\usepackage{subfigure}
\usepackage{icomma}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{arrows,shapes}
+
% Fuer mathtoolsset
\usepackage{mathtools}
\begin{document}
+\tikzstyle{vertex} = [circle,draw,thick,fill=black,minimum size=5pt,inner sep=0pt]
+\tikzstyle{comp} = [draw,thick,-]
+\tikzstyle{compup} = [draw,thick,->]
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+\tikzstyle{diredge} = [draw,thick,->]
+\tikzstyle{prob} = [font=\tiny]
+
\maketitle
\begin{abstract}
-Dies ist der Abstract.
+Sortiernetzwerke werden eingeführt und einige bekannte Konstruktionen werden
+vorgestellt (Off-Even-Transposition, Bitonic-Merge, Odd-Even-Merge, Pairwise).
+Transformationsmöglichkeiten für Sortiernetzwerke werden besprochen.
+Evolutionäre Algorithmen werden beschrieben und ein evolutionärer
+Algorithmus für die Optimierung von Sortiernetzwerken wird angegeben.
+Die mindestens von diesem Algorithmus erreichte Güte wird angegeben und die
+Transformation zu einer Markov-Kette wird gezeigt. {\em Natürlich: So fern ich
+das hinbekomme bzw. Recht behalte.}
\end{abstract}
\newpage
\section{Motivation und Einleitung}
-\subsection{Motivation}
+\subsection{Motivation}\label{sect:motivation}
+
+\begin{itemize}
+\item Sortiernetzwerke sind toll, weil $\ldots$
+\item Sortiernetzwerke sind einfach erklärt, aber trotzdem kompliziert.
+\item Bisher noch kein evolutionärer Algorithmus zur automatischen
+ Optimierung von Sortiernetzwerken bekannt. \textit{(Glaube ich zumindest.)}
+\end{itemize}
+
+\subsection{Einleitung}\label{sect:einleitung}
+
+\subsubsection{Sortiernetzwerke}\label{sect:einleitung_sortiernetzwerke}
+
+{\em Komparatoren} sind die Bausteine, die {\em Sortiernetzwerken} zugrunde
+liegen. Sie haben zwei Eingänge über die sie zwei Zahlen erhalten können.
+Ausserdem besitzt ein {\em Komparator} zwei Ausgänge, die im Gegensatz zu den
+Eingängen unterscheidbar sind: Die grö"sere der beiden Zahlen wird immer auf
+dem einen, die kleinere der beiden Zahlen immer auf dem anderen Ausgang
+ausgegeben.
+
+Wenn man nun mehrere {\em Komparatoren} miteinander kombiniert, also die
+Ausgänge von {\em Komparatoren} mit dem Eingängen anderer {\em Komparatoren}
+verbindet, erhält man ein {\em Komparatornetzwerk}.
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/einfaches_komparatornetzwerk.tex}
+\end{center}
+\caption{Einfaches Komparatornetzwerk mit vier Ein- bzw. Ausgängen, bestehend
+aus 5~Komparatoren.}
+\label{fig:einfaches_komparatornetzwerk}
+\end{figure}
+
+Abbildung~\ref{fig:einfaches_komparatornetzwerk} zeigt ein einfaches
+Komparatornetzwerk aus fünf Komparatoren in der üblichen Darstellungsweise:
+Die horizontalen Linien stellen Leitungen von den Eingängen auf der linken
+Seite zu den Ausgängen auf er rechten Seite dar. Die vertikalen Pfeile
+symbolisieren die Komparatoren, die die Werte "`auf den Leitungen"'
+vergleichen und ggf. vertauschen. Nach einem Komparator befindet sich die
+kleinere Zahl immer auf der Leitung, auf die der Pfeil zeigt, die größere Zahl
+befindet sich auf der Leitung auf der der Pfeil seinen Ursprung hat.
+
+Komparatornetzwerke, die für jede beliebige Eingabepermutation eine
+Ausgabe erzeugen, die der Sortierung der Eingabe entspricht, heißen
+{\em Sortiernetzwerke}. Das in
+Abbildung~\ref{fig:einfaches_komparatornetzwerk} gezeigte Komparatornetzwerk
+ist kein Sotiernetzwerk: Die Eingabefolge ${(1, 2, 3, 4)}$ würde zur Ausgabe
+${(2, 1, 3, 4)}$ führen -- die bestehenden Sortierung wird also sogar
+zerstört.
+
+Zu beweisen, dass ein gegebenes Komparatornetzwerk die Sortiereigenschaft
+{\em nicht} hat, ist mit einem gegebenen Gegenbeispiel also einfach möglich.
+Dieses Gegenbeispiel zu finden ist allerdings aufwendig.
+
+\todo{Wie findet man die Gegenbeispiele? Die {\em Entscheidung}, ob ein
+Netzwerk sortiert, ist doch NP-vollständig, also müsste doch das Finden eines
+Gegenbeispiels im Allgemeinen auch exponentialle Laufzeit haben..?}
+\todo{Wenn die {\em Entscheidung}, ob ein Netzwerk sortiert, NP-vollständig
+ist, müsse man dann nicht einen Zeugen für die Sortiereigenschaft angeben
+können?}
+
+\todo{$0-1$-Prinzip}
+
+Sortiernetzwerke:
+\begin{itemize}
+\item Ein Komparator-Netzwerk ist $\ldots$
+\item Ein Komparator-Netzwerk ist ein Sortiernetzwerk, wenn $\ldots$
+\item Die Frage nach der Sortiereigenschaft ist NP-vollständig.
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{Evolutionäre Algorithmen}
+
+Viele {\em kombinatorische Optimierungsprobleme} sind schwer zu lösen -- die
+entsprechenden Entscheidungsprobleme liegen oft in der Komplexitätsklasse
+$NP$, sind also mit bekannten Verfahren nicht effizient exakt lösbar. Sollte
+sich herausstellen, dass diese Probleme nicht in der Komplexitätsklasse $P$
+liegen, wäre eine Konsequenz, dass es effiziente exakte Algorithmen für diese
+Probleme nicht geben kann. Falls sich hingegen herausstellt, dass diese
+Probleme in der Komplexitätsklasse~$P$ liegen, wird es mit großer
+Wahrscheinlichkeit noch einige Zeit dauern bis auch Algorithmen mit
+praktikablen Zeitkonstanten gefunden werden.
+
+Aus diesem Grund besteht die Notwendigkeit einen Kompromiss einzugehen: Statt
+die bzw. eine der {\em optimalen} Lösungen als einzige Ausgabe des Algorithmus
+zuzulassen, wird eine "`möglichst gute"' Lösung ausgegeben. Viele dieser
+Optimierungsalgorithmen orientieren sich an Vorgängen in der Natur,
+beispielsweise immitieren die "`Ameisenalgorithmen"' das Verhalten von Ameisen
+auf der Futtersuche um kurze Rundreisen auf Graphen zu berechnen.
+
+Bei {\em Evolutionären Algorithmen} stand die Evolution pate. Die Grundidee
+ist es, bestehende Lösungen zu neuen, unter Umständen besseren Lösungen zu
+kombinieren. Dabei bedient man sich der in der Evolutionstheorie etablierten
+Nomenklatur, beispielsweise werden konkrete Lösungen für ein Problem häufig
+als {\em Individuum} bezeichnet.
+
+Die Vorgehensweise lässt sich abstrakt wie folgt beschreiben. Aus einer
+bestehenden Lösungsmenge, der {\em Population} werden zufällig Lösungen
+ausgesucht ({\em Selektion}) und zu einer neuen Lösung kombiniert ({\em
+Rekombination}). Unter Umständen wird die neue Lösung noch zufällig
+verändert ({\em Mutation}), bevor sie in die bestehende Lösungsmenge
+integriert wird. Die Wahrscheinlichkeiten, beispielsweise bei der {\em
+Selektion}, sind dabei nicht zwangsläufig gleichverteilt -- üblicherweise
+werden bessere Lösungen bevorzugt. Zur Bewertung die die sogenannte {\em
+Gütefunktion}.
+
+Nicht alle Probleme eignen sich für diese Strategie: Zum einen muss es möglich
+sein, eine initiale Population zur Verfügung zu stellen, da diese als Basis
+aller weiteren Operationen dient. Das ist häufig keine große Einschränkung, da
+es oft einfach ist {\em irgendeine} Lösung anzugeben. Zum anderen muss eine
+Methode für die Rekombination existieren. Das insbesondere dann problematisch
+wenn {\em Nebenbedingungen} eingehalten werden müssen.
+
+\begin{itemize}
+\item Unter einem "`Evolutionären Algorithmus"' versteht man $\ldots$
+\item Da die Sortiereigenschaft zu überprüfen NP-schwer ist, ist die
+Mutation \textit{(vermutlich)} nicht (effizient) möglich.
+\end{itemize}
+
+\section{Bekannte konstruktive Sortiernetzwerke}
+
+Übersicht über bekannte konstruktive Sortiernetzwerke.
+
+\subsection{Odd-Even-Transpositionsort}
+\label{sect:odd_even_transpositionsort}
+
+Das Sortiernetzwerk {\em Odd-Even-Transpositionsort} (OET) ist eines der
+einfachsten Sortiernetzwerke. Es besteht aus $n$~{\em Schichten}, die jede
+"`Leitung"' abwechselnd mit den benachbarten Leitungen verbindet.
+Abbildung~\ref{fig:odd_even_transposition_08} zeigt das OET-Netzwerk für
+${n = 8}$.
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/oe-transposition-8.tex}
+\end{center}
+\caption{Das {\em Odd-Even-Transpositionsort} Netzwerk für acht Eingänge.}
+\label{fig:odd_even_transposition_08}
+\end{figure}
+
+\subsection{Batcher's Mergesort}
+
+Ein Netzwerk von K.~E.~Batcher. Siehe:
+K.E. Batcher: Sorting Networks and their Applications. Proc. AFIPS Spring
+Joint Comput. Conf., Vol. 32, 307-314 (1968)
+
+\subsubsection{Der bitone Mischer}
+
+Das Netzwerk basiert auf dem {\em bitonen Mischer}, einem Komparator-Netzwerk,
+das eine beliebige bitone Folge in eine sortierte Listen umordnen kann. Eine
+{\em bitone Folge} ist eine monoton steigende Folge gefolgt von einer monoton
+fallenden Folge, oder ein zyklischer Shift davon.
+Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton} zeigt die vier prinipiellen Möglichkeiten
+die durch zyklische Shifts entstehen können. Die wichtigsten Varianten für
+Batcher's Mergesort-Netzwerk zeigen die Abbildungen~\ref{fig:beispiel-biton-0}
+und~\ref{fig:beispiel-biton-1}. Sie erhält man, wenn man eine aufsteigend und
+eine absteigend sortierte Liste aneinanderhängt. Bei den
+anderen beiden Formen ist wichtig zu beachten, dass das letzte Element nicht
+größer (Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton-2}) bzw. kleiner
+(Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton-3}) als das erste Element der Folge sein
+darf.
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \subfigure[aufsteigend, absteigend]{\input{images/beispiel-biton-0.tex}\label{fig:beispiel-biton-0}}
+ \subfigure[absteigend, aufsteigend]{\input{images/beispiel-biton-1.tex}\label{fig:beispiel-biton-1}}
+ \subfigure[aufsteigend, absteigend, aufsteigend]{\input{images/beispiel-biton-2.tex}\label{fig:beispiel-biton-2}}
+ \subfigure[absteigend, aufsteigend, absteigend]{\input{images/beispiel-biton-3.tex}\label{fig:beispiel-biton-3}}
+ \caption{Beispiele bitoner Folgen.}
+ \label{fig:beispiel-biton}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \subfigure[normal]{\input{images/bitonic-merge.tex}\label{fig:bitonic-merge-normal}}
+ \subfigure[trichter]{\input{images/bitonic-merge-trichter.tex}\label{fig:bitonic-merge-tricheter}}
+ \caption{Schematischer Aufbau des bitonen Mischers: Jedes Element der
+ aufsteigenden Folge $u_0, u_1, \ldots$ wird mit dem entsprechenden Element
+ der absteigend sortierten Folge $v_0, v_1, \ldots$ verglichen. Die beiden
+ resultierenden Teilfolgen sind wiederum biton.
+ }
+ \label{fig:bitonic-merge-schema}
+\end{figure}
+
+Der Mischer funktioniert folgendermaßen: Gegeben sind zwei Folgen mit je
+${m = \frac{n}{2}}$~Elementen, ${u_0, u_1, \ldots, u_{m-1}}$ und
+${v_0, v_1, \ldots, v_{m-1}}$. Die Folge der $u_i$ sei aufsteigend sortiert,
+die Folge der $v_i$ sei absteigend sortiert:
+\begin{eqnarray}
+ u_0 \leqq u_1 \leqq &\ldots& \leqq u_{m-1} \\
+ v_0 \geqq v_1 \geqq &\ldots& \geqq v_{m-1}
+\end{eqnarray}
+Im ersten Schritt werden nun jeweils die Elemente an den gleichen relativen
+Positionen verglichen und ggf. vertauscht:
+\begin{equation}
+u_i \longleftrightarrow v_i, \quad 0 \leqq i < m
+\end{equation}
+Sei $j \in \{0 \ldots m\}$ der Index der ersten Elemente $u_j$ und $v_j$, die
+durch den gemeinsamen Komparator vertauscht werden. Unter der Annahme, dass
+Elemente nur vertauscht werden wenn, sie ungleich sind, muss ${u_j > v_j}$
+gelten. Mit $u_j \leqq u_{j+1}$ und $v_j \geqq v_{j+1}$ folgt daraus $u_{j+1}
+> v_{j+1}$. Es werden also alle Elemente $u_k$ und $v_k$ mit $k \geqq j$
+vertauscht. $j = m$ bezeichnet den Fall, in dem das größte Element der
+"`linken"' Folge, $u_{m-1}$, kleiner ist als das kleinste Element der
+"`rechten"' Folge, $v_{m-1}$. Daraus folgt, dass die entstehende Folge aus
+zwei bitonen Folgen besteht, die rekursiv zusammengeführt werden können.
+Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-normal} zeigt die Situationen vor und nach
+diesem Schritt des Mischers.
+
+Mit dem bitonen Mischer auch zwei aufsteigend sortierte Folgen sortiert
+werden. Dazu ist lediglich das "`Umbenennen"' der Leitungen notwendig.
+Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-tricheter} zeigt das Schema des bitonen
+Mischers für zwei aufsteigend sortierte Foglen. Durch das Umbenennen verändert
+sich das Muster der Komparatoren ein wenig: Statt an eine Treppe erinnert das
+Muster nun an einen Trichter.
+
+\subsubsection{Batcher's Bitonic-Mergesort-Netzwerk}
+
+Das Sortiernetzwerk $S(n)$ mit $n$~Eingängen besteht aus zwei Instanzen von
+$S(\frac{n}{2})$, dem Netzwerk mit $\frac{n}{2}$~Eingängen, und dem bitonen
+Mischer $M(n)$. Die Rekursion bricht bei ${n = 1}$~ab -- eine einelementige
+Liste ist immer sortiert.
+Das konkrete Netzwerk~$S(8)$ ist in Abbildung~\ref{fig:batcher_08} zu sehen.
+Eingezeichnet sind ebenfalls die beiden Instanzen des Netzwerks~$S(4)$ (rot)
+sowie der bitone Mischer~$M(8)$ (blau).
+
+%\begin{figure}
+%\begin{center}
+%\includegraphics[viewport=115 491 372 782,width=7.5cm]{images/sn-rekursiver-aufbau.pdf}
+%\end{center}
+%\caption{Rekursiver Aufbau von $S(n)$: Es besteht aus zwei Instanzen von
+%$S(n/2)$ und dem Mischer $M(n)$.}
+%\label{fig:bms_rekursiver_aufbau}
+%\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/batcher-8.tex}
+\end{center}
+\caption{$S(8)$, as {\em Batcher-Mergesort} Netzwerk für acht Eingänge.
+Markiert sind die beiden Instanzen von $S(4)$ (rot) und der bitone Mischer
+$M(8)$ (blau).}
+\label{fig:batcher_08}
+\end{figure}
+
+\subsection{Odd-Even-Mergesort}
+
+Obwohl der Name ähnlich klingt, haben {\em Odd-Even-Mergesort} (OEM) und
+Odd-Even-Transporisionsort (OET, siehe
+Abschnitt~\ref{sect:odd_even_transpositionsort}) wenig gemein. Auch dieses
+Netzwerk ist von K.~Batcher gefunden worden und wird rekursiv durch einen
+Mischer definiert.
+
+Beispiel: Siehe Abbildung~\ref{fig:odd_even_mergesort_08}.
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/oe-mergesort-8.tex}
+\end{center}
+\caption{Das {\em Odd-Even-Mergesort} Netzwerk für acht Eingänge.}
+\label{fig:odd_even_mergesort_08}
+\end{figure}
+
+\begin{itemize}
+\item Odd-Even-Transpositionsort
+\item Bitonic-Mergesort
+\item Odd-Even-Mergesort
+\item Pairwise sorting-network
+\end{itemize}
+
+\section{Transformation von Sortiernetzwerken}
+
+\begin{itemize}
+\item Komprimieren (Alle Komparatoren so früh wie möglich anwenden).
+\item Normalisieren (Transformation zu Standard-Sortiernetzwerken).
+\end{itemize}
+
+\subsection{Zwei Netzwerke kombinieren}
+
+\begin{itemize}
+\item Mit dem Bitonic-Merge
+\item Mit dem Odd-Even-Merge
+\item Nach dem Pairwise sorting-network Schema.
+\end{itemize}
+
+\subsection{Leitungen entfernen}
+
+\begin{itemize}
+\item Min-Richtung
+\item Max-Richtung
+\end{itemize}
+
+\section{Der evolutionäre Ansatz}
+
+\begin{itemize}
+\item Güte von Sortiernetzwerken (Anzahl der Komparatoren, Anzahl der
+Schichten, kobiniert)
+\item Rekombination: Merge Anhängen und Leitungen entfernen.
+\end{itemize}
+
+Ein Beispielnetzwerk, das von dem Algorithmus gefunden wird, zeigt
+Abbildung~\ref{fig:evolutionary_08}.
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/evolutionary-08.tex}
+\end{center}
+\caption{Ein mit dem evolutionären Algorithmus erzeugtes Sortiernetzwerk mit
+acht Eingängen. Es besteht aus 19~Komparatoren in 6~Schichten.}
+\label{fig:evolutionary_08}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\input{images/08-e2-1237993371.tex}
+\end{center}
+\caption{\tt images/08-e2-1237993371.tex}
+\label{fig:08-e2-1237993371}
+\end{figure}
+
+\subsection{Güte}
-Das habe ich gemacht, bzw. darum habe ich das gemacht.
+\begin{itemize}
+\item So gut kann man mindestens werden \em{($\rightarrow$ Bitonic-Mergesort,
+vermute ich)}.
+\item Wie gut die Netzwerke werden, hängt stark vom verwendeten \em{Mischer} ab.
+\end{itemize}
-\subsection{Einleitung}\label{sect:introduction}
+\subsection{Vom evolutionären Algorithmus zu einer Markov-Kette}
-Das sind Sortiernetzwerke und so.
+\begin{itemize}
+\item Kombiniere immer das aktuelle Netzwerk mit sich selbst.
+\item Kann die Mindestgüte immernoch erreicht werden? ({\em Ich denke schon.})
+\item Anzahl der erreichbaren Sortiernetzwerke.
+\end{itemize}
-\section{Die Algorithmen}
+\section{Empirische Beobachtungen}
-...
+\begin{itemize}
+\item So schnell konvergiert der Algorithmus.
+\item $\ldots$
+\end{itemize}
-\subsection{Ausblick}
+\section{Ausblick}
-So geht's jetzt weiter.
+Das würde mir noch einfallen$\ldots$
%\bibliography{references}
%\bibliographystyle{plain}
projects / diplomarbeit.git / commitdiff