aus kleineren Varianten von
+Das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk $\operatorname{OES}(n)$ besteht --~wie
+das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk~-- rekursiv aus kleineren Varianten von
sich selbst und einem abschließenden \emph{Odd-Even}-Mischer. Die
effizientesten Sortiernetzwerke in Bezug auf Komparator- und Schichtzahl
entstehen, wenn die Anzahl der Leitungen jeweils halbiert wird. Somit besteht
-$\operatorname{OES}(n)$ aus
-$\operatorname{OES}\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil\right)$,
-$\operatorname{OES}\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)$
-und $\operatorname{OEM}\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil,
-\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)$. Die Rekursion endet mit
-$\operatorname{OES}(1)$ und $\operatorname{OES}(0)$, die als leere
-Komparatornetzwerke definiert sind.
+\oes{n} aus $\oes{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}$,
+$\oes{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}$ und
+$\oem{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil, \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}$.
+Die Rekursion endet mit $\operatorname{OES}(1)$ und $\operatorname{OES}(0)$,
+die als leere Komparatornetzwerke definiert sind.
\begin{figure}
\begin{center}
Instanzen $\operatorname{OES}(4)$. Die blauen und der grüne Block stellen den
\emph{Odd-Even}-Mischer für acht Leitungen dar: Die beiden blauen Blöcke sind
die rekursiven Instanzen von $\operatorname{OEM}(4)$, der grüne Block markiert
-die Komparatoren, die in ersten Rekursionsschritt hinzugefügt werden.
+die Komparatoren, die im ersten Rekursionsschritt hinzugefügt werden.
Im Allgemeinen ist die Anzahl der Komparatoren, die vom
\emph{Odd-Even-Mergesort-Netz\-werk} verwendet wird, $k(n)$, direkt aus der
%\item Pairwise sorting-network
%\end{itemize}
+\subsection{Das Pairwise-Sorting-Netzwerk}
+
+Das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk \ps{n} ist eine Konstruktionsvorschrift
+für Sortiernetzwerke, die 1992 von \textit{Ian Parberry} in seiner Arbeit „The
+Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992} definiert wurde. Wenn die Anzahl der
+Leitungen $n = 2^d$ eine Zweierpotenz ist, hat das
+\emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk die selbe Effizienz und Geschwindigkeit wie
+das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk.
+
\newpage
\section{Transformation von Sortiernetzwerken}
\label{sect:tranformation}
Diese Anzahl ist insbesondere beim automatisierten Bewerten von
Komparatornetzwerken interessant, wie in Abschnitt~\ref{sect:bewertung}
beschrieben. Die Anzahl der Schichten kann künstlich vergrößert werden, indem
-Komparatoren später angewandt werden. Deshalb sollte vor einer Bewertung, die
+Komparatoren später angewendet werden. Deshalb sollte vor einer Bewertung, die
die Anzahl der Schichten als Bewertungskriterium verwendet, immer eine
Komprimierung durchgeführt werden.
Ein \emph{Standard-Sortiernetzwerk} oder \emph{normalisiertes Sortiernetzwerk}
ist ein Sortiernetzwerk, dessen Komparatoren alle in die selbe Richtung
-zeigen. Jedes Sortiernetzwerk kann in eine normaliesierte Variante
-transformiert werden. Dazu gibt beispielsweise \emph{Donald~E. Knuth}
-in~\cite{KNUTH} einen Algorithmus an.
-
-Abbildung~\ref{fig:beispiel_normalisieren} zeigt das das
-bitone Sortiernetzwerk in zwei Varianten. Abbildung~\ref{fig:bitonic-nonstd}
+zeigen.\footnote{Die Konvention in dieser Arbeit ist, dass in diesem Fall alle
+Pfeile nach unten zeigen. Das Minimum wird auf der untersten, das Maximum auf
+der obersten Leitung ausgegeben.} Jedes Sortiernetzwerk kann in eine
+normaliesierte Variante transformiert werden. Dazu gibt beispielsweise
+\emph{Donald~E. Knuth} in~\cite{KNUTH} einen Algorithmus an.
+
+Abbildung~\ref{fig:beispiel_normalisieren} zeigt das das \emph{bitone
+Mergesort}-Netzwerk in zwei Varianten. Abbildung~\ref{fig:bitonic-nonstd}
zeigt das Netzwerk nach der Konstruktionsvorschrift, siehe auch
Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-normal}: In den ersten drei Schichten werden
-die unter und die obere Hälfte gegenläufig sortiert. Das heißt dass nach drei
-Schritten die eine Hälfte auf- und die andere Hälfte absteigend sortiert ist.
+die untere und die obere Hälfte gegenläufig sortiert. Das heißt dass nach drei
+Schritten die eine Hälfte auf- und die andere Hälfte absteigend sortiert ist.
In den Schichten~4 bis~6 folgt der bitone Mischer entsprechend der rekursiven
Definition.
Sortiernetzwerk zusammenzufassen.
Wir haben diese Technik in den vorangegangen Abschnitten bereits verwendet,
-beispielsweise um zwei \emph{bitone Mergesort-Netzwerke} mit jeweils der
+beispielsweise um zwei \emph{bitone Mergesort}-Netzwerke mit jeweils der
halben Leitungszahl, $\operatorname{BS}\left(\frac{n}{2}\right)$, zu einem
einzigen Sortiernetzwerk $\operatorname{BS}(n)$ zu kombinieren. Auch das
-\emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{OES}(n)$ wurde auf diese Art
+\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk $\operatorname{OES}(n)$ wurde auf diese Art
und Weise rekursiv aufgebaut.
Die vorgestellten \emph{Mischer} erwarten als Eingabe zwei bereits sortierte
Beispielsweise kann man die Ausgabe von zwei \emph{bitonen
Mergesort-Netzwerken} $\operatorname{BS}(8)$ mit je acht Leitungen mit dem
-\emph{Odd-Even-Merge} $\operatorname{OEM(8,8)}$ zu einer sortierten
+\emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk $\operatorname{OEM(8,8)}$ zu einer sortierten
Gesamtfolge zusammenfügen. Das resultierende Sortiernetzwerk besitzt
73~Komparatoren (zum Vergleich: $\operatorname{BS}(16)$ benötigt
80~Komparatoren, $\operatorname{OES}(16)$ nur 63).
-Verbesserungen in der Anzahl der benötigten Komparatoren beziehungsweise der
-Schichten eines „kleinen“ Sortiernetzwerks übertragen sich direkt auf das
-resultierende Gesamtnetzwerk. Das \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
-$\operatorname{OES}(9)$ benötigt beispielsweise 26~Komparatoren, die in in
-neun Schichten angeordnet sind. Es sind allerdings Sortiernetzwerke mit neun
-Eingängen bekannt, die lediglich 25~Komparatoren in sieben Schichten
-benötigen. Kombiniert man zwei dieser Netzwerke mit dem
-\emph{Odd-Even}-Mischer erhält man ein Sortiernetzwerk mit 18~Eingängen, das
-80~Komparatoren in 11~Schichten benötigt -- $\operatorname{OES}(18)$ benötigt
-82~Komparatoren in 13~Schichten. Damit ist das resultierende Netzwerk so
-schnell wie das Sortiernetzwerk mit 18~Eingängen, das \textit{Sherenaz~W.
-Al-Haj Baddar} und \textit{Kenneth~E. Batcher} in ihrer Arbeit „An 11-Step
-Sorting Network for 18~Elements“~\cite{BB2009} vorstellen, benötigt aber
-6~Komparatoren weniger.
+Verbesserungen der Effizienz (die Anzahl der benötigten Komparatoren)
+beziehungsweise der Geschwindigkeit (die Anzahl der Schichten) eines „kleinen“
+Sortiernetzwerks übertragen sich direkt auf das resultierende Gesamtnetzwerk.
+Das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk $\operatorname{OES}(9)$ benötigt
+beispielsweise 26~Komparatoren, die in in neun Schichten angeordnet sind. Es
+sind allerdings Sortiernetzwerke mit neun Eingängen bekannt, die lediglich
+25~Komparatoren in sieben Schichten benötigen. Kombiniert man zwei dieser
+Netzwerke mit dem \emph{Odd-Even}-Mischer erhält man ein Sortiernetzwerk mit
+18~Eingängen, das 80~Komparatoren in 11~Schichten benötigt --
+$\operatorname{OES}(18)$ benötigt 82~Komparatoren in 13~Schichten. Damit ist
+das resultierende Netzwerk so schnell wie das Sortiernetzwerk mit
+18~Eingängen, das \textit{Sherenaz~W. Al-Haj Baddar} und \textit{Kenneth~E.
+Batcher} in ihrer Arbeit „An 11-Step Sorting Network for
+18~Elements“~\cite{BB2009} vorstellen, benötigt aber 6~Komparatoren weniger.
Das Zusammenfassen von zwei Sortiernetzwerken durch Hintereinanderausführung
ist nicht sinnvoll: Da die Ausgabe des ersten Sortiernetzwerks bereits
welche dafür sorgen, dass der Wert die Leitung gewechselt, da das Minimum
jeden Vergleich „verliert“ und das Maximum jeden Vergleich „gewinnt“. Die
Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut0} zeigt den Weg eines Maximums durch
-das {\em Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk}.
+das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk.
\begin{figure}
\centering
\label{fig:oe-transposition-cut}
\end{figure}
-Im nächsten Schritt werden alle beteiligten Komparatoren gelöscht bzw.
-ersetzt: Komparatoren, die {\em nicht} zu einem Wechsel der Leitung geführt
-haben, werden ersatzlos gelöscht. Diese Komparatoren sind in
+Im nächsten Schritt werden alle beteiligten Komparatoren gelöscht
+beziehungsweise ersetzt: Komparatoren, die {\em nicht} zu einem Wechsel der
+Leitung geführt haben, werden ersatzlos gelöscht. Diese Komparatoren sind in
Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut0} grün markiert. Die Komparatoren, die
zum Wechsel der Leitung geführt haben, werden durch sich kreuzende Leitungen
ersetzt. Das Resultat ist eine Leitung, auf der das Minimum beziehungsweise
Komparatornetzwerk immer noch sortiert werden: Wir haben lediglich die
Position des Minimums oder des Maximums angenommen. Ein Sortiernetzwerk muss
die Eingabe sortieren, egal auf welcher Leitung das Minimum~/ das Maximum
-liegt. Wir haben lediglich angefangen, das Sortiernetzwerk unter diese Annahme
+liegt. Wir haben nur angefangen, das Sortiernetzwerk unter diese Annahme
auszuwerten -- über die verbleibenden Eingänge haben wir keine Aussage
getroffen. Entsprechend müssen die verbleibenden Ausgänge eine sortierte Liste
mit $(n-1)$~Elementen darstellen.
Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut2} dargestellt, bleibt das
Sortiernetzwerk für $(n-1)$~Leitungen übrig. Je nachdem, ob auf einer Leitung
ein Minimum oder ein Maximum angenommen wird, bezeichnen wir das eliminieren
-einer Leitung als \emph{Minimum-Schnitt} beziehungsweise
-\emph{Maximum-Schnitt}.
+einer Leitung auf diese Art und Weise als \emph{Minimum-Schnitt}
+beziehungsweise \emph{Maximum-Schnitt}.
Die letzte Abbildung, \ref{fig:oe-transposition-cut3}, zeigt das
Sortiernetzwerk wieder mit den üblichen geraden Leitungen und die rot
\subsubsection{Anzahl möglicher und unterschiedlicher Schnittmuster}
\label{sect:anzahl_schnittmuster}
-Der Eliminierungsschritt kann iterativ angewandt werden, um aus einem
+Der Eliminierungsschritt kann iterativ angewendet werden, um aus einem
Sortiernetzwerk mit $n$~Ein\-gängen Sortiernetzwerke mit $n-1$, $n-2$,
$n-3$,~\dots Eingängen zu erzeugen. Insbesondere können auf diese Art und
Weise Sortiernetzwerke mit $2n$~Eingängen auf Sortiernetzwerke mit
auch das Maximum angenommen werden. Wendet man das Verfahren iterativ an, um
ein $n$-Sortiernetzwerk auf ein ${(n-k)}$-Sortiernetzwerk zu reduzieren,
ergeben sich insgesamt
-\begin{equation}\label{eqn:anzahl_schnittmuster}
+\begin{displaymath}
\prod_{i=n}^{1+n-k} 2i = 2^k \cdot \frac{n!}{(n-k)!}
\quad (n > m)
-\end{equation}
+\end{displaymath}
\emph{mögliche} Schnittmuster. Diese Schnittmuster sind nicht alle
unterschiedlich. Legt man beispielsweise das Minimum auf die unterste Leitung
und das Maximum auf die oberste Leitung eines Standard-Sortiernetzwerks,
$k$~Leitungen aus $n$~Leitungen auszuwählen, und die möglichen Minimum-~/
Maximum-Muster. Damit ergibt sich folgende Formel für die Anzahl der möglichen
Schnittmuster:
-\begin{displaymath}
+\begin{equation}\label{eqn:anzahl_schnittmuster}
2^k \cdot \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)
= 2^{k} \cdot \frac{n!}{k! (n-k)!}
= 2^{k} \cdot \frac{n!}{(n-k)!} \cdot \frac{1}{k!}
\quad (1 \leqq k < n)
-\end{displaymath}
+\end{equation}
Die Anzahl der möglichen Schnittmuster wird mit der Anzahl der zu entfernenden
Leitungen sehr schnell sehr groß. Um ein Sortiernetzwerk mit 32~Eingängen auf
schwierige Zählprobleme vorstellt. Zunächst generiert man eine Menge~$S$ von
$k$~unterschiedlichen Schnittmustern. Anschließend werden $n$~Schnittmuster
zufällig erzeugt und überprüft, ob sie in der Menge~$S$ enthalten sind. Unter
-der Annahme, dass das Verhältnis der zufälligen Schnittmuster, die in $S$
-enthalten sind, und $n$ dem Verhältnis von $k$ und der Anzahl der
-unterschiedlichen Schnittmuster insgesamt entspricht, kann man die Anzahl der
-unterschiedlichen Schnittmuster abschätzen.
+der Annahme, dass auf diese Art und Weise Sortiernetzwerke zufällig und
+gleichverteilt erzeugt werden, entspricht das Verhältnis der zufälligen
+Schnittmuster, die in $S$ enthalten sind, und $n$ gleich dem Verhältnis von
+$k$ und der Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster insgesamt. Damit kann
+die Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster abgeschätzt werden.
\begin{figure}
\begin{center}
\label{fig:collisions-100000-1000000-32-ps}
\end{figure}
-Im vorherigen Abschnitt wurde das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}
+Im vorherigen Abschnitt wurde das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk
$\operatorname{PS}(32)$ nicht betrachtet, da es für dieses Netzwerk viel mehr
unterschiedliche 16-Schnittmuster gibt als für $\operatorname{OES}(32)$ und
$\operatorname{BS}(32)$. In Anbetracht der Tatsache, dass die Anzahl der
$\operatorname{PS}(32)$ eine initiale Menge von 100.000 unterschiedlichen
Schnittmustern erzeugt. Trotzdem wurden nach 1.000.000 Iterationen nur 385
Schnittmuster gefunden, die zu einem Schnittmuster in der Menge äquivalent
-sind. Daraus ergibt sich eine Abschätzung von $2,6 \cdot 10^8$
+waren. Daraus ergibt sich eine Abschätzung von $2,6 \cdot 10^8$
unterschiedlichen Schnittmustern -- zwei Zehnerpotenzen mehr als bei den
vorherigen Sortiernetzwerken, aber immer noch fünf Zehnerpotenzen kleiner als
die Anzahl der \emph{möglichen} Schnittmuster.
Diese Ziele führen im Allgemeinen zu unterschiedlichen Netzwerken. Das
effizienteste bekannte Sortiernetzwerk für 16~Eingänge besteht aus
-60~Komparatoren in 10~Schichten. Das schnellste Netzwerk besteht aus
-61~Komparatoren in nur 9~Schichten.
+60~Komparatoren in 10~Schichten. Das schnellste bekannte 16-Sortiernetzwerk
+besteht aus 61~Komparatoren in nur 9~Schichten.
Eine Gütefunktion, die die beiden Ziele "`effizient"' und "`schnell"'
berücksichtigen kann, hat die folgende allgemeine Form:
kein Patentrezept für die Wahl der Parameter, so dass für verschiedene
Leitungszahlen und Mischer-Typen experimentiert werden muss.
+Als guter Standardansatz für \textsc{SN-Evolution} haben sich die folgenden
+Werte herausgestellt:
+\begin{eqnarray*}
+w_{\mathrm{Basis}} &=& 0 \\
+w_{\mathrm{Komparatoren}} &=& 1 \\
+w_{\mathrm{Schichten}} &=& \left|S\right|_\mathrm{Leitungen}
+\end{eqnarray*}
+
\subsection{Selektion}
Die \emph{Selektion} sorgt dafür, dass bessere Individuen eine größere
-Wahrscheinlichkeit haben, zur nächsten Generation beizutragen. Diese
+Wahrscheinlichkeit haben zur nächsten Generation beizutragen. Diese
Ungleichbehandlung von Individuen verschiedener Güte ist der Grund für das
Streben des Algorithmus nach besseren Lösungen.
\end{verbatim}
\subsection{Rekombination}
+\label{sect:sn-evolution:rekombination}
Bei der Rekombination werden zwei Individuen --~hier Sortiernetzwerke~-- zu
einer neuen Lösung kombiniert. Dazu verwenden wir einen Mischer, zum Beispiel
eine Überprüfung eingebaut: Unmittelbar vor dem Einfügen in die Population
überprüft eine Funktion die Notwendigkeit jedes einzelnen Komparators. Dazu
wird nacheinander jeder Komparator entfernt und überprüft, ob das verbleibende
-Netzwerk die Sortiereigenschaft noch besitzt.
-
-Trotz des hohen Rechenaufwands -- bei 16-Sortiernetzwerken sind gut
-4~Millionen Tests notwendig, um alle Komparatoren zu überprüfen -- waren die
-Ergebnisse ernüchternd: Nach circa 1~Million Iterationen mit
-16-Sortiernetzwerken fand der so modifizierte Algorithmus keinen einzigen
-Komparator, den er hätte entfernen können.
-
-\subsection{Güte}
-
-Die Qualität der erreichten Sortiernetzwerke wurde mit eine Gütefunktion
-beurteilt, die entsprechend dem im Abschnitt~\ref{sect:bewertung}
-vorgestellten Muster definiert ist. Wie beschrieben müssen die Faktoren häufig
-an die aktuelle Problemgröße angepasst werden, damit \textsc{SN-Evolution}
-schnell gute Ergebnisse liefert. Als guter Standardansatz haben sich die
-folgenden Werte herausgestellt:
-\begin{eqnarray*}
-w_{\mathrm{Basis}} &=& 0 \\
-w_{\mathrm{Komparatoren}} &=& 1 \\
-w_{\mathrm{Schichten}} &=& \left|S\right|_\mathrm{Leitungen}
-\end{eqnarray*}
+Netzwerk die Sortiereigenschaft noch besitzt. Trotz des hohen Rechenaufwands
+-- bei 16-Sortiernetzwerken sind gut 4~Millionen Tests notwendig, um alle
+Komparatoren zu überprüfen -- waren die Ergebnisse ernüchternd: Nach circa
+1~Million Iterationen mit 16-Sortiernetzwerken fand der so modifizierte
+Algorithmus keinen einzigen Komparator, den er hätte entfernen können. Daher
+wurde beim \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus auf eine Mutation verzichtet.
\subsection[Bitoner Mischer]{Versuche mit dem bitonen Mischer}
Initiallösung gestartet. Das Ergebnis ist ein Netzwerk, das effizienter ist
als das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk: \bs{16} benötigt 80~Komparatoren,
das Sortiernetzwerk in Abbildung~\ref{fig:16-e1-bitonic-1296542566} benötigt
-lediglich~67.
+lediglich~67. Die Effizienz des \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks wurde
+leider mit keiner Leitungszahl erreicht.
\subsection[Odd-Even-Mischer]{Versuche mit dem Odd-Even-Mischer}
\label{fig:16-e1-oddeven-1296543330}
\end{figure}
-Leider lies sich das Ergebnis des bitonen Mischers -- das von
-\textsc{SN-Evolution} ausgegebene Netzwerk war effizienter als das rekursiv
-aus dem verwendeten Mischer aufgebaute Sortiernetzwerk -- mit dem
-\emph{Odd-Even}-Mischer nicht wiederholen. Zwar erreichen die
+Leider lies sich das Ergebnis des bitonen Mischers -- die von
+\textsc{SN-Evolution} ausgegebenen Netzwerke waren effizienter als das
+rekursiv aus dem verwendeten Mischer aufgebaute Sortiernetzwerk -- mit dem
+\emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk nicht wiederholen. Zwar erreichen die
Sortiernetzwerke, die \textsc{SN-Evolution} unter Verwendung des
\emph{Odd-Even}-Mischers findet, das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk
-bezüglich Schnelligkeit und Effizienz, ein Beispiel hierfür ist in
-Abbildung~\ref{fig:16-e1-oddeven-1296543330} zu sehen. Ein Netzwerk, das
-$\operatorname{OES}(n)$ in mindestens einem Merkmal übertrifft, konnte jedoch
-nicht beobachtet werden.
+bezüglich Geschwindigkeit und Effizienz, ein Beispiel hierfür ist in
+Abbildung~\ref{fig:16-e1-oddeven-1296543330} zu sehen. Sortiernetzwerkde, die
+effizienter als $\operatorname{OES}(n)$ sind, konnten leider nicht beobachtet
+werden. Wenn $n$ keine Zweietpotenz ist, kann \textsc{SN-Evolution} unter
+Umständen Sortiernetzwerke ausgeben, die schneller als \oes{n} sind.
%\begin{figure}
%\begin{center}
Der \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus verwendet \emph{Schnittmuster}, die
in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} definiert wurden, als Individuen.
-Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten $r$~Schnitte des einen
-Schnittmusters verwendet und die letzten ${c-r}$~Schnitte des zweiten
-Schnittmusters. $r$ ist eine Zufallsvariable mit $0 \leqq r \leqq c$.
+Ein Individuum besteht aus einer Liste von $n$~Zahlen, die entweder 1, $-1$
+oder 0 sind. Dieser Werte entsprechen Maximum, Minimum und unbelegt. Bei einem
+$k$-Schnittmuster sind genau $k$ Zahlen nicht Null.
-Die Mutation setzt entweder die Leitungsnummer eines Schnitts~$i$ zufällig auf
-einen neuen Wert $l$ mit $0 \leqq l \le n-i$ oder invertiert die
-Schnitt-Richtung.
+Um zwei Individuen zu rekombinieren werden die ersten $r$~Werte des einen
+Schnittmusters und die letzten ${n-r}$~Schnitte des zweiten Schnittmusters
+verwendet. $r$ ist eine Zufallsvariable mit $0 \leqq r \leqq n$. Anschließend
+werden zufällig Werte auf Null beziehungsweise 1 oder $-1$ gesetzt, um die
+Anzahl der Schnitte zu korrigieren.
-\subsection{Versuche mit dem bitonen Mergesort-Netzwerk}
+Die Mutation vertauscht entweder die Werte von zwei zufälligen Positionen oder
+multipliziert den Wert einer Leitung mit $-1$, um die Schnittrichtung zu
+invertieren.
+
+\subsection[Bitones Mergesort-Netzwerk]{Versuche mit dem bitonen Mergesort-Netzwerk}
\textit{Moritz Mühlenthaler} und \textit{Rolf Wanka} zeigen in~\cite{MW2010},
wie man einen bitonen Mischer, der nach Batchers Methode konstruiert wurde,
Beispielsweise geben \textit{Mühlenthaler} und \textit{Wanka} ein
Sortiernetzwerk mit 16~Eingängen an, das mithilfe der alternativen Mischer
-konstruiert wurde. Dieses Sortiernetzwerk benötigt 68~Komparatoren, 12~weniger
-als das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk nach Batchers Methode. Gegenüber
-Batchers Methode sparen so konstruierte Sortiernetzwerke ${\frac{1}{4}n(\log n
-- 1)}$ Komparatoren ein.
+konstruiert wurde. Dieses Sortiernetzwerk be\-nö\-tigt 68~Komparatoren,
+12~weniger als das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk nach Batchers Methode.
+Gegenüber Batchers Methode sparen so konstruierte Sortiernetzwerke
+${\frac{1}{4}n(\log n - 1)}$ Komparatoren ein.
\begin{figure}
\begin{center}
\label{fig:16-ec-from-bs32-normalized}
\end{figure}
-Startet man {\sc SN-Evolution-Cut} mit dem bitonen Mergesort-Netzwerk
+Startet man {\sc SN-Evolution-Cut} mit dem \emph{bitonen Mergesort}-Netzwerk
$\operatorname{BS}(32)$ und der Vorgabe 16~Leitungen zu entfernen, liefert der
Algorithmus Sortiernetzwerke, die ebenfalls aus 68~Komparatoren bestehen. Ein
16-Sortiernetzwerk, das auf diese Weise generiert wurde, ist in den
Abbildungen~\ref{fig:16-ec-from-bs32} und~\ref{fig:16-ec-from-bs32-normalized}
zu sehen. Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs32} zeigt $\operatorname{BS}(32)$
-und das
-${\operatorname{MIN}(0,5,9,11,15,17,20,22,26,29,30)}$-${\operatorname{MAX}(2,4,13,19,24)}$-Schnittmuster,
-das durch \textsc{SN-Evolution-Cut} gefunden wurde.
+und das Schnittmuster ${\operatorname{MIN}(0, 5, 9, 11, 15, 17, 20, 22, 26,
+29, 30)}$, ${\operatorname{MAX}(2, 4, 13, 19, 24)}$, das durch
+\textsc{SN-Evolution-Cut} gefunden wurde.
Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-bs32-normalized} zeigt das 16-Sortiernetzwerk
nachdem das Schnittmuster angewandt und das Netzwerk normalisiert wurde. Eine
Ähnlichkeit zu $\operatorname{BS}(32)$ oder $\operatorname{BS}(16)$ ist in
208~Komparatoren. Das in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-bs64} dargestellte
Sortiernetzwerk benötigt lediglich 206~Komparatoren. Die Komparatoren aller
dieser Netzwerke können in 15~Schichten angeordnet werden, so dass die
-Verzögerung dieser Sortiernetzwerke gleich ist.
+Geschwindigkeit dieser Sortiernetzwerke gleich ist.
Leider sind die Schnittmuster, die \textsc{SN-Evolution-Cut} ausgibt, sehr
unregelmäßig. Bisher ist es nicht gelungen eine Konstruktionsanweisung für
effizienter als das entsprechende \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk sind. Die
folgende Tabelle listet einige interessante Fälle auf. Die Eingabe für
\textsc{SN-Evolution-Cut} war jeweils das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk mit
-der doppelten Leitungszahl.
-Abbildung~\ref{fig:23-ec-from-bs46} zeigt beispielhaft ein
-23-Sortiernetzwerk, das aus \bs{46} generiert wurde.
+der doppelten Leitungszahl. Die Abbildungen~\ref{fig:11-12-ec-from-bs22-bs24}
+und~\ref{fig:23-ec-from-bs46} zeigen beispielhaft ein 11-, 12- und
+23-Sortiernetzwerk, die aus \bs{22}, \bs{24} und \bs{46} generiert wurden.
+
\begin{center}
\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
\hline
$m$~Schnitten gestartet, so ist das beste Ergebnis immer das
$\operatorname{OET}(n-m)$-Netzwerk.
-\subsection{Versuche mit dem Pairwise-Sorting-Netzwerk}
+\subsection[Pairwise-Sorting-Netzwerk]{Versuche mit dem Pairwise-Sorting-Netzwerk}
Anders verhält sich das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}
$\operatorname{PS}(n)$, das \textit{Ian Parberry} in seiner Arbeit „The
Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992} definiert. Startet man
\textsc{SN-Evolution-Cut} mit $\operatorname{PS}(32)$ und der Vorgabe,
16~Leitungen zu entfernen, erhält man ein Sortiernetzwerk, dass die gleiche
-Anzahl an Komparatoren und Schichten hat wie $\operatorname{PS}(16)$ und
+Anzahl Komparatoren und Schichten hat wie $\operatorname{PS}(16)$ und
$\operatorname{OES}(16)$. Eines dieser Sortiernetzwerke ist in
Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} dargestellt.
\end{figure}
Obwohl das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} den \emph{Odd-Even}-Mischer nicht
-einsetzt und auch nicht auf einem Mischer basiert, ist der
-$\operatorname{OEM}(8,8)$ im Sortiernetzwerk in
+einsetzt und auch nicht auf einem Mischer basiert, ist das
+\emph{Odd-Even-Merge}-Netzwerk $\operatorname{OEM}(8,8)$ im Sortiernetzwerk in
Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} eindeutig erkennbar (Schichten~7--10). In
den Schichten~1--6 erkennt man zwei unabhängige Sortiernetzwerke, die
strukturell sehr ähnlich zu $\operatorname{PS}(8)$ sind -- lediglich die
\begin{center}
\input{images/32-pairwise-cut-16-pairwise.tex}
\end{center}
- \caption{PS(32) mit 16 Schnitten zu PS(16).}
+ \caption{Das \ps{32}-Netzwerk mit 8~Maximum- und 8~Minimumschnitten. Gut zu
+ sehen sind die verbleibenden Komparatoren, die das \ps{16}-Netzwerk
+ bilden.}
\label{fig:ps16-from-ps32}
\end{figure}
\input{images/16-pairwise.tex}
\end{center}
\caption{Das $\operatorname{PS}(16)$-Sortiernetzwerk mit 8~Schnitten
- ($\operatorname{MIN}(0,2,4,6), \operatorname{MAX}(9,11,13,15)$). Das
- resultierende 8-Sortiernetzwerk ist $\operatorname{OES}(8)$.}
+ ($\operatorname{MIN}(0, 2, 4, 6), \operatorname{MAX}(9, 11, 13, 15)$). Das
+ resultierende 8-Sortiernetzwerk ist $\operatorname{OES}(8)$.}
\label{fig:16-pairwise}
\end{figure}
konvertiert werden. Die Verwandtschaft von $\operatorname{PS}(n)$ und \oes{n}
untersucht \textit{Moritz Mühlenthaler} ausführlich in~\cite{M2009}.
-\subsection{Versuche mit dem Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
+\subsection[Odd-Even-Mergesort-Netzwerk]{Versuche mit dem Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
\label{sect:sn-evolution-cut:oes}
In Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} wurde bereits untersucht, wie
\end{center}
\caption{16-Sortiernetzwerk mit 63~Komparatoren in 10~Schichten.
Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem
- \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{OES}(32)$ durch
+ \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk $\operatorname{OES}(32)$ durch
16~Schnitte erzeugt.}
\label{fig:16-ec-from-oes32}
\end{figure}
verwendeten Gütefunktion ab. Werden effiziente Netzwerke bevorzugt, findet der
Algorithmus Schnittmuster wie $\operatorname{MIN}(6, 7, 8, 9, 16, 17, 20,
22)$, $\operatorname{MAX}(2, 4, 12, 14)$, dessen Ergebnis in
-Abbildung~\ref{12-ec-from-oes24-efficient} zu sehen ist. Das resultierende
+Abbildung~\ref{fig:12-ec-from-oes24-efficient} zu sehen ist. Das resultierende
Sortiernetzwerk besteht aus 41~Komparatoren, die in 10~Schichten angeordnet
werden können. Damit ist das Netzwerk bezüglich Effizienz und Geschwindigkeit
gleichauf mit \oes{12}. Werden hingegen schnelle Sortiernetzwerke bevorzugt,
dieses Schnittmusters ist in Abbildung~\ref{fig:12-ec-from-oes24-fast} zu
sehen. Das Sortiernetzwerk besteht aus 43~Komparatoren, die in 9~Schichten
angeordnet sind. Das heißt, dass das resultierende Netzwerk zwar nicht so
-effizient wie \oes{12} ist, dafür aber schneller als \oes{12} und \bs{12}.
+effizient wie \oes{12}, dafür aber schneller als \oes{12} und \bs{12} ist.
\begin{figure}
\centering
- \subfigure[Schnelles 12-Sortiernetzwerk aus 43~Komparatoren in 9~Schichten,
- das von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk
- generiert
- wurde.]{\input{images/12-ec-from-oes24-fast.tex}\label{fig:12-ec-from-oes24-fast}}
\subfigure[Effizientes 12-Sortiernetzwerk aus 41~Komparatoren in
10~Schichten, das von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem
\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk generiert
wurde.]{\input{images/12-ec-from-oes24-efficient.tex}\label{fig:12-ec-from-oes24-efficient}}
+ \subfigure[Schnelles 12-Sortiernetzwerk aus 43~Komparatoren in 9~Schichten,
+ das von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk
+ generiert
+ wurde.]{\input{images/12-ec-from-oes24-fast.tex}\label{fig:12-ec-from-oes24-fast}}
\caption{Startet man \textsc{SN-Evolution-Cut} mit \oes{24}, hängt das
Ergebnis von der Bewertungsfunktion ab.}
\label{fig:12-ec-from-oes24}
Das \oes{24}-Sortiernetzwerk ist kein Einzelfall: \textsc{SN-Evolution-Cut}
findet Sortiernetzwerke, die schneller sind als das entsprechende
-\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk, unter anderem für das
-\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk mit 22, 24, 38, 40, 42, 44 und 46
-Eingängen. In der folgenden Tabelle sind einige schnelle Netzwerke, die von
-\textsc{SN-Evolution-Cut} generiert werden können, charakterisiert. Die
-Eingabe für \textsc{SN-Evolution-Cut} war jeweils das
+\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk, unter anderem für das Sortiernetzwerke mit
+22, 24, 38, 40, 42, 44 und 46 Leitungen. In der folgenden Tabelle sind einige
+schnelle Netzwerke, die von \textsc{SN-Evolution-Cut} generiert werden können,
+charakterisiert. Die Eingabe für \textsc{SN-Evolution-Cut} war jeweils das
\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk mit der doppelten Leitungszahl.
\begin{center}
\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
\label{sect:markov}
Der evolutionäre \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus aus dem vorherigen
-Abschnitt verwendete immer zwei zufällige Sortiernetzwerke („Individuen“) aus
+Abschnitt verwendet immer zwei zufällige Sortiernetzwerke („Individuen“) aus
einer Population. Da die beiden „Eltern“ zufällig und unabhängig voneinander
ausgewählt werden, kann es vorkommen, dass das selbe Sortiernetzwerk zweimal
verwendet und mit sich selbst kombiniert wird.
\label{fig:comparison-comparators}
\end{figure}
-Dass der \textsc{SN-Markov}-Algorithmus nicht schlechter ist als der
-\textsc{SN-Evolution}-Algo\-rithmus, ist aus dem Graphen in
+Dass der \textsc{SN-Markov}-Algorithmus nicht schlechter als der
+\textsc{SN-Evolution}-Algo\-rith\-mus ist, ist aus dem Graphen in
Abbildung~\ref{fig:comparison-comparators} ersichtlich. Analog zu dem Versuch
mit \textsc{SN-Markov}, wurde beim \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus die
Anzahl der Komparatoren jedes neuen Individuums ermittelt und gespeichert. Als
\newpage
\section{Fazit und Ausblick}
-Dass sich mithilfe dem Entfernen von Leitungen aus bekannten Sortiernetzwerke
+Dass sich mithilfe des Entfernens von Leitungen aus bekannten Sortiernetzwerke
interessante Ergebnisse erzielen lassen, zeige \textit{Moritz Mühlenthaler}
bereits in~\cite{M2009}. Die in dieser Arbeit vorgestellten Methoden und
Resultate machen deutlich, dass sich mit diesem Verfahren noch weitere
\textsc{SN-Evolution-Cut} kann das Ergebnis von \textit{Mühlenthaler} und
\textit{Wanka} (\cite{MW2010}) für ein 16-Sortiernetzwerk reproduzieren und
für ein 32-Sortiernetzwerk sogar noch übertreffen. Der
-\textsc{SN-Evolution}-Algorithmus fand ein 16-Sortiernetzwerk, das gegenüber
-dem Ergebnis von \textsc{SN-Evolution-Cut} beziehungsweise~\cite{MW2010} einen
-weiteren Komparator einspart.
+\textsc{SN-Evolution}-Algorithmus fand 16-Sortiernetzwerke, die gegenüber dem
+Ergebnis von \textsc{SN-Evolution-Cut} beziehungsweise~\cite{MW2010} einen
+weiteren Komparator einsparen.
Leider weisen die Sortiernetzwerke, die von den angegebenen Algorithmen
zurückgegeben werden, keine Struktur auf, die sich zur Angabe einer
Sortiernetzwerken wurde experimentell bestimmt und gezeigt, dass es deutlich
weniger \emph{unterschiedliche} als \emph{mögliche} Schnittmuster gibt. Das
bedeutet im Umkehrschluss, dass die gewonnenen Sortiernetzwerke mit mehreren
-unterschiedlichen Schnittmustern erreicht werden können.
+Schnittmustern erreicht werden können.
Die Möglichkeiten, die Evolutionäre Algorithmen bei der Optimierung von
Sortiernetzwerken bieten, sind durch die in dieser Arbeit vorgestellten
\subsection{Ausblick: Das \textit{Pairwise-Sorting}-Netzwerk und \textsc{SN-Evolution}}
Die aktuelle Implementierung von \textsc{SN-Evolution}
-(Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution}) kann sowohl den \emph{bitonen Mischer} als
-auch den \emph{Odd-Even}-Mischer verwenden, um zwei Individuen zu
+(Abschnitte~\ref{sect:sn-evolution}
+beziehungsweise~\ref{sect:implementierung}) kann sowohl den \emph{bitonen
+Mischer} als auch den \emph{Odd-Even}-Mischer verwenden, um zwei Individuen zu
rekombinieren. Das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk verwendet zwar keinen
Mischer, es ist aber ebenfalls rekursiv über kleinere Versionen von sich
selbst definiert. Das heißt, dass \ps{n} aus zwei Instanzen von
\newpage
\section{Implementierung}
+\label{sect:implementierung}
Alle in dieser Arbeit beschriebenen Versuche wurden mit einer eigens
entwickelten C-Bibliothek, \textit{libsortnetwork}, und zugehörigen
Die meisten Kommandozeilen-Programmen lesen ein Komparatornetzwerk von der
Standard-Eingabe und schreiben ihr Ergebnis auf die Standard-Ausgabe. Um
Beispielsweise eine \emph{normalisierte} Variante des \emph{bitonen
-Mergesort}-Netzwerks \bs{18} zu erzeugen, kann folgendes Kommando verwendet
+Mergesort}-Netzwerks \bs{42} zu erzeugen, kann folgendes Kommando verwendet
werden:
\begin{verbatim}
- $ sn-bitonicsort 18 | sn-normalize >sn-18
+ $ sn-bitonicsort 42 | sn-normalize >sn-42
\end{verbatim}
Dieses Prinzip, kleine Programme \emph{eine} Aufgabe erledigen zu lassen und
es einfach zu ermöglichen, Programme zu verketten, ist eines der
projects / diplomarbeit.git / commitdiff