verändert {\em (Mutation)}, bevor sie in die bestehende Lösungsmenge
integriert wird. Die Wahrscheinlichkeiten, beispielsweise bei der {\em
Selektion}, sind dabei nicht zwangsläufig gleichverteilt -- üblicherweise
-werden bessere Lösungen bevorzugt. Zur Bewertung die die sogenannte {\em
+werden bessere Lösungen bevorzugt. Zur Bewertung dient die sogenannte {\em
Gütefunktion}.
Nicht alle Probleme eignen sich für diese Strategie: Zum einen muss es möglich
Methode für die Rekombination existieren. Das insbesondere dann problematisch
wenn {\em Nebenbedingungen} eingehalten werden müssen.
+Beim Aussuchen von zufälligen Lösungen aus der Population, der
+\emph{Selektion}, werden gute Lösungen bevorzugt. Wie sehr diese Lösungen
+bevorzugt werden, hat einen starken Einfluss auf das Verhalten des
+Algorithmus. Werden gute Lösungen stark bevorzugt, konvergiert der Algorithmus
+schnell gegen ein (lokales) Optimum. Dieses \textit{Exploitation} (Englisch
+für „Ausnutzung“) genannte Verhalten sorgt dafür, dass sich der Algorithmus
+schnell auf eine Lösung festlegt und andere, möglicherweise bessere lokale
+Optima nicht mehr findet. Werden gute Lösungen hingegen nur wenig bevorzugt,
+erforscht der Algorithmus den Lösungsraum in viele Richtungen. Dieses
+\textit{Exploration} (Englisch für „Erforschung“) genannte Verhalten sorgt
+zwar dafür, dass der Algorithmus langsamer auf ein Optimum zusteuert, dafür
+findet er aber in der Regel bessere Lösungen.
+
+Die Parameter evolutionärer Algorithmen so einzustellen, dass sich ein guter
+Mittelweg zwischen den beiden Extremen einstellt, ist eine Aufgabe, die sich
+nur experimentell lösen lässt. Die genauen Parameter hängen nicht nur vom
+eigentlichen Algorithmus, sondern auch vom konkreten Problem ab, so dass sich
+beispielsweise bei der Optimierung von Sortiernetzwerken die Parameter
+zwischen verschiedenen Leitungszahlen stark unterscheiden.
+
\begin{itemize}
\item Unter einem "`Evolutionären Algorithmus"' versteht man $\ldots$
\item Da die Sortiereigenschaft zu überprüfen NP-schwer ist, ist die
\newpage
\section{Bekannte konstruktive Sortiernetzwerke}
+\label{sect:konstruktive_netzwerke}
Übersicht über bekannte konstruktive Sortiernetzwerke.
zusammenfügen kann. Dabei kommt es mit weniger Vergleichen aus als der
\emph{bitone Mischer}, der im Abschnitt~\ref{sect:der_bitone_mischer}
vorgestellt wurde. Allerdings benötigt der \emph{Odd-Even-Mischer} unter
-Umständen mehr Schichten als der \emph{bitone Mischer}.\footnote{Knuth,
-“Bitonic Sorting”, Seite~230}
+Umständen mehr Schichten als der \emph{bitone Mischer}.~\cite{KNUTH}
Der \emph{Odd-Even-Mischer} selbst ist ebenfalls rekursiv aufgebaut: Die
Eingabe für den Mischer mit $N = n + m$ Leitungen besteht aus den beiden
Sortiernetzwerk mit $n$~Ein\-gängen Sortiernetzwerke mit $n-1$, $n-2$,
$n-3$,~\dots Eingängen zu erzeugen. Insbesondere können auf diese Art und
Weise einen Sortiernetzwerke mit $2n$~Eingängen wieder auf Sortiernetzwerke
-mit $n$~Eingängen reduziert werden. Mehrere Minimum- und Maximum-Schnitte, die
-gleichzeitig angewendet werden, bezeichnen wir als \emph{Schnittmuster}.
+mit $n$~Eingängen reduziert werden. $k$~Minimum- und Maximum-Schnitte, die
+nacheinander angewendet ein $n$-Sortiernetzwerk auf ein
+${(n-k)}$-Sortiernetz\-werk reduzieren, bezeichnen wir als
+\emph{$k$-Schnittmuster}.
Zwei Schnittmuster heißen \emph{äquivalent} bezüglich~$S$, wenn ihre Anwendung
auf das Sortiernetzwerk~$S$ das selbe Ergebnis liefert. Ansonsten heißen die
Bei einem Sortiernetzwerk mit $n$~Eingängen gibt es $2n$~Möglichkeiten eine
Leitung zu entfernen: Auf jeder der $n$~Leitungen kann sowohl das Minimum als
auch das Maximum angenommen werden. Wendet man das Verfahren iterativ an, um
-ein $n$-Sortiernetzwerk auf ein $m$-Sortiernetzwerk zu reduzieren, ergeben
-sich insgesamt
+ein $n$-Sortiernetzwerk auf ein ${(n-k)}$-Sortiernetzwerk zu reduzieren,
+ergeben sich insgesamt
\begin{equation}\label{eqn:anzahl_schnittmuster}
- \prod_{i=n}^{m+1} 2i = 2^{n-m} \frac{n!}{m!}
+ \prod_{i=n}^{1+n-k} 2i = 2^k \frac{n!}{(n-k)!}
\quad (n > m)
\end{equation}
\emph{mögliche} Schnittmuster. Diese Schnittmuster sind nicht alle
und das Maximum auf die oberste Leitung eines Standard-Sortiernetzwerks,
führen beide Reihenfolgen zum selben Ergebnis.
-\textit{Moritz Mühlenthaler} zeigt in seiner Arbeit (\todo{Referenz}), dass
-es möglich ist, mehrere Eingänge gleichzeitig mit Minimum beziehungsweise
-Maximum vorzubelegen. Dadurch wird die Anzahl der möglichen Schnittmuster
-reduziert, die Menge der so erzeugbaren Sortiernetzwerke bleibt aber
-unverändert. Die Anzahl der möglichen Schnittmuster setzt sich zusammen aus
-der Anzahl von Möglichkeiten, $n-m$~Leitungen aus $n$ Leitungen auszuwählen,
-und die möglichen Minimum-~/ Maximum-Muster. Damit ergibt sich folgende
-Formel für die Anzahl der Schnittmuster:
+\textit{Moritz Mühlenthaler} zeigt in seiner Arbeit (\todo{Referenz}), dass es
+möglich ist, mehrere Eingänge gleichzeitig mit Minimum beziehungsweise Maximum
+vorzubelegen. Dadurch wird die Anzahl der möglichen Schnittmuster reduziert,
+die Menge der so erzeugbaren Sortiernetzwerke bleibt aber unverändert. Die
+Anzahl der möglichen Schnittmuster setzt sich zusammen aus der Anzahl von
+Möglichkeiten, $k$~Leitungen aus $n$~Leitungen auszuwählen, und die möglichen
+Minimum-~/ Maximum-Muster. Damit ergibt sich folgende Formel für die Anzahl
+der möglichen Schnittmuster:
\begin{displaymath}
- 2^{n-m} \cdot \left( \begin{array}{c} n \\ n-m \end{array} \right)
- = 2^{n-m} \cdot \frac{n!}{(n-m)! m!}
- = 2^{n-m} \cdot \frac{n!}{m!} \cdot \frac{1}{(n-m)!}
- \quad (n > m)
+ 2^k \cdot \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)
+ = 2^{k} \cdot \frac{n!}{k! (n-k)!}
+ = 2^{k} \cdot \frac{n!}{(n-k)!} \cdot \frac{1}{k!}
+ \quad (1 \leqq k < n)
\end{displaymath}
Die Anzahl der möglichen Schnittmuster wird mit der Anzahl der zu entfernenden
\label{fig:count-cuts-16}
\end{figure}
-Um die Anzahl der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster abschätzen zu können,
-wurden je eine Million zufällige 8-Schnittmuster auf die 16-Sortiernetzwerke
+Alleine durch Betrachten der ersten Schicht von Komparatoren konnte die Anzahl
+der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster auf höchstens $\frac{2}{3}$ der
+\emph{möglichen} Schnittmuster reduziert werden. Um die Anzahl der
+\emph{unterschiedlichen} Schnittmuster experimentell zu ermitteln, wurden je
+eine Million zufällige 8-Schnittmuster auf die 16-Sortiernetzwerke
$\operatorname{OES}(16)$, $\operatorname{BS}(16)$ und $\operatorname{PS}(16)$
-angewandt. Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} trägt die Anzahl der
+angewandt. Anschließend wurde mithilfe einer Hashtabelle überprüft, ob das
+resultierende Sortiernetzwerk schon von einem \emph{äquivalenten}
+Schnittmuster erzeugt wurde. Falls das Sortiernetzwerk noch nicht in der
+Hashtabelle enthalten war, wurde der Zähler für unterschiedliche Schnittmuster
+erhöht und das Sortiernetzwerk eingefügt.
+
+Abbildung~\ref{fig:count-cuts-16} trägt die Anzahl der
\emph{unterschiedlichen} Schnittmuster gegen die Anzahl der zufälligen
Schnittmuster auf. Klar zu sehen ist, dass sich die Anzahl der erzeugten
Sortiernetzwerke nach $500.000$~Iterationen nur noch gering verändert und der
Wert nach $1.000.000$~Iterationen allem Anschein nach dem Endwert schon sehr
nahe ist.
-Die Anzahl der 8-Schnittmuster ist entsprechend der
+Die Anzahl der möglichen 8-Schnittmuster ist entsprechend der
Formel~\ref{eqn:anzahl_schnittmuster} 3.294.720. Diese möglichen Schnittmuster
führen aber nur zu wenigen \emph{unterschiedlichen} Sortiernetzwerken: 3519
($\approx 0,1\%$) im Fall des \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerks}, 4973
vernachlässigbar klein ist.
Bedingt durch die sehr große Anzahl möglicher Schnittmuster ist dieses
-Experiment für größere Sortiernetzwerke leider nicht sinnvoll durchführbar. Um
-die Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster trotzdem abschätzen zu können,
-kann man sich einer stochastischen Methode bedienen, der sogenannten
+Experiment für größere Sortiernetzwerke leider nicht sinnvoll durchführbar.
+Die Hashtabelle benötigt mehr Arbeitsspeicher als in derzeitigen Rechnern
+vorhanden ist, bevor ein entsprechender Graph den linearen Bereich für
+„kleine“ x-Werte verlässt.
+
+Um die Anzahl der unterschiedlichen Schnittmuster trotzdem abschätzen zu
+können, kann man sich einer stochastischen Methode bedienen, der sogenannten
\emph{Monte-Carlo-Methode}. Zunächst generiert man eine Menge~$S$ von
$k$~unterschiedlichen Schnittmustern. Anschließend werden $n$~Schnittmuster
zufällig erzeugt und überprüft, ob sie sich in der Menge~$S$ enthalten sind.
-Unter der Annahme, dass das Verhältnis der zufälligen Schnittmuster, die in $S$
-enthalten sind, und $n$ dem Verhältnis von $k$ und der Anzahl der
+Unter der Annahme, dass das Verhältnis der zufälligen Schnittmuster, die in
+$S$ enthalten sind, und $n$ dem Verhältnis von $k$ und der Anzahl der
unterschiedlichen Schnittmuster ingesamt entspricht, kann man die Anzahl der
unterschiedlichen Schnittmuster abschätzen.
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