auch das Maximum angenommen werden. Wendet man das Verfahren iterativ an, um
ein $n$-Sortiernetzwerk auf ein $m$-Sortiernetzwerk zu reduzieren, ergeben
sich insgesamt
-\begin{displaymath}
+\begin{equation}\label{eqn:anzahl_schnittmuster}
\prod_{i=n}^{m+1} 2i = 2^{n-m} \frac{n!}{m!}
\quad (n > m)
-\end{displaymath}
+\end{equation}
\emph{mögliche} Schnittmuster. Diese Schnittmuster sind nicht alle
unterschiedlich. Legt man beispielsweise das Minimum auf die unterste Leitung
und das Maximum auf die oberste Leitung eines Standard-Sortiernetzwerks,
Eingänge unterscheiden, wird anschließend der Komparator entfernt, so dass
sich die Resultate auch in der ersten Schicht nicht unterscheiden.
-\todo{Mit \textit{Approximate Counting} könnte man die Anzahl der
-\emph{unterschiedlichen} Schnittmuster genauer abschätzen.}
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[viewport=0 0 360 216,width=15cm]{images/count-cuts-16.pdf}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der \emph{unterschiedlichen} Sortiernetzwerke, die durch
+ 8-Schnittmuster aus $\operatorname{OES}(16)$, $\operatorname{BS}(16)$ und
+ $\operatorname{PS}(16)$ hervorgegangen sind. Die Anzahl der
+ unterschiedlichen Netzwerke nach $10^6$~Iterationen ist 3519 für das
+ \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}, 4973 für das \emph{bitone
+ Mergesort-Netzwerk} und 18764 für das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}.}
+ \label{fig:count-cuts-16}
+\end{figure}
+
+Um die Anzahl der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster abschätzen zu können,
+wurden je eine Million zufällige 8-Schnittmuster auf die 16-Sortiernetzwerke
+$\operatorname{OES}(16)$, $\operatorname{BS}(16)$ und $\operatorname{PS}(16)$
+angewandt. Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} trägt die Anzahl der
+\emph{unterschiedlichen} Sortiernetzwerke gegen die Anzahl der zufälligen
+Schnittmuster auf. Klar zu sehen ist, dass sich die Anzahl der erzeugten
+Sortiernetzwerke nach $500.000$~Iterationen nur noch gering verändert und der
+Wert nach $1.000.000$~Iterationen allem Anschein nach dem Endwert schon sehr
+nahe ist.
+
+Die Anzahl der 8-Schnittmuster ist entsprechend der
+Formel~\ref{eqn:anzahl_schnittmuster} 3.294.720. Diese möglichen Schnittmuster
+führen aber nur zu wenigen \emph{unterschiedlichen} Sortiernetzwerken: 3519
+($\approx 0,1\%$) im Fall des \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerks}, 4973
+($\approx 0,15\%$) beim \emph{bitonen Mergesort-Netzwerk} und 18764 ($\approx
+0,57\%$) beim \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}. Zwar ist es möglich, dass mehr
+Iterationen die Anzahl der unterschiedlichen Netzwerke noch wachsen lässt. Die
+Graphen in Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} geben jedoch Grund zu der
+Annahme, dass Anzahl dieser zusätzlichen, unterschiedlichen Schnittmuster
+vernachlässigbar klein ist.
+
+Bedingt durch die sehr große Anzahl möglicher Schnittmuster ist dieses
+Experiment für größere Sortiernetzwerke leider nicht sinnvoll durchführbar. Um
+die Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster trotzdem abschätzen zu können,
+kann man sich einer stochastischen Methode bedienen, der sogenannten
+\emph{Monte-Carlo-Methode}. Zunächst generiert man eine Menge~$S$ von
+$k$~unterschiedlichen Schnittmustern. Anschließend werden $n$~Schnittmuster
+zufällig erzeugt, und überprüft, ob sie sich in der Menge~$S$ enthalten sind.
+Unter der Annahme, dass das Verhältnis der zufälligen Schnittmuster, die in $S$
+enthalten sind, und $n$ dem Verhältnis von $k$ und der Anzahl der
+unterschiedlichen Schnittmuster ingesamt entspricht, kann man die Anzahl der
+unterschiedlichen Schnittmuster abschätzen.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/collisions-10000-1000000-32.pdf}
+ \end{center}
+ \caption{Abschnätzung der unterschiedlichen Schnittmuster mit der
+ \emph{Monte-Carlo-Methode} für $\operatorname{OES}(32)$ und
+ $\operatorname{BS}(32)$.}
+ \label{fig:collisions-10000-1000000-32}
+\end{figure}
+
+In Abbildung~\ref{fig:collisions-10000-1000000-32} ist das Ergebnis des
+Monte-Carlo-Algorithmus für 16-Schnittmuster zu sehen, die auf
+$\operatorname{OES}(32)$ und $\operatorname{BS}(32)$ angewandt wurden: Von
+jedem Sortiernetzwerk wurden zunächst eine Menge von 10.000
+\emph{unterschiedlichen} Schnittmustern erzeugt. Anschließend wurden 1.000.000
+zufällige Schnittmuster erzeugt und der Anteil der zufälligen Schnittmuster,
+die identisch zu einem in der Menge enthalten Schnittmuster sind, berechnet.
+Für $\operatorname{OES}(32)$ war dieser Anteil etwa $0,19 \%$, für
+$\operatorname{BS}(32)$ etwa $0,29 \%$. Das ergibt eine Abschätzung von $5,2
+\cdot 10^6$ unterschiedlichen Schnittmustern für $\operatorname{OES}(32)$ und
+$3,4 \cdot 10^6$ für $\operatorname{BS}(32)$.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/collisions-100000-1000000-32-ps.pdf}
+ \end{center}
+ \caption{Abschnätzung der unterschiedlichen Schnittmuster mit der
+ \emph{Monte-Carlo-Methode} für $\operatorname{PS}(32)$. 385 von 1.000.000
+ zufälligen Schnittmustern waren äquivalent zu einem Schnittmuster in einer
+ Menge von 100.000. Daraus ergibt sich eine Schätzung von $2,6 \cdot 10^8$
+ unterschiedlichen Schnittmustern.}
+ \label{fig:collisions-100000-1000000-32-ps}
+\end{figure}
+
+Im vorherigen Abschnitt wurde das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}
+$\operatorname{PS}(32)$ nicht betrachtet, da es für dieses Netzwerk viel mehr
+unterschiedliche 16-Schnittmuster gibt als für $\operatorname{OES}(32)$ und
+$\operatorname{BS}(32)$. In Anbetracht der Tatsache, dass die Anzahl der
+unterschiedlichen 8-Schnittmuster für $\operatorname{PS}(16)$ in
+Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} bereits mehr als dreimal größer war als die
+Anzahl für $\operatorname{OES}(16)$ beziehungsweise $\operatorname{BS}(16)$,
+ist dieser Umstand wenig verwunderlich. In einem kombinierten Graphen hätte
+man keine Details mehr erkennen können. Aufgrund der hohen Anzahl
+unterschiedlicher Schnittmuster, wurde für das gleiche Experiment mit
+$\operatorname{PS}(32)$ eine initiale Menge von 100.000 unterschiedilchen
+Schnittmustern erzeugt. Trotzdem wurden nach 1.000.000 Iterationen nur 385
+Schnittmuster gefunden, die ein Sortiernetzwerk aus dieser Menge erzeugen.
+Daraus ergibt sich eine Abschätzung von $2,6 \cdot 10^8$ unterschiedlichen
+Schnittmustern -- zwei Zehnerpotenzen mehr als bei den vorherigen
+Sortiernetzwerken, aber immernoch fünf Zehnerpotenzen kleiner als die Anzahl
+der \emph{möglichen} Schnittmuster.
\newpage
\section{Der \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus}
--- /dev/null
+200 1 0.005 2000000
+210 1 0.0047619 2100000
+220 1 0.00454545 2200000
+230 1 0.00434783 2300000
+240 1 0.00416667 2400000
+250 1 0.004 2500000
+260 1 0.00384615 2600000
+270 1 0.0037037 2700000
+280 1 0.00357143 2800000
+290 1 0.00344828 2900000
+300 1 0.00333333 3000000
+310 1 0.00322581 3100000
+320 1 0.003125 3200000
+330 1 0.0030303 3300000
+340 1 0.00294118 3400000
+350 1 0.00285714 3500000
+360 1 0.00277778 3600000
+370 1 0.0027027 3700000
+380 1 0.00263158 3800000
+390 1 0.0025641 3900000
+400 1 0.0025 4000000
+410 1 0.00243902 4100000
+420 1 0.00238095 4200000
+430 1 0.00232558 4300000
+440 1 0.00227273 4400000
+450 1 0.00222222 4500000
+460 1 0.00217391 4600000
+470 1 0.00212766 4700000
+480 1 0.00208333 4800000
+490 1 0.00204082 4900000
+500 1 0.002 5000000
+510 1 0.00196078 5100000
+520 1 0.00192308 5200000
+530 1 0.00188679 5300000
+540 1 0.00185185 5400000
+550 1 0.00181818 5500000
+560 1 0.00178571 5600000
+570 1 0.00175439 5700000
+580 1 0.00172414 5800000
+590 1 0.00169492 5900000
+600 1 0.00166667 6000000
+610 1 0.00163934 6100000
+620 1 0.0016129 6200000
+630 1 0.0015873 6300000
+640 1 0.0015625 6400000
+650 1 0.00153846 6500000
+660 1 0.00151515 6600000
+670 1 0.00149254 6700000
+680 1 0.00147059 6800000
+690 1 0.00144928 6900000
+700 1 0.00142857 7000000
+710 1 0.00140845 7100000
+720 1 0.00138889 7200000
+730 1 0.00136986 7300000
+740 2 0.0027027 3700000
+750 2 0.00266667 3750000
+760 2 0.00263158 3800000
+770 2 0.0025974 3850000
+780 2 0.0025641 3900000
+790 2 0.00253165 3950000
+800 2 0.0025 4000000
+810 2 0.00246914 4050000
+820 2 0.00243902 4100000
+830 2 0.00240964 4150000
+840 2 0.00238095 4200000
+850 2 0.00235294 4250000
+860 2 0.00232558 4300000
+870 2 0.00229885 4350000
+880 2 0.00227273 4400000
+890 2 0.00224719 4450000
+900 2 0.00222222 4500000
+910 2 0.0021978 4550000
+920 2 0.00217391 4600000
+930 2 0.00215054 4650000
+940 2 0.00212766 4700000
+950 2 0.00210526 4750000
+960 2 0.00208333 4800000
+970 2 0.00206186 4850000
+980 2 0.00204082 4900000
+990 2 0.0020202 4950000
+1000 2 0.002 5000000
+1100 2 0.00181818 5500000
+1200 3 0.0025 4000000
+1300 4 0.00307692 3250000
+1400 4 0.00285714 3500000
+1500 4 0.00266667 3750000
+1600 4 0.0025 4000000
+1700 5 0.00294118 3400000
+1800 6 0.00333333 3000000
+1900 7 0.00368421 2714285
+2000 7 0.0035 2857142
+2100 7 0.00333333 3000000
+2200 7 0.00318182 3142857
+2300 8 0.00347826 2875000
+2400 8 0.00333333 3000000
+2500 8 0.0032 3125000
+2600 8 0.00307692 3250000
+2700 8 0.00296296 3375000
+2800 8 0.00285714 3500000
+2900 9 0.00310345 3222222
+3000 9 0.003 3333333
+3100 9 0.00290323 3444444
+3200 9 0.0028125 3555555
+3300 9 0.00272727 3666666
+3400 9 0.00264706 3777777
+3500 9 0.00257143 3888888
+3600 10 0.00277778 3600000
+3700 10 0.0027027 3700000
+3800 10 0.00263158 3800000
+3900 13 0.00333333 3000000
+4000 13 0.00325 3076923
+4100 13 0.00317073 3153846
+4200 13 0.00309524 3230769
+4300 14 0.00325581 3071428
+4400 15 0.00340909 2933333
+4500 15 0.00333333 3000000
+4600 15 0.00326087 3066666
+4700 15 0.00319149 3133333
+4800 15 0.003125 3200000
+4900 15 0.00306122 3266666
+5000 15 0.003 3333333
+5100 16 0.00313725 3187500
+5200 17 0.00326923 3058823
+5300 18 0.00339623 2944444
+5400 19 0.00351852 2842105
+5500 19 0.00345455 2894736
+5600 19 0.00339286 2947368
+5700 19 0.00333333 3000000
+5800 19 0.00327586 3052631
+5900 19 0.00322034 3105263
+6000 19 0.00316667 3157894
+6100 19 0.00311475 3210526
+6200 19 0.00306452 3263157
+6300 19 0.00301587 3315789
+6400 19 0.00296875 3368421
+6500 19 0.00292308 3421052
+6600 19 0.00287879 3473684
+6700 19 0.00283582 3526315
+6800 19 0.00279412 3578947
+6900 19 0.00275362 3631578
+7000 19 0.00271429 3684210
+7100 20 0.0028169 3550000
+7200 20 0.00277778 3600000
+7300 20 0.00273973 3650000
+7400 20 0.0027027 3700000
+7500 20 0.00266667 3750000
+7600 21 0.00276316 3619047
+7700 21 0.00272727 3666666
+7800 22 0.00282051 3545454
+7900 22 0.00278481 3590909
+8000 22 0.00275 3636363
+8100 22 0.00271605 3681818
+8200 23 0.00280488 3565217
+8300 23 0.00277108 3608695
+8400 23 0.0027381 3652173
+8500 23 0.00270588 3695652
+8600 26 0.00302326 3307692
+8700 27 0.00310345 3222222
+8800 27 0.00306818 3259259
+8900 27 0.00303371 3296296
+9000 28 0.00311111 3214285
+9100 28 0.00307692 3250000
+9200 28 0.00304348 3285714
+9300 28 0.00301075 3321428
+9400 28 0.00297872 3357142
+9500 28 0.00294737 3392857
+9600 28 0.00291667 3428571
+9700 28 0.0028866 3464285
+9800 28 0.00285714 3500000
+9900 29 0.00292929 3413793
+10000 29 0.0029 3448275
+11000 32 0.00290909 3437500
+12000 34 0.00283333 3529411
+13000 38 0.00292308 3421052
+14000 42 0.003 3333333
+15000 47 0.00313333 3191489
+16000 48 0.003 3333333
+17000 51 0.003 3333333
+18000 54 0.003 3333333
+19000 56 0.00294737 3392857
+20000 58 0.0029 3448275
+21000 59 0.00280952 3559322
+22000 62 0.00281818 3548387
+23000 67 0.00291304 3432835
+24000 71 0.00295833 3380281
+25000 74 0.00296 3378378
+26000 77 0.00296154 3376623
+27000 79 0.00292593 3417721
+28000 83 0.00296429 3373493
+29000 86 0.00296552 3372093
+30000 88 0.00293333 3409090
+31000 88 0.00283871 3522727
+32000 90 0.0028125 3555555
+33000 92 0.00278788 3586956
+34000 95 0.00279412 3578947
+35000 100 0.00285714 3500000
+36000 102 0.00283333 3529411
+37000 106 0.00286486 3490566
+38000 111 0.00292105 3423423
+39000 114 0.00292308 3421052
+40000 118 0.00295 3389830
+41000 119 0.00290244 3445378
+42000 124 0.00295238 3387096
+43000 127 0.00295349 3385826
+44000 128 0.00290909 3437500
+45000 131 0.00291111 3435114
+46000 135 0.00293478 3407407
+47000 137 0.00291489 3430656
+48000 139 0.00289583 3453237
+49000 140 0.00285714 3500000
+50000 140 0.0028 3571428
+51000 141 0.00276471 3617021
+52000 143 0.00275 3636363
+53000 148 0.00279245 3581081
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