Übersicht über bekannte konstruktive Sortiernetzwerke.
-\subsection{Odd-Even-Transpositionsort}
+\subsection{Das Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk}
\label{sect:odd_even_transpositionsort}
Das Sortiernetzwerk {\em Odd-Even-Transpositionsort} (OET) ist eines der
einfachsten Sortiernetzwerke. Es besteht aus $n$~{\em Schichten}, die jede
"`Leitung"' abwechselnd mit den benachbarten Leitungen verbindet.
-Abbildung~\ref{fig:odd_even_transposition_08} zeigt das OET-Netzwerk für
+Abbildung~\ref{fig:odd-even-transposition-08} zeigt das OET-Netzwerk für
${n = 8}$ Leitungen.
\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/oe-transposition-8.tex}
-\end{center}
-\caption{Das {\em Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk} für acht Eingänge.}
-\label{fig:odd_even_transposition_08}
+ \begin{center}
+ \input{images/oe-transposition-8.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk mit acht Eingängen.}
+ \label{fig:odd-even-transposition-08}
\end{figure}
-\subsection{Batcher's Mergesort}
+Dass das Odd-Even-Transporitionsort-Netzwerk tatsächlich jede beliegibe
+Eingabe sortiert ist nicht offensichtlich. Leicht zu sehen ist jedoch, dass
+sowohl das Minimum als auch das Maximum durch das im Netzwerk enthaltene
+Treppenmuster auf die unterste beziehungsweise oberste Leitung gelangt. Beim
+Odd-Even-Transporitionsort-Netzwerk mit drei Eingängen,
+$\operatorname{OET}(3)$, ist die Ausgabe folglich sortiert.
+
+Die Sortiereigenschaft größerer OET-Netzwerke lässt sich rekursiv beweisen,
+indem man $\operatorname{OET}(n)$ auf $\operatorname{OET}(n-1)$ durch
+Herausschneiden einer Leitung reduziert. In
+Abschnitt~\ref{sect:leitungen_entfernen} wird das Vorgehen im Detail
+beschrieben, Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut} zeigt das
+Herausschneiden einer Leitung aus $\operatorname{OET}(8)$.
+
+Das Odd-Even-Transporitionsort-Netzwerk ist weder in Bezug auf die Anzahl der
+Komparatoren noch in Bezug auf die Anzahl der Schichten, in denen sich die
+Komparatoren anordnen lassen, effizient. Es benötigt
+${\frac12 n (n-1)} = \mathcal{O}(n^2)$~Komparatoren, die in $n$~Schichten
+angeordnet sind. Andere Sortiernetzwerke benötigen deutlich weniger
+Komparatoren, beispielsweise $\mathcal{O}(n (\log n)^2)$, die in weniger
+Schichten, zum Beispiel $\mathcal{O}(\log n)$, angeordnet sind.
+
+Das Interessante am OET-Netzwerk ist seine einfache Konstruktion. Einige der
+folgenden Algorithmen benötigen ein (einfaches) Sortiernetzwerk als
+Starteingabe, auf dessen Basis sie versuchen optimierte Sortiernetzwerke zu
+finden. Häufig dient $\operatorname{OET}(n)$ als Eingabe für diese
+Algorithmen.
+
+\subsection{Das bitone Mergesort-Netzwerk}
+
+Das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk ($\operatorname{BS}(n)$) ist ein
+Sortiernetzwerk, das 1968 von \emph{K.~E.~Batcher} veröffentlicht wurde. Es
+ist deutlich effizienter als das Odd-Even-Transporitionsort-Netzwerk -- sowohl
+in Bezug auf die Anzahl der Komparatoren als auch bezüglich der benötigten
+Zeit, also der Anzahl der Schichten.
+
+Das Sortiernetzwerk basiert auf einem Komparatornetzwerk, welches zwei
+sortierte Listen zusammenfügen (englisch: \textit{to~merge}) kann. Dieser
+\emph{„bitoner Mischer“} (englisch: \textit{bitonic merger}) genannte Baustein
+verleiht dem Sortiernetzwerk seinen Namen.
+
+Da das Sortiernetzwerk rekursiv definiert ist, betrachten wir hier nur die
+Instanzen des Netzwerks, deren Leitungszahl eine Zweierpotenz ist,
+$\operatorname{BS}(n = 2^t)$.
Ein Netzwerk von K.~E.~Batcher. Siehe:
K.E. Batcher: Sorting Networks and their Applications. Proc. AFIPS Spring
\subsubsection{Der bitone Mischer}\label{sect:der_bitone_mischer}
-Das Netzwerk basiert auf dem {\em bitonen Mischer}, einem Komparator-Netzwerk,
-das eine beliebige bitone Folge in eine sortierte Listen umordnen kann. Eine
-{\em bitone Folge} ist eine monoton steigende Folge gefolgt von einer monoton
-fallenden Folge, oder ein zyklischer Shift davon.
-Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton} zeigt die vier prinipiellen Möglichkeiten
-die durch zyklische Shifts entstehen können. Die wichtigsten Varianten für
-Batcher's Mergesort-Netzwerk zeigen die Abbildungen~\ref{fig:beispiel-biton-0}
+Das \emph{bitone Mergesort-Netzwerk} basiert auf dem sogenannten \emph{bitonen
+Mischer} $\operatorname{BM}(n)$, einem Kom\-parator-Netzwerk, das eine beliebige
+\emph{bitone Folge} in eine sortierte Listen umordnen kann. Eine \emph{bitone
+Folge} ist eine monoton steigende Folge gefolgt von einer monoton absteigenden
+Folge, oder ein zyklischer Shift davon. Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton}
+zeigt die vier prinzipiellen Möglichkeiten die durch zyklische Shifts
+entstehen können. Die wichtigsten Varianten für das \emph{bitone
+Mergesort-Netzwerk} zeigen die Abbildungen~\ref{fig:beispiel-biton-0}
und~\ref{fig:beispiel-biton-1}. Sie erhält man, wenn man eine aufsteigend und
-eine absteigend sortierte Liste aneinanderhängt. Bei den
-anderen beiden Formen ist wichtig zu beachten, dass das letzte Element nicht
-größer (Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton-2}) bzw. kleiner
+eine absteigend sortierte Liste aneinanderhängt. Bei den anderen beiden Formen
+ist wichtig zu beachten, dass das letzte Element nicht größer
+(Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton-2}) bzw. kleiner
(Abbildung~\ref{fig:beispiel-biton-3}) als das erste Element der Folge sein
darf.
> v_{j+1}$. Es werden also alle Elemente $u_k$ und $v_k$ mit $k \geqq j$
vertauscht. $j = m$ bezeichnet den Fall, in dem das größte Element der
"`linken"' Folge, $u_{m-1}$, kleiner ist als das kleinste Element der
-"`rechten"' Folge, $v_{m-1}$. Daraus folgt, dass die entstehende Folge aus
-zwei bitonen Folgen besteht, die rekursiv zusammengeführt werden können.
-Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-normal} zeigt die Situationen vor und nach
-diesem Schritt des Mischers.
+"`rechten"' Folge, $v_{m-1}$. Daraus folgt, dass das Resultat in zwei bitone
+Folgen aufteilen lässt: Eine aufsteigende~/ absteigende Folge und eine
+absteigende~/ aufsteigende Folge. Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-normal}
+zeigt die Situationen vor und nach diesem Schritt des Mischers.
+
+Um die Folge vollständig zu sortieren, müssen anschließend die beiden
+resultierenden bitonen Folgen sortiert werden. Die geschieht ebenfalls
+mithilfe des bitonen Mischers, mit zwei Instanzen von
+$\operatorname{BM}(\frac{n}{2})$. Diese rekursive Definition endet mit dem
+bitonen Mischer mit zwei Leitungen, $\operatorname{BM}(2)$, der als
+Komparator-Netzwerk mit einem Komparator zwischen den beiden Leitungen
+definiert ist.
+
+Der bitonen Mischer kann auch zwei aufsteigende Folgen sortieren. Dazu ist
+lediglich eine etwas modifizierte Vergleichs-Kaskade im ersten Schritt
+notwendig. Die folgenden, kleineren Mischer erhalten als Eingabe wieder eine
+„echte“ bitone Folge. Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-tricheter} zeigt das
+Schema des bitonen Mischers für zwei aufsteigend sortierte Foglen. Durch das
+Umdrehen einer Folge verändert sich das Muster der Komparatoren ein wenig:
+Statt an eine Treppe erinnert das Muster nun an einen Trichter.
+
+Da sich die Anzahl der Leitungen in jedem Rekursionsschritt halbiert, endet
+die Rekursion nach $\log(n)$~Schritten. In jedem Rekursionsschritt werden
+$\frac{n}{2}$~Komparatoren eingefügt, so dass der gesamte Mischer aus
+$\frac{1}{2} n \log(n) = \mathcal{O}\left(n \log(n)\right)$~Komparatoren
+besteht, die in $\log(n)$~Schichten angeordnet werden können.
+
+\subsubsection{Das bitone Mergesort-Netzwerk}
+
+Ebenso wie der bitone Mischer $\operatorname{BM}(n)$ ist auch das \emph{bitone
+Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{BS}(n)$ rekursiv definiert. Es setzt sich
+zusammen aus zwei Instanzen des bitonen Mergesort-Netzwerks halber Größe,
+$\operatorname{BS}(\frac{n}{2})$, für je die Hälfte der Eingänge, sowie dem
+bitonen Mischer für $n$~Leitungen, $\operatorname{BM}(n)$. Das Rekursionsende
+ist das bitone Mergesort-Netzwerk mit nur einer Leitung,
+$\operatorname{BS}(1)$, welches als leeres Komparatornetzwerk definiert ist.
+Entsprechend sind die Komparatornetzwerke $\operatorname{BM}(2)$ und
+$\operatorname{BS}(2)$ identisch.
+
+Bei der Konstruktion kommt die trichterförmige Anordnung der Komparatoren
+(Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-tricheter}) gelegen, weil so die beiden
+rekursiven Sortiernetzwerke in die gleiche Richtung sortieren können und so
+alle Komparatoren in die gleiche Richtung zeigen.
-Mit dem bitonen Mischer auch zwei aufsteigend sortierte Folgen sortiert
-werden. Dazu ist lediglich das "`Umbenennen"' der Leitungen notwendig.
-Abbildung~\ref{fig:bitonic-merge-tricheter} zeigt das Schema des bitonen
-Mischers für zwei aufsteigend sortierte Foglen. Durch das Umbenennen verändert
-sich das Muster der Komparatoren ein wenig: Statt an eine Treppe erinnert das
-Muster nun an einen Trichter.
-
-\subsubsection{Batcher's Bitonic-Mergesort-Netzwerk}
-
-Das Sortiernetzwerk $S(n)$ mit $n$~Eingängen besteht aus zwei Instanzen von
-$S(\frac{n}{2})$, dem Netzwerk mit $\frac{n}{2}$~Eingängen und dem bitonen
-Mischer~$M(n)$. Die Rekursion bricht bei ${n = 1}$~ab --~eine einelementige
-Liste ist immer sortiert.
-Das konkrete Netzwerk~$S(8)$ ist in Abbildung~\ref{fig:batcher_08} zu sehen.
-Eingezeichnet sind ebenfalls die beiden Instanzen des Netzwerks~$S(4)$ (rot)
-sowie der bitone Mischer~$M(8)$ (blau).
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/batcher-8.tex}
+ \end{center}
+ \caption{$S(8)$, Batcher's {\em bitone Mergesort-Netzwerk} für acht
+ Eingänge. Markiert sind die beiden Instanzen von $S(4)$ (rot), die beiden
+ bitonen Mischer~$M(4)$ (blau) und die Komparatoren, die im letzten rekursiven
+ Schritt hinzugefügt wurden (grün).}
+ \label{fig:batcher_08}
+\end{figure}
+Das konkrete Netzwerk~$\operatorname{BS}(8)$ ist in
+Abbildung~\ref{fig:batcher_08} zu sehen. Eingezeichnet sind ebenfalls die
+beiden Instanzen des Netzwerks~$\operatorname{BS}(4)$ (rot) sowie der bitone
+Mischer~$\operatorname{BM}(8)$ (blau). Die trichterförmige Komparator-Kaskade,
+die die bitone Eingabefolge in zwei bitone Ausgabefolgen transformiert, ist
+grün hinterlegt.
+Das \emph{bitone Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{BS}(8)$ besteht aus
+$\frac{1}{4} n \log(n) \log(n+1) = \mathcal{O}\left(n (log (n))^2\right)$
+Komparatoren, die in $\frac{1}{2} \log(n) \log(n+1) = \mathcal{O}(\log(n))$
+Schichten angeordnet sind.
%\begin{figure}
%\begin{center}
%\label{fig:bms_rekursiver_aufbau}
%\end{figure}
-\begin{figure}
- \begin{center}
- \input{images/batcher-8.tex}
- \end{center}
- \caption{$S(8)$, Batcher's {\em bitone Mergesort-Netzwerk} für acht
- Eingänge. Markiert sind die beiden Instanzen von $S(4)$ (rot), die beiden
- bitonen Mischer~$M(4)$ (blau) und die Komparatoren, die im letzten rekursiven
- Schritt hinzugefügt wurden (grün).}
- \label{fig:batcher_08}
-\end{figure}
-
-\subsection{Odd-Even-Mergesort}
+\subsection{Das Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
-Obwohl der Name ähnlich klingt, haben \emph{Odd-Even-Mergesort} (OEM) und
-\emph{Odd-Even-Transposition\-sort} (OET, siehe
-Abschnitt~\ref{sect:odd_even_transpositionsort}) wenig gemein. Auch dieses
-Netzwerk ist von K.~Batcher gefunden worden und wird rekursiv durch einen
-"`Mischer"' definiert.
+Obwohl der Name ähnlich klingt, haben das \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
+(OES) und das \emph{Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk} (siehe
+Abschnitt~\ref{sect:odd_even_transpositionsort}) wenig gemein. Vielmehr ist
+OES dem \emph{bitonen Mergesort-Netzwerk}, das im vorherigen Abschnitt
+vorgestellt wurde, ähnlich: Auch dieses Sortiernetzwerk ist von
+\textit{K.~Batcher} gefunden worden und wird rekursiv durch einen Mischer
+definiert.
\subsubsection{Der Odd-Even-Mischer}\label{sect:der_odd_even_mischer}
-Der {\em Odd-Even-Mischer} ist ein Komperatornetzwerk, dass zwei sortierte
-Folgen zu einer sortierten Ausgabe zusammenfügen kann. Dabei kommt es mit
-weniger Vergleichen aus als der {\em bitone Mischer}, der im
-Abschnitt~\ref{sect:der_bitone_mischer} vorgestellt wurde, aus.
+Der \emph{Odd-Even-Mischer} $\operatorname{OEM}(n,m)$ ist ein
+Komperatornetzwerk, dass zwei sortierte Folgen mit $n$ beziehungsweise $m$
+Elementen zu einer sortierten Ausgabefolge mit $N = n+m$~Elementen
+zusammenfügen kann. Dabei kommt es mit weniger Vergleichen aus als der
+\emph{bitone Mischer}, der im Abschnitt~\ref{sect:der_bitone_mischer}
+vorgestellt wurde. Allerdings benötigt der \emph{Odd-Even-Mischer} unter
+Umständen mehr Schichten als der \emph{bitone Mischer}.\footnote{Knuth,
+“Bitonic Sorting”, Seite~230}
-Der {\em Odd-Even-Mischer} selbst ist ebenfalls rekursiv aufgebaut: Die
+Der \emph{Odd-Even-Mischer} selbst ist ebenfalls rekursiv aufgebaut: Die
Eingabe für den Mischer mit $N = n + m$ Leitungen besteht aus den beiden
sortierten Folgen $U = \left(u_0, u_1, \ldots, u_{n-1}\right)$ und
$V = \left(v_0, v_1, \ldots, v_{m-1}\right)$. Die gesamte Eingabe sei
\label{fig:oe-merge}
\end{figure}
-Diese werden jetzt in insgesamt vier sortierte Folgen aufgeteilt, je eine
-Liste der geraden Indizes und je eine Liste der ungeraden Indizes.
+Diese werden in insgesamt vier sortierte Folgen aufgeteilt, je eine Liste der
+geraden Indizes und je eine Liste der ungeraden Indizes.
\begin{eqnarray}
U_{\textrm{gerade}} &=& \left(u_0, u_2, u_4, \ldots\right) \\
U_{\textrm{ungerade}} &=& \left(u_1, u_3, u_5, \ldots\right) \\
\end{itemize}
Dass die resultierende Folge sortiert ist, lässt sich mit dem
-{\em 0-1-Prinzip} leicht zeigen:
+{\em 0-1-Prinzip} zeigen:
Da $U$ und $V$ sortiert sind, ist die Anzahl der Nullen in den geraden
Teilfolgen, $U_{\textrm{gerade}}$ bzw. $V_{\textrm{gerade}}$, größer oder
gleich der Anzahl der Nullen in den ungeraden Teilfolgen
Daraus folgt, dass $W_{\textrm{gerade}}$ $0$, $1$ oder $2$ Nullen mehr enthält
als $W_{\textrm{ungerade}}$. In den ersten beiden Fällen ist die "`verzahnte"'
Ausgabe der beiden kleineren Mischer bereits sortiert. Nur im letzten Fall,
-wenn $W_{\textrm{gerade}}$ $2$~Nullen mehr enthählt als
-$W_{\textrm{ungerade}}$, muss eine Vertauschung stattfinden, um die Ausgabe zu
-sortieren. Die jeweiligen Situationen sind in
-Abbildung~\ref{fig:oe-post-recursive} dargestellt.
+wenn $W_{\textrm{gerade}}$ zwei Nullen mehr enthählt als
+$W_{\textrm{ungerade}}$, muss genau eine Vertauschung stattfinden, um die
+Ausgabe zu sortieren. Diese wird von den Komparatoren, die benachbarte
+Leitungen miteinander vergleichen, ausgeführt. Die jeweiligen Situationen sind
+in Abbildung~\ref{fig:oe-post-recursive} dargestellt.
\begin{figure}
\centering
\label{fig:oe-post-recursive}
\end{figure}
+Da die Teilfolgen $U$ und $V$ in jedem Rekursionsschritt etwa halbiert werden,
+bricht die Rekursion nach $\mathcal{O}\left(\log (n) + \log (m)\right)$
+Schritten ab. Die exakte Anzahl der benötigten Rekursionsschritte (und damit
+Schichten im Mischer-Netzwerk), hängt von der Längeren der beiden
+Eingabefolgen ab und beträgt $1 + \lceil \log\left(\max(n, m)\right) \rceil$.
+
+Die Anzahl der Komparatoren $K(n,m)$, die $\operatorname{OEM}(n,m)$ im
+allgemeinen Fall verwendet, ist Gemäß der rekursiven Definition in
+Abhängigkeit der Länge der Eingabefolgen, $n$ und $m$:
+\begin{displaymath}
+ K(n,m) = \left\{ \begin{array}{ll}
+ nm, & \mathrm{falls} \quad nm \leqq 1 \\
+ K\left(\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil, \left\lceil \frac{m}{2} \right\rceil\right)
+ + K\left(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{m}{2} \right\rfloor\right)
+ + \left\lfloor \frac{1}{2} (m + n - 1) \right\rfloor & \mathrm{falls} \quad nm > 1
+ \end{array} \right.
+\end{displaymath}
+Leider ist es schwierig, diese allgemeine Formel in einer geschlossenen Form
+anzugeben. Aus der Anzahl der Rekursionsschritte ist jedoch leicht erkennbar,
+dass $K(n,m)$ in $\mathcal{O}(N \log (N))$ enthalten ist.
+
+Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = m = 2^{t-1}$, lässt sich die Anzahl
+der Komparatoren im Vergleich zum \emph{bitonen Mischer} angeben: Der erste
+Rekursionsschritt der OEM-Konstruktion fügt
+$\left\lfloor \frac{1}{2} (m + n - 1) \right\rfloor = \frac{N}{2} - 1$
+Komparatoren ein -- einen Komparator weniger als der \emph{bitone Mischer} in
+diesem Schritt. Das selbe gilt für die rekursiv verwendeten kleineren Mischer,
+$\operatorname{OEM}(\frac{n}{2}, \frac{n}{2})$ und so weiter bis
+einschließlich $\operatorname{OEM}(2, 2)$, von denen es $2, 4, \dots,
+\frac{N}{4} = 2^{\log(N)-2}$ Instanzen gibt. Insgesamt werden
+\begin{displaymath}
+ \sum_{i=0}^{\log(N)-2} 2^i = 2^{\log(N) - 1} - 1 = \frac{N}{2} - 1 = n - 1
+\end{displaymath}
+Komparatoren eingespart. Damit ergibt sich
+\begin{displaymath}
+ K\left(n = 2^{t-1}, n = 2^{t-1}\right) = \frac{1}{2} N \log(N) - \frac{N}{2} + 1
+\end{displaymath}
+für die Anzahl der Komparatoren, die von $\operatorname{OEM}(N = 2^t)$
+benötigt werden.
+
\subsubsection{Das Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
-Auch beim \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} --~wie beim \emph{bitonen
-Mergesort-Netzwerk}~-- entsteht das Sortiernetzwerk aus dem {\em
-Odd-Even-Mischer} durch rekursives Anwenden auf einen Teil der Eingabe
-(üblicherweise die Hälfte der Leitungen) und anschließendes zusammenfügen.
-Abbildung~\ref{fig:odd_even_mergesort_08} zeigt das Netzwerk für $8$~Eingänge.
+Das \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} $\operatorname{OES}(n)$ besteht, --~wie
+das \emph{bitonen Mergesort-Netzwerk}~-- rekursiv aus kleineren Varianten von
+sich selbst und einem abschließenden \emph{Odd-Even-Mischer}. Die
+effizientesten Sortiernetzwerke in Bezuf auf Komparator- und Schichtzahl
+entstehen, wenn die Anzahl der Leitungen jeweils halbiert wird. Somit besteht
+$\operatorname{OES}(n)$ aus
+$\operatorname{OES}\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil\right)$,
+$\operatorname{OES}\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)$
+und $\operatorname{OEM}\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil,
+\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)$. Die Rekursion endet mit
+$\operatorname{OES}(1)$ und $\operatorname{OES}(0)$, die als leere
+Komparatornetzwerke definiert sind.
\begin{figure}
-\begin{center}
-\input{images/oe-mergesort-8.tex}
-\end{center}
-\caption{Das {\em Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} für acht Eingänge. Markiert
-sind die Instanzen von $S(4)$ (rot), die beiden \emph{Odd-Even-Mischer}
-$\mathit{OEM}(4)$ für gerade und ungerade Leitungen (blau) und die im letzten
-Rekursionsschritt hinzugefügten Komparatoren zwischen benachbarten Leitungen
-(grün).}
-\label{fig:odd_even_mergesort_08}
+ \begin{center}
+ \input{images/oe-mergesort-8.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Das {\em Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} für acht Eingänge. Markiert
+ sind die Instanzen von $\operatorname{OES}(4)$ (rot), die beiden
+ \emph{Odd-Even-Mischer} $\operatorname{OEM}(4)$ für gerade und ungerade
+ Leitungen (blau) und die im ersten Rekursionsschritt hinzugefügten
+ Komparatoren zwischen benachbarten Leitungen (grün).}
+ \label{fig:odd-even-mergesort-08}
\end{figure}
-\begin{itemize}
-\item Odd-Even-Transpositionsort
-\item Bitonic-Mergesort
-\item Odd-Even-Mergesort
-\item Pairwise sorting-network
-\end{itemize}
+In Abbildung~\ref{fig:odd-even-mergesort-08} ist das konkrete Sortiernetzwerk
+$\operatorname{OES}(8)$ zu sehen. Rot markiert sind die beiden rekursiven
+Instanzen $\operatorname{OES}(4)$. Die blauen und der grüne Block stellen den
+\emph{Odd-Even-Mischer} für acht Leitungen dar: Die beiden blauen Blöcke sind
+die rekursiven Instanzen von $\operatorname{OEM}(4)$, der grüne Block markiert
+die Komparatoren, die in ersten Rekursionsschritt hinzugefügt werden.
+
+Im Allgemeinen ist die Anzahl der Komparatoren, die vom
+\emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk} verwendet wird, $k(n)$, direkt aus der
+Definition beziehungsweise der Konstruktionsanleitung abzulesen:
+\begin{displaymath}
+ k(n) = k\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil\right)
+ + k\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)
+ + K\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil, \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\right)
+\end{displaymath}
+Eine geschlossene Form dieser Formel ist schon alleine deshalb schwierig, weil
+sie für $K(n,m)$ schwierig anzugeben ist. Es ist allerdings bekannt, dass
+$k(n)$ in $\mathcal{O}\left(n \left(\log (n)\right)^2\right)$ enthalten ist.
+
+Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = 2^t$ eine Zweierpotenz ist, kann die
+Anzahl der Komparatoren wieder explizit angegeben werden. \textit{K.~Batcher}
+zeigt in seiner Arbeit\footnote{\todo{Referenz!}}, dass in diesem Fall
+\begin{displaymath}
+ k(n = 2^t) = \frac{1}{4} n \left(\log (n)\right)^2 - \frac{1}{4}n\log(n) + n - 1
+\end{displaymath}
+gilt.
+
+% gnuplot:
+% oem(n,m) = ((n*m) <= 1) ? (n*m) : oem(ceil(.5*n), ceil(.5*m)) + oem(floor(.5*n), floor(.5*m)) + floor(.5*(n+m-1.0))
+% oem1(n) = oem(ceil(.5*n),floor(.5*n))
+% oes(n) = (n <= 1.0) ? 0 : oes(ceil(0.5*n)) + oes(floor(0.5*n)) + oem1(n)
+
+%\begin{itemize}
+%\item Pairwise sorting-network
+%\end{itemize}
\section{Transformation von Sortiernetzwerken}
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