\end{abstract}
\newpage
+\section*{Eidesstattliche Erklärung}
+
+Ich versichere, dass ich die vorliegende wissenschaftliche Arbeit
+selbstständig verfasst und keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel
+verwendet habe. Die Stellen der Arbeit, die anderen Werken dem Wortlaut oder
+dem Sinn nach entnommen sind, wurden unter Angabe der Quelle als Entlehnung
+deutlich gemacht. Das Gleiche gilt auch für beigegebene Skizzen und
+Darstellungen. Diese Arbeit hat in gleicher oder ähnlicher Form meines Wissene
+nach noch keiner Prüfungsbehörde vorgelegen.
+\\[3cm]
+München, den 20.~März 2011,\\
+\\[1cm]
+Florian Forster
+\newpage
+
\tableofcontents
\newpage
-- eine Zahl, die für aktuelle Prozessoren keine Herausforderung darstellt.
Für die Überprüfung eines Komparatornetzwerks mit 32~Leitungen sind jedoch
bereits etwa 4,3~Milliarden Tests notwendig, die einen Rechner durchaus
-mehrere Minuten beschäftigen. Das ist deshalb problematisch, weil die im
+mehrere Stunden beschäftigen. Das ist deshalb problematisch, weil die im
Folgenden vorgestellten \emph{Evolutionären Algorithmen} eine entsprechende
Überprüfung in jeder Iteration durchführen müssten. Wenn die Überprüfung eines
-Zwischenergebnisses fünf Minuten in Anspruch nimmt, sind für eine Million
-Iterationen fast zehn Jahre Rechenzeit notwendig. Selbst wenn die Berechnung
-auf 1000~Computern mit je 4~Prozessoren verteilt wird, werden über 20~Stunden
-für einen Lauf benötigt.
+Zwischenergebnisses drei Stunden in Anspruch nimmt, sind für eine Million
+Iterationen etwa 340~Jahre Rechenzeit notwendig. Selbst wenn die Berechnung
+auf 1000~Computern mit je 4~Prozessoren verteilt wird, wird etwa ein Monat für
+einen Lauf benötigt.
\subsubsection{Evolutionäre Algorithmen}
erforscht der Algorithmus den Lösungsraum in viele Richtungen. Dieses
\textit{Exploration} (Englisch für „Erforschung“) genannte Verhalten sorgt
zwar dafür, dass der Algorithmus langsamer auf ein Optimum zusteuert, dafür
-findet er aber in der Regel bessere Lösungen.
+findet er aber in der Regel bessere Lösungen. Die Rolle, die
+\textit{Exploitation} und \textit{Exploration} bei evolutionären
+Optimierungsalgorithmen spielen, wird von \textit{Eiben} und
+\textit{Schippers} in~\cite{ES1998} untersucht.
Die Parameter evolutionärer Algorithmen so einzustellen, dass sich ein guter
Mittelweg zwischen den beiden Extremen einstellt, ist eine Aufgabe, die sich
nur experimentell lösen lässt. Die genauen Parameter hängen nicht nur vom
eigentlichen Algorithmus, sondern auch vom konkreten Problem ab, so dass sich
beispielsweise bei der Optimierung von Sortiernetzwerken die Parameter
-zwischen verschiedenen Leitungszahlen stark unterscheiden.
+zwischen verschiedenen Leitungszahlen stark unterscheiden. Einen Überblick
+geben \textit{Kalyanmoy Deb} und \textit{Samir Agrawal} in~\cite{DA1998}.
Die Erforschung (\textit{Exploration}) kann von einem weiteren Mechanismus
unterstützt werden, der ebenfalls der Evolutionslehre entliehen ist, der
in Abschnitt~\ref{sect:tranformation} beschrieben, ein Algorithmus, der
Mutation einsetzt, wird in Abschnitt~\ref{sect:sn-evolution-cut} vorgestellt.
-\begin{figure} \begin{center} \input{images/16-hillis.tex} \end{center}
-\caption{Das 16-Sortiernetzwerk, das \textit{Hillis} in~\cite{H1990} angibt.
-Es besteht aus 61~Komparatoren in 11~Schichten.} \label{fig:16-hillis}
-\end{figure} Evolutionäre Algorithmen wurden bereits mehrfach eingesetzt, um
+\begin{figure}
+ \begin{center}
+ \input{images/16-hillis.tex}
+ \end{center}
+ \caption{Das 16-Sortiernetzwerk, das \textit{Hillis} in~\cite{H1990} angibt.
+ Es besteht aus 61~Komparatoren in 11~Schichten.}
+ \label{fig:16-hillis}
+\end{figure}
+Evolutionäre Algorithmen wurden bereits mehrfach eingesetzt, um
Sortiernetzwerke zu untersuchen. \textit{W.~Daniel Hillis} verwendete
\emph{Co-Evolution} um neben Komparatornetzwerken auch „schwierige Eingaben“
zu optimieren~\cite{H1990}. Diese \emph{Parasiten} genannten Eingaben wurden
gelang es \textit{Hillis} ein 16-Sortiernetzwerk mit 61~Komparatoren
anzugeben, das in Abbildung~\ref{fig:16-hillis} zu sehen ist.
+\textit{Michael~L. Harrison} und \textit{James~A. Foster} nutzten ebenfalls
+\emph{Co-Evolution} in~\cite{HF2004}, um die Stabilität von Sortiernetzwerken
+zu erhöhen. Die zweite Population bestand aus \emph{Fehlern} -- der
+Information, welche Komparatoren defekt, beziehungsweise inaktiv sind. So
+generierte Sortiernetzwerke können auch dann noch für viele Eingaben eine
+korrekt sortierte Ausgabe erzeugen, wenn ein oder mehrere Komparatoren
+(zufällig) entfernt werden.
+
\begin{figure}
\centering
\subfigure{\input{images/13-juille-0.tex}}
"`Mischer"' in der Literatur sehr weit verbreitet ist, werden diese Begriffe
in dieser Arbeit trotzdem verwendet.}, bilden die Grundlage für die
beschriebenen evolutionären Algorithmen beziehungsweise dienen als initiale
-Eingabe. Im Folgenden werden daher vier Konstruktionsverfahren vorgestellt.
-
-\todo{Drei oder vier Verfahren? Sprich: Mit oder ohne Pairwise Sorting.}
+Eingabe. Im Folgenden werden daher drei Konstruktionsverfahren vorgestellt.
\subsection{Das Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk}
\label{sect:odd_even_transpositionsort}
\end{displaymath}
gilt.
-% gnuplot:
-% oem(n,m) = ((n*m) <= 1) ? (n*m) : oem(ceil(.5*n), ceil(.5*m)) + oem(floor(.5*n), floor(.5*m)) + floor(.5*(n+m-1.0))
-% oem1(n) = oem(ceil(.5*n),floor(.5*n))
-% oes(n) = (n <= 1.0) ? 0 : oes(ceil(0.5*n)) + oes(floor(0.5*n)) + oem1(n)
-
-%\begin{itemize}
-%\item Pairwise sorting-network
-%\end{itemize}
-
-\subsection{Das Pairwise-Sorting-Netzwerk}
-
-Das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk \ps{n} ist eine Konstruktionsvorschrift
-für Sortiernetzwerke, die 1992 von \textit{Ian Parberry} in seiner Arbeit „The
-Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992} definiert wurde. Wenn die Anzahl der
-Leitungen $n = 2^d$ eine Zweierpotenz ist, hat das
-\emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk die selbe Effizienz und Geschwindigkeit wie
-das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk.
+%\subsection{Das Pairwise-Sorting-Netzwerk}
+%
+%Das \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk \ps{n} ist eine Konstruktionsvorschrift
+%für Sortiernetzwerke, die 1992 von \textit{Ian Parberry} in seiner Arbeit „The
+%Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992} definiert wurde. Wenn die Anzahl der
+%Leitungen $n = 2^d$ eine Zweierpotenz ist, hat das
+%\emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk die selbe Effizienz und Geschwindigkeit wie
+%das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk.
\newpage
\section{Transformation von Sortiernetzwerken}
\begin{figure}
\centering
- \subfigure[16-Sortiernetzwerk aus 60~Komparatoren in 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von \textit{M.~W. Green} konstruiert und 1969 in \todo{Referenz} veröffentlicht.]{\input{images/16-green.tex}\label{fig:16-green}}
- \subfigure[16-Sortiernetzwerk aus 61~Komparatoren in 9~Schichten. Das Netzwerk wurde von \textit{D. Van~Voorhis} veröffentlicht.]{\input{images/16-voorhis.tex}\label{fig:16-voorhis}}
+ \subfigure[16-Sortiernetzwerk aus 60~Komparatoren in 10~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textit{M.~W. Green} konstruiert und 1969 in~\cite{G1972}
+ veröffentlicht.]{\input{images/16-green.tex}\label{fig:16-green}}
+ \subfigure[16-Sortiernetzwerk aus 61~Komparatoren in 9~Schichten. Das
+ Netzwerk wurde von \textit{D. Van~Voorhis} 1974 in~\cite{V1974}
+ veröffentlicht.]{\input{images/16-voorhis.tex}\label{fig:16-voorhis}}
\caption{Das effizienteste und das schnellste Sortiernetzwerk für
16~Leitungen, das derzeit bekannt ist.}
\label{fig:16-best-known}
gesamten Lösungsraums, begünstigt. Wählt man $w_{\mathrm{Basis}}$ hingegen
klein -- in Abhängigkeit von den anderen beiden Parametern sind auch negative
Werte möglich -- werden die relativen Unterschiede groß. Dadurch wird die {\em
-Exploitation}, das Streben zu (lokalen) Optima, verstärkt.
+Exploitation}, das Streben zu (lokalen) Optima, verstärkt. In~\cite{WW2002}
+geben \textit{Karsten und Nicole Weicker} einen Überblick über
+Selektionsmethoden und Rekombinationsmöglichkeiten.
Diese Parameter haben einen großen Einfluss auf die Geschwindigkeit, mit der
der \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus konvergiert und ob er tatsächlich gute
w_{\mathrm{Schichten}} &=& 1
\end{eqnarray*}
geben dem Einsparen eines Komparators ein höheres Gewicht als dem Einsparen
-einer Schicht. \todo{Fehler hier noch was?}
+einer Schicht.
\subsection{Selektion}
\textsc{SN-Evolution-Cut}-Algorithmus für $\ps{n = 2^d}$ besonders effiziente
Schnittmuster findet, wurde \textsc{SN-Evolution-Cut} mit \ps{32} und $k = 1
\dots 16$ gestartet. Die Ergebnisse sind in Tabelle~\ref{tbl:ec-ps-32}
-zusammengefasst. \todo{Tabelle einfügen.}
+zusammengefasst.
+
+\begin{table}
+ \begin{center}
+ \rowcolors{2}{black!5}{}
+ \begin{tabular}{|r|r|r|}
+ \hline
+ $m$ & Komp. & Schichten \\
+ \hline
+ 16 & 69 & 11 \\
+ 17 & 77 & 13 \\
+ 18 & 89 & 13 \\
+ 19 & 91 & 14 \\
+ 20 & 97 & 14 \\
+ 21 & 107 & 15 \\
+ 22 & 114 & 15 \\
+ 23 & 122 & 15 \\
+ 24 & 127 & 15 \\
+ 25 & 138 & 15 \\
+ 26 & 146 & 15 \\
+ 27 & 155 & 15 \\
+ 28 & 161 & 15 \\
+ 29 & 171 & 15 \\
+ 30 & 178 & 15 \\
+ 31 & 186 & 15 \\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ \end{center}
+ \caption{Anzahl der Komparatoren und Schichten von $m$-Sortiernetzwerken,
+ die von \textsc{SN-Evolution-Cut} nach 5.000.000 Iterationen aus \ps{32}
+ erzeugt wurden.}
+ \label{tbl:ec-ps-32}
+\end{table}
% Geschwindigkeit
Bei dem \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerk $\ps{n=2^d}$ ist das anders. Startet
man \textsc{SN-Evolution-Cut} mit $\operatorname{PS}(32)$ und der Vorgabe,
-16~Leitungen zu entfernen, erhält man ein Sortiernetzwerk, das die gleiche
-Anzahl Komparatoren und Schichten hat wie $\operatorname{PS}(16)$ und
-$\operatorname{OES}(16)$. Eines dieser Sortiernetzwerke ist in
-Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} dargestellt.
+16~Leitungen zu entfernen, kann der Algorithmus ein Sortiernetzwerk
+zurückgeben, das die gleiche Anzahl Komparatoren und Schichten wie
+$\operatorname{PS}(16)$ und $\operatorname{OES}(16)$ hat. Eines dieser
+Sortiernetzwerke ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} dargestellt.
+Dieses Ergebnis demonstriert, dass sich die Ergebnisse in den gezeigten
+Tabellen oft durch zusätzliche Iterationen verbessern lassen.
\begin{figure}
\begin{center}
\label{fig:16-pairwise}
\end{figure}
-Ein Spezialfall ergibt sich, wenn man \textsc{SN-Evolution-Cut} auf
-$\operatorname{PS}(16)$ anwendet: In diesem Fall kann man durch ein
-8-Schnittmuster das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk \oes{8} erhalten. Für
-größere Sortiernetzwerke ist dies hingegen nicht mehr möglich, beispielsweise
-kann $\operatorname{PS}(32)$ nicht durch ein 16-Schnittmuster in \oes{16}
-konvertiert werden. Die Verwandtschaft von $\operatorname{PS}(n)$ und \oes{n}
-untersucht \textit{Moritz Mühlenthaler} ausführlich in~\cite{M2009}.
+Ein Spezialfall ergibt sich, wenn \textsc{SN-Evolution-Cut} auf
+$\operatorname{PS}(16)$ angewendet wird: In diesem Fall kann ein
+8-Schnittmuster ausgegeben werden, das \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk
+\oes{8} aus \ps{16} erzeugt.. Für größere Sortiernetzwerke ist dies hingegen
+nicht mehr möglich, beispielsweise kann $\operatorname{PS}(32)$ nicht durch
+ein 16-Schnittmuster in \oes{16} konvertiert werden. Die Verwandtschaft von
+$\operatorname{PS}(n)$ und \oes{n} untersucht \textit{Moritz Mühlenthaler}
+ausführlich in~\cite{M2009}.
\newpage
\section{Fazit und Ausblick}
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