\subsection{Motivation}\label{sect:motivation}
+\todo{Schreibe noch etwas zu …}
\begin{itemize}
\item Sortiernetzwerke sind toll, weil $\ldots$
\item Sortiernetzwerke sind einfach erklärt, aber trotzdem kompliziert.
Übersicht über bekannte konstruktive Sortiernetzwerke.
+\todo{Einleitungssatz}
+
\subsection{Das Odd-Even-Transpositionsort-Netzwerk}
\label{sect:odd_even_transpositionsort}
Komparatoren, die in $\frac{1}{2} \log(n) \log(n+1) = \mathcal{O}(\log(n))$
Schichten angeordnet sind.
-%\begin{figure}
-%\begin{center}
-%\includegraphics[viewport=115 491 372 782,width=7.5cm]{images/sn-rekursiver-aufbau.pdf}
-%\end{center}
-%\caption{Rekursiver Aufbau von $S(n)$: Es besteht aus zwei Instanzen von
-%$S(n/2)$ und dem Mischer $M(n)$.}
-%\label{fig:bms_rekursiver_aufbau}
-%\end{figure}
-
\subsection{Das Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
Obwohl der Name ähnlich klingt, haben das \emph{Odd-Even-Mergesort-Netzwerk}
Sorting Network for 18~Elements“~\cite{BB2009} vorstellen, benötigt aber
6~Komparatoren weniger.
-% 9 9
-% 9 18
-% 9 27
-% 9 36
-% 9 45
-% 8 53
-% 8 61
-% 7 68
-% 7 75
-% 6 81
-% 5 86
-
Das Zusammenfassen von zwei Sortiernetzwerken durch Hintereinanderausführung
ist nicht sinnvoll: Da die Ausgabe des ersten Sortiernetzwerks bereits
sortiert ist, ist das zweite Sortiernetzwerk überflüssig. Eine
Komparatornetzwerks müsste überprüft werden, was nach heutigem Wissensstand
nur mit exponentiellem Aufwand möglich ist.
-%\begin{itemize}
-%\item Mit dem Bitonic-Merge
-%\item Mit dem Odd-Even-Merge
-%\item Nach dem Pairwise sorting-network Schema.
-%\end{itemize}
-
\subsection{Leitungen entfernen}
\label{sect:leitungen_entfernen}
\newpage
\section{Der \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus}
+\label{sect:sn-evolution}
Der \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus ist ein \emph{evolutionärer
Algorithmus}, der die in den vorherigen Abschnitten beschriebenen Mischer
für jedes Individuum in Population
{
reziproke Güte := 1.0 / Guete(Individuum)
- Wahrscheinlichkeit P := reziproke Güte / (reziproke Güte + Gütesumme)
+ Wahrscheinlichkeit P := reziproke Güte / (Gütesumme + reziproke Güte)
Gütesumme := Gütesumme + reziproke Güte
mit Wahrscheinlichkeit P
$\operatorname{OES}(n)$ in mindestens einem Merkmal übertrifft, konnte jedoch
nicht beobachtet werden.
-\begin{itemize}
-\item Güte von Sortiernetzwerken (Anzahl der Komparatoren, Anzahl der Schichten, kombiniert)
-\item Wie gut die Netzwerke werden, hängt stark vom verwendeten \emph{Mischer} ab.
-\item Ggf. Abschnitt „Shmoo-Äquivalenz“ kürzen und hier einbauen.
-\item Möglicherweise: Verwende den rekursiven Aufbau des \emph{Pairwise-Sorting}-Netzwerks um Sortiernetzwerke zu mergen.
-\end{itemize}
+\todo{Ggf. Abschnitt „Shmoo-Äquivalenz“ kürzen und hier einbauen.}
%\begin{figure}
%\begin{center}
$\operatorname{OES}(32)$ sehr schnell ein gutes 16-Schnittmuster findet.
Eines der eher zufälligen Schnittmuster ist $\operatorname{MIN}(1, 6, 11, 14,
-17, 23, 26, 29)$, $\operatorname{MAX}(2, 7, 8, 13, 18, 21, 27, 31)$. Das
+17, 23, 26, 29)$, $\operatorname{MAX}(2, 7, 8,$ $13, 18, 21, 27, 31)$. Das
Schnittmuster ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32-cut} veranschaulicht,
das resultierende Netzwerk ist in Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-oes32} zu sehen.
Wie in Abschnitt~\ref{sect:anzahl_schnittmuster} beschrieben, ist die Anzahl
der \emph{unterschiedlichen} Schnittmuster und damit die Anzahl der Nachfolger
sehr groß. Bei den untersuchten 16-Sortiernetzwerken lag die Anzahl der
-Nachfolger zwar noch unter 20000, bei den untersuchten 32-Sortiernetzwerken
+Nachfolger zwar noch unter 20.000, bei den untersuchten 32-Sortiernetzwerken
wurden jedoch bereits bis zu $2,6 \cdot 10^8$ unterschiedliche Schnittmuster
geschätzt.
gib Netzwerk zurück
\end{verbatim}
+Die Abbildungen~\ref{fig:markov-comparators-12},
+\ref{fig:markov-comparators-14}, \ref{fig:markov-comparators-12},
+\ref{fig:markov-comparators-16} und~\ref{fig:markov-comparators-18} zeigen die
+Anzahl der Komparatoren der Sortiernetzwerke, die \textsc{SN-Markov} auf
+seinem zufälligen Pfad durchläuft. Ausserdem eingezeichnet ist eine
+\emph{Gamma-Verteilung}.
+
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[viewport=0 0 425 262,width=15cm]{images/markov-cycles-16.pdf}
\label{fig:markov-cycles-16}
\end{figure}
-
+\todo{Schreibe noch etwas zu …}
\begin{itemize}
\item Beste erreichte Netzwerke (gleich zu \emph{OE-Mergesort}).
\item Anzahl der erreichbaren Sortiernetzwerke.
\end{figure}
\newpage
-\section{Empirische Beobachtungen}
-
-\begin{itemize}
-\item So schnell konvergiert der Algorithmus.
-\item $\ldots$
-\end{itemize}
-
-\newpage
\section{Ausblick}
Die Möglichkeiten, die Evolutionäre Algorithmen bei der Optimierung von