Abschnitt "Leitungen entfernen": Ausgebaut.

diff --git a/diplomarbeit.tex b/diplomarbeit.tex
index a8fd65e..e17b6a4 100644 (file)
--- a/diplomarbeit.tex
+++ b/diplomarbeit.tex
@@ -526,24 +526,25 @@ Richtung.
 
 \subsection{Leitungen entfernen}\label{sect:leitungen_entfernen}
 
 
 \subsection{Leitungen entfernen}\label{sect:leitungen_entfernen}
 

+Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, dass es mithilfe von
+\emph{Mischern} möglich ist, aus zwei Sortiernetzwerken mit je $n$~Eingängen
+ein neues Sortiernetzwerk mit $2n$~Eingängen zu erzeugen. Für einen
+beabsichtigen \emph{evolutionären Algorithmus} ist es jedoch notwendig, dass
+sich die Anzahl der Eingänge nicht verändert. Das heißt, dass wir wieder ein
+Sortiernetzwerk mit $n$~Eingängen erhalten müssen.
+

 Man kann ein gegebenes Sortiernetzwerk mit $n$~Eingängen auf ein
 Sortiernetzwerk mit $(n-1)$~Leitungen verkleinern, indem man eine Leitung
 Man kann ein gegebenes Sortiernetzwerk mit $n$~Eingängen auf ein
 Sortiernetzwerk mit $(n-1)$~Leitungen verkleinern, indem man eine Leitung

-entfernt. Zunächst wird angenommen, dass das Minimum oder das Maximum an einem
-der Eingänge anliegt. Der Weg durch das Netzwerk zum entsprechenden Ausgang
-ist dadurch fest vorgegeben, insbesondere welche Komparatoren dafür sorgen,
-dass die Leitung gewechselt wird und welche nicht.
+„eliminiert“. Dazu nehmen wir an, dass das Minimum oder das Maximum an einem
+bestimmten Eingang anliegt. Der Weg, den das Minimum beziehungsweise das Maxim
+durch das Sortiernetzwerk nimmt, ist eindeutig bestimmt und endet an einem der
+„Ränder“, also auf der Leitung mit dem höchsten oder dem niedrigsten Index.
+Insbesondere ist bekannt, welche Komparatoren „berührt“ werden und welche
+dafür sorgen, dass der Wert die Leitung gewechselt, da das Minimum jeden
+Vergleich „verliert“ und das Maximum jeden Vergleich „gewinnt“. Die

 Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut0} zeigt den Weg eines Maximums durch
 das {\em Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk}.
 
 Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut0} zeigt den Weg eines Maximums durch
 das {\em Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk}.
 

-Im nächsten Schritt werden alle beteiligten Komparatoren gelöscht bzw.
-ersetzt: Komparatoren, die {\em nicht} zu einem Wechsel der Leitung geführt
-haben, werden ersatzlos gelöscht. Diese Komparatoren sind in
-Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut0} grün markiert. Die Komparatoren, die
-zum Wechsel der Leitung geführt haben, werden durch sich kreuzende Leitungen
-ersetzt. Das Resultat zeigt Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut1}. Wenn
-man die Maximum-Leitung entfernt (Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut2}),
-erhält man ein Sortiernetzwerk für $(n-1)$~Leitungen.
-

 \begin{figure}
   \centering
   \subfigure[foo]{\input{images/oe-transposition-cut0.tex}\label{fig:oe-transposition-cut0}}
 \begin{figure}
   \centering
   \subfigure[foo]{\input{images/oe-transposition-cut0.tex}\label{fig:oe-transposition-cut0}}


@@ -558,6 +559,31 @@ erhält man ein Sortiernetzwerk für $(n-1)$~Leitungen.
   letzten Abbildung ist $\textrm{OET}(7)$ markiert.}
 \end{figure}
 
   letzten Abbildung ist $\textrm{OET}(7)$ markiert.}
 \end{figure}
 

+Im nächsten Schritt werden alle beteiligten Komparatoren gelöscht bzw.
+ersetzt: Komparatoren, die {\em nicht} zu einem Wechsel der Leitung geführt
+haben, werden ersatzlos gelöscht. Diese Komparatoren sind in
+Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut0} grün markiert. Die Komparatoren, die
+zum Wechsel der Leitung geführt haben, werden durch sich kreuzende Leitungen
+ersetzt. Das Resultat ist eine Leitung, auf der das Minimum beziehungsweise
+das Maximum angenommen wird, die an unterster oder oberster Stelle endet und
+auf die keine Komparatoren mehr berührt
+(Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut1}).
+
+Die Werte auf den verbleibenden $(n-1)$~Leitungen müssen vom restlichen
+Komparatornetzwerk immernoch sortiert werden: Wir haben lediglich die Position
+des Minimums oder des Maximums angenommen. Ein Sortiernetzwerk muss die
+Eingabe sortieren, egal auf welcher Leitung das Minimum~/ das Maximum liegt.
+Wir haben lediglich angefangen, das Sortiernetzwerk unter diese Annahme
+auszuwerten -- über die verbleibenden Eingänge haben wir keine Aussage
+getroffen. Entsprechend müssen die verbleibenden Ausgänge eine sortierte Liste
+mit $(n-1)$~Elementen darstellen.
+
+Wenn wir die Minimum- beziehungsweise Maximum-Leitung entfernen
+(Abbildung~\ref{fig:oe-transposition-cut2}), bleibt das Sortiernetzwerk für
+$(n-1)$~Leitungen übrig. Je nachdem, ob auf einer Leitung ein Minimum oder ein
+Maximum angenommen wird, bezeichnen wir das eliminieren einer Leitung als
+\emph{Minimum-Schnitt} beziehungsweise \emph{Maximum-Schnitt}.
+

 Die letzte Abbildung, \ref{fig:oe-transposition-cut3}, zeigt das
 Sortiernetzwerk wieder mit den üblichen geraden Leitungen und die rot
 markierten Komparatoren wurden verschoben, so dass sich eine kompaktere
 Die letzte Abbildung, \ref{fig:oe-transposition-cut3}, zeigt das
 Sortiernetzwerk wieder mit den üblichen geraden Leitungen und die rot
 markierten Komparatoren wurden verschoben, so dass sich eine kompaktere


@@ -566,9 +592,58 @@ Darstellung ergibt. Ausserdem ist das
 zusätzliche Komparator vor dem $\textrm{OET}(7)$ hat keinen Einfluss auf die
 Ausgabe und kann entfernt werden.
 
 zusätzliche Komparator vor dem $\textrm{OET}(7)$ hat keinen Einfluss auf die
 Ausgabe und kann entfernt werden.
 

+Der Eliminierungsschritt kann iterativ angewandt werden, um aus einem
+Sortiernetzwerk mit $n$~Ein\-gängen Sortiernetzwerke mit $n-1$, $n-2$,
+$n-3$,~\dots Eingängen zu erzeugen. Insbesondere können wir auf diese Art und
+Weise einen Sortiernetzwerk mit $2n$~Eingängen wieder auf ein Sortiernetzwerk
+mit $n$~Eingängen reduzieren.
+
+Bei einem Sortiernetzwerk mit $n$~Eingängen gibt es $2n$~Möglichkeiten eine
+Leitung zu entfernen: Auf jeder der $n$~Leitungen kann sowohl das Minimum als
+auch das Maximum angenommen werden. Wendet man das Verfahren iterativ an, um
+ein $n$-Sortiernetzwerk auf ein $m$-Sortiernetzwerk zu reduzieren, ergeben
+sich insgesamt
+\begin{displaymath}
+  \prod_{i=n}^{m+1} 2i = 2^{n-m} \frac{n!}{m!}
+  \quad (n > m)
+\end{displaymath}
+Möglichkeiten. Diese Möglichkeiten sind nicht alle unterschiedlich. Legt man
+beispielsweise das Minimum auf die unterste Leitung und das Maximum auf die
+oberste Leitung eines Standard-Sortiernetzwerks, führen beide Reihenfolgen zum
+selben Ergebnis.
+
+\textit{Moritz Mühlenthaler} zeigt in seiner Arbeit (\todo{Referenz}), dass
+es möglich ist, mehrere Eingänge gleichzeitig mit Minimum beziehungsweise
+Maximum vorzubelegen. Dadurch wird die Anzahl der möglichen Schnitte
+reduziert, die Menge der erreichbaren Sortiernetzwerke bleibt aber
+unverändert. Die Anzahl der möglichen „Schnittmuster“ setzt sich zusammen aus
+der Anzahl von Möglichkeiten, $n-m$~Leitungen aus $n$ Leitungen auszuwählen,
+und die möglichen Minimum-~/ Maximum-Muster. Damit ergibt sich folgende
+Formel:
+\begin{displaymath}
+  2^{n-m} \cdot \left( \begin{array}{c} n \\ n-m \end{array} \right)
+  = 2^{n-m} \cdot \frac{n!}{(n-m)! m!}
+  = 2^{n-m} \cdot \frac{n!}{m!} \cdot \frac{1}{(n-m)!}
+  \quad (n > m)
+\end{displaymath}
+
+Die Anzahl der möglichen Schnitte wird mit der Anzahl der zu entfernenden
+Leitungen sehr schnell sehr groß. Um ein Sortiernetzwerk mit 32~Eingängen auf
+ein Sortiernetzwerk mit 16~Eingängen zu reduzieren sind 16~Schnitte notwendig,
+für die es bereits etwa ${3,939 \cdot 10^{13}}$ Möglichkeiten gibt. Ein
+Ausprobieren aller Möglichkeiten ist für große Netzwerke nicht oder nur unter
+erheblichem Ressourcenaufwand möglich.
+
+Das Programm {\sc SN-Evolution-Cut} implementiert einen evolutionären
+Algorithmus, der zu einem gegebenen Sortiernetzwerk und einer gewünschten
+Leitungszahl ein Schnittmuster sucht, dass ein Sortiernetzwerk mit einer
+möglichst geringen Anzahl von Komparatoren und Schichten ergibt. Zur Bewertung
+von Sortiernetzwerken siehe auch Abschnitt~\ref{sect:bewertung}.
+

 \begin{itemize}
 \begin{itemize}

-\item Min-Richtung
-\item Max-Richtung
+  \item Beispiel: Moritz und Rolfs Optimierung für Bitonic-Sort.
+  \item Wie gut kann man durch wegschneiden werden?
+  \item Wieviele Schnitte ergeben das selbe Netzwerk?

 \end{itemize}
 
 \section{Der evolutionäre Ansatz}
 \end{itemize}
 
 \section{Der evolutionäre Ansatz}


@@ -576,7 +651,7 @@ Ausgabe und kann entfernt werden.
 Um einen evolutionären Algorithmus für Sortiernetzwerke zu entwickeln, werden
 die vorgestellten Methoden kombiniert.
 
 Um einen evolutionären Algorithmus für Sortiernetzwerke zu entwickeln, werden
 die vorgestellten Methoden kombiniert.
 

-\subsection{Bewertungsfunktion}
+\subsection{Bewertungsfunktion}\label{sect:bewertung}

 
 Um Sortiernetzwerke überhaupt optimieren zu können, muss zunächst die
 {\em Güte} eines Netzwerkes definiert werden. Prinzipiell gibt es zwei Ziele,
 
 Um Sortiernetzwerke überhaupt optimieren zu können, muss zunächst die
 {\em Güte} eines Netzwerkes definiert werden. Prinzipiell gibt es zwei Ziele,