$\operatorname{OES}(n)$ in mindestens einem Merkmal übertrifft, konnte jedoch
nicht beobachtet werden.
-\todo{Ggf. Abschnitt „Shmoo-Äquivalenz“ kürzen und hier einbauen.}
-
%\begin{figure}
%\begin{center}
%\input{images/08-e2-1237993371.tex}
unregelmäßig. Bisher ist es nicht gelungen eine Konstruktionsanweisung für
gute Schnittmuster anzugeben.
-Entscheidend für das Ergebnis eines Schnittmusters scheint beim bitonen
-Mergesort-Netzwerk die Aufteilung der Minimum- und Maximumschnitte zu sein.
+Entscheidend für das Ergebnis eines Schnittmusters scheint beim \emph{bitonen
+Mergesort}-Netzwerk die Aufteilung der Minimum- und Maximumschnitte zu sein.
Von Hundert 16-Schnittmustern für $\operatorname{BS}(32)$, die in
Sortiernetzwerken mit 68~Komparatoren in 10~Schichten resultieren, hatten 73
ein Verhältnis von $5/11$, 13 hatten ein Verhältnis von $4/12$ und 14 hatten
leicht invertieren lassen, werden der Fall, dass es mehr Minimumschnitte, und
der Fall, dass es mehr Maximumschnitte gibt, nicht unterschieden.
+\begin{figure}
+ \centering
+ \subfigure[11-Sortiernetzwerk aus 37~Komparatoren in 9~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{22} erzeugt.]{\input{images/11-ec-from-bs22-fast.tex}\label{fig:11-ec-from-bs22-fast}}
+ \subfigure[12-Sortiernetzwerk aus 42~Komparatoren in 9~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{24} erzeugt.]{\input{images/12-ec-from-bs24-fast.tex}\label{fig:12-ec-from-bs24-fast}}
+ \caption{Startet man \textsc{SN-Evolution-Cut} mit \bs{22} und \bs{24}, kann
+ der Algorithmus schnelle Sortiernetzwerke ausgeben.}
+ \label{fig:11-12-ec-from-bs22-bs24}
+\end{figure}
+
+Verwendet man als Eingabe für \textsc{SN-Evolution-Cut} Instanzen des
+\emph{bitonen Mergesort}-Netzwerks, deren Leitungszahl keine Zweierpotenz ist,
+können Sortiernetzwerke zurückgegeben werden, die sowohl schneller als auch
+effizienter als das entsprechende \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk sind. Die
+folgende Tabelle listet einige interessante Fälle auf. Die Eingabe für
+\textsc{SN-Evolution-Cut} war jeweils das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk mit
+der doppelten Leitungszahl.
+Abbildung~\ref{fig:23-ec-from-bs46} zeigt beispielhaft ein
+23-Sortiernetzwerk, das aus \bs{46} generiert wurde.
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
+\hline
+Leitungen & Komparatoren & Schichten & Komparatoren & Schichten \\
+ & \textsc{SN-EC} & \textsc{SN-EC} & \bs{n} &
+ \bs{n} \\
+\hline
+11 & 37 & 9 & 39 & 10 \\
+12 & 42 & 9 & 46 & 10 \\
+19 & 93 & 13 & 98 & 14 \\
+20 & 102 & 13 & 106 & 14 \\
+% 20: # sn-cut 2:MAX 3:MIN 4:MIN 9:MIN 10:MIN 13:MIN 14:MIN 15:MIN 19:MIN 20:MAX 24:MAX 26:MIN 27:MAX 29:MIN 31:MAX 33:MIN 34:MAX 35:MIN 37:MIN 39:MAX
+21 & 109 & 14 & 114 & 15 \\
+22 & 116 & 14 & 123 & 15 \\
+23 & 124 & 14 & 133 & 15 \\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/23-ec-from-bs46-fast.tex}
+ \end{center}
+ \caption{23-Sortiernetzwerk mit 124~Komparatoren in 14~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \bs{46} mit dem
+ Schnittmuster $\operatorname{MIN}(2, 4, 9, 12, 20, 22, 28, 30, 32, 33, 37,
+ 38, 41)$, $\operatorname{MAX}(1, 5, 16, 19, 21, 24, 25, 35, 36, 43)$
+ erzeugt.}
+ \label{fig:23-ec-from-bs46}
+\end{figure}
+
Dass die Ergebnisse von \textsc{SN-Evolution-Cut} keine erkennbare Struktur
haben, ist jedoch kein Eigenschaft des Algorithmus, sondern hängt insbesondere
von der Eingabe ab. Wird \textsc{SN-Evolution-Cut} beispielsweise mit dem
$m$~Schnitten gestartet, so ist das beste Ergebnis immer das
$\operatorname{OET}(n-m)$-Netzwerk.
-\begin{figure}
- \begin{center}
- \input{images/16-ec-from-ps32.tex}
- \end{center}
- \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 63~Komparatoren in
- 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
- \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}
- $\operatorname{PS}(32)$ durch 16~Schnitte erzeugt.}
- \label{fig:16-ec-from-ps32}
-\end{figure}
-
\subsection{Versuche mit dem Pairwise-Sorting-Netzwerk}
Anders verhält sich das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}
$\operatorname{OES}(16)$. Eines dieser Sortiernetzwerke ist in
Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} dargestellt.
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-ec-from-ps32.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Sortiernetzwerk mit 16~Leitungen und 63~Komparatoren in
+ 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von dem Algorithmus
+ \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk}
+ $\operatorname{PS}(32)$ durch 16~Schnitte erzeugt.}
+ \label{fig:16-ec-from-ps32}
+\end{figure}
+
Obwohl das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} den \emph{Odd-Even}-Mischer nicht
einsetzt und auch nicht auf einem Mischer basiert, ist der
$\operatorname{OEM}(8,8)$ im Sortiernetzwerk in
\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk die wenigsten unterschiedlichen
16-Schnittmuster besitzt -- nur etwa $5,2$~Millionen. Entsprechend ist es
wenig verwunderlich, dass \textsc{SN-Evolution-Cut} gestartet mit
-$\operatorname{OES}(32)$ sehr schnell ein gutes 16-Schnittmuster findet.
-
-Eines der eher zufälligen Schnittmuster ist $\operatorname{MIN}(1, 6, 11, 14,
-17, 23, 26, 29)$, $\operatorname{MAX}(2, 7, 8,$ $13, 18, 21, 27, 31)$. Das
-Schnittmuster ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32-cut} veranschaulicht,
-das resultierende Netzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32} zu sehen.
+$\operatorname{OES}(32)$ sehr schnell\footnote{Auf dem Computer, auf dem diese
+Arbeit geschrieben wurde, dauerte es in den meisten Fällen weniger als eine
+Sekunde bis ein entsprechendes Schnittmuster gefunden wurde.} ein gutes
+16-Schnittmuster findet.
+
+Eines der 16-Schnittmuster für \oes{32}, die ein Sortiernetzwerk erzeugen, das
+bezüglich Effizienz und Geschwindigkeit identisch ist zu \oes{16}, ist
+$\operatorname{MIN}(1, 6, 11, 14, 17, 23, 26, 29)$, $\operatorname{MAX}(2, 7,
+8,$ $13, 18, 21, 27, 31)$. Das Schnittmuster ist in
+Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32-cut} veranschaulicht, das resultierende
+Netzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32} zu sehen.
\begin{figure}
\begin{center}
\label{fig:16-ec-from-oes32}
\end{figure}
+Bei diesem Schnittmuster fällt auf, dass es für jeweils vier Eingänge (0--3,
+4--7, \dots, 28--31) einen Minimum- und einen Maximumschnitt gibt. Aus dieser
+Beobachtung kann man das regelmäßige Schnittmuster
+\begin{displaymath}
+\textit{Eingang}_i = \left\{ \begin{array}{rl}
+ \infty & \quad \textrm{falls } i \bmod 4 = 0 \\
+ -\infty & \quad \textrm{falls } i \bmod 4 = 3 \\
+ ? & \quad \mathrm{sonst}
+ \end{array} \right.
+\end{displaymath}
+ableiten. Es entfernt die Hälfte der Leitungen, vorausgesetzt die Anzahl der
+Leitungen ist durch Vier teilbar. Das Schnittmuster erzeugt effiziente
+Netzwerke, wenn die Anzahl der Leitungen $n = 2^d$ eine Zweierpotenz ist. Ein
+32-Sortiernetzwerk, das mit diesem Schnittmuster aus \oes{64} erzeugt wurde,
+ist in Abbildung~\ref{fig:32-ec-from-oes64} zu sehen.
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/32-ec-from-oes64.tex}
+ \end{center}
+ \caption{32-Sortiernetzwerk mit 191~Komparatoren in 15~Schichten.
+ Das Netzwerk wurde mit einem regelmäßigen Schnittmuster aus dem
+ \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk \oes{64} erzeugt.}
+ \label{fig:32-ec-from-oes64}
+\end{figure}
+
+Wenn die Anzahl der Leitungen keine Zweierpotenz ist, erreichen die so
+erzeugten Sortiernetzwerke die Effizienz des
+\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks nicht. Wendet man das Schnittmuster
+beispielsweise auf \oes{24} an, so erhält man ein Sortiernetzwerk mit
+43~Komparatoren -- \oes{12} kommt mit 41~Komparatoren aus. Die Geschwindigkeit
+beider Sortiernetzwerke ist mit 10~Schichten identisch.
+
+Startet man hingegen den \textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus mit \oes{24}
+und dem Ziel, ein gutes 12-Schnittmuster zu finden, hängt die Ausgabe von der
+verwendeten Gütefunktion ab. Werden effiziente Netzwerke bevorzugt, findet der
+Algorithmus Schnittmuster wie $\operatorname{MIN}(6, 7, 8, 9, 16, 17, 20,
+22)$, $\operatorname{MAX}(2, 4, 12, 14)$, dessen Ergebnis in
+Abbildung~\ref{12-ec-from-oes24-efficient} zu sehen ist. Das resultierende
+Sortiernetzwerk besteht aus 41~Komparatoren, die in 10~Schichten angeordnet
+werden können. Damit ist das Netzwerk bezüglich Effizienz und Geschwindigkeit
+gleichauf mit \oes{12}. Werden hingegen schnelle Sortiernetzwerke bevorzugt,
+werden stattdessen Schnittmuster wie $\operatorname{MIN}(6, 7, 11, 12, 15,
+16)$, $\operatorname{MAX}(1, 3, 10, 17, 20, 23)$ ausgegeben. Das Ergebnis
+dieses Schnittmusters ist in Abbildung~\ref{fig:12-ec-from-oes24-fast} zu
+sehen. Das Sortiernetzwerk besteht aus 43~Komparatoren, die in 9~Schichten
+angeordnet sind. Das heißt, dass das resultierende Netzwerk zwar nicht so
+effizient wie \oes{12} ist, dafür aber schneller als \oes{12} und \bs{12}.
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \subfigure[Schnelles 12-Sortiernetzwerk aus 43~Komparatoren in 9~Schichten,
+ das von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk
+ generiert
+ wurde.]{\input{images/12-ec-from-oes24-fast.tex}\label{fig:12-ec-from-oes24-fast}}
+ \subfigure[Effizientes 12-Sortiernetzwerk aus 41~Komparatoren in
+ 10~Schichten, das von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus dem
+ \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk generiert
+ wurde.]{\input{images/12-ec-from-oes24-efficient.tex}\label{fig:12-ec-from-oes24-efficient}}
+ \caption{Startet man \textsc{SN-Evolution-Cut} mit \oes{24}, hängt das
+ Ergebnis von der Bewertungsfunktion ab.}
+ \label{fig:12-ec-from-oes24}
+\end{figure}
+
+Das \oes{24}-Sortiernetzwerk ist kein Einzelfall: \textsc{SN-Evolution-Cut}
+findet Sortiernetzwerke, die schneller sind als das entsprechende
+\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk, unter anderem für das
+\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk mit 22, 24, 38, 40, 42, 44 und 46
+Eingängen. In der folgenden Tabelle sind einige schnelle Netzwerke, die von
+\textsc{SN-Evolution-Cut} generiert werden können, charakterisiert. Die
+Eingabe für \textsc{SN-Evolution-Cut} war jeweils das
+\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk mit der doppelten Leitungszahl.
+Abbildung~\ref{fig:23-ec-from-oes46} zeigt beispielhaft ein
+23-Sortiernetzwerk, das aus \oes{46} generiert wurde.
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
+\hline
+Leitungen & Komparatoren & Schichten & Komparatoren & Schichten \\
+(Resultat) & \textsc{SN-EC} & \textsc{SN-EC} & \oes{n} & \oes{n} \\
+\hline
+11 & 38 & 9 & 37 & 10 \\
+12 & 43 & 9 & 41 & 10 \\
+19 & 93 & 13 & 91 & 14 \\
+20 & 101 & 13 & 97 & 14 \\
+21 & 108 & 14 & 107 & 15 \\
+22 & 116 & 14 & 114 & 15 \\
+23 & 125 & 14 & 122 & 15 \\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/23-ec-from-oes46-fast.tex}
+ \end{center}
+ \caption{23-Sortiernetzwerk mit 125~Komparatoren in 14~Schichten.
+ Das Netzwerk wurde von \textsc{SN-Evolution-Cut} aus \oes{46} mit dem
+ Schnittmuster $\operatorname{MIN}(6, 7, 9, 17, 19, 22, 29, 30, 32, 34, 38,
+ 44)$, $\operatorname{MAX}(4, 5, 11, 16, 18, 25, 31, 36, 39, 42, 45)$
+ erzeugt.}
+ \label{fig:23-ec-from-oes46}
+\end{figure}
+
\newpage
\section{Der \textsc{SN-Markov}-Algorithmus}
\label{sect:markov}
\begin{itemize}
\item Beste erreichte Netzwerke (gleich zu \emph{OE-Mergesort}).
\item Anzahl der erreichbaren Sortiernetzwerke.
- \item Anzahl der Komparatoren und Anzahl der Schichten der durchlaufenen
- Netzwerke. (Abbildung~\ref{fig:markov-comparators-16})
\item \textsc{SN-Count-Markov} (ggf)
\end{itemize}
\end{document}
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