\usepackage{listings}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{url}
+\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage{longtable}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{icomma}
\newcommand{\bm}[1]{\ensuremath{\operatorname{BM}\left(#1\right)}}
\newcommand{\oet}[1]{\ensuremath{\operatorname{OET}\left(#1\right)}}
+\newcommand{\gcell}{\cellcolor{green!10}}
+\newcommand{\Gcell}{\cellcolor{green!10!white!95!black}}
+
\newtheorem{definition}{Definition}
\newtheorem{satz}{Satz}
\label{fig:16-e1-bitonic-1296542566}
\end{figure}
-Verwendet man den \emph{bitonen Mischer} in der Rekombinationsphase von
-\textsc{SN-Evolution}, so erhält man Netzwerke wie das in
-Abbildung~\ref{fig:16-e1-bitonic-1296542566} dargestellte: Der Algorithmus
-wurde mit dem \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk als triviale
-Initiallösung gestartet. Das Ergebnis ist ein Netzwerk, das effizienter ist
-als das \emph{bitone Mergesort}-Netzwerk: \bs{16} benötigt 80~Komparatoren,
-das Sortiernetzwerk in Abbildung~\ref{fig:16-e1-bitonic-1296542566} benötigt
-lediglich~67. Die Effizienz des \emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerks wurde
-leider mit keiner Leitungszahl erreicht.
+Wenn \textsc{SN-Evolution} mit dem \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk
+als Eingabe gestartet wird und in der Rekombinationsphase den \emph{bitonen
+Mischer} verwendet, gibt der Algorithmus Sortiernetzwerke wie das in
+Abbildung~\ref{fig:16-e1-bitonic-1296542566} dargestellte zurück.
+
+Viele der Sortiernetzwerke, die von \textsc{SN-Evolution} in dieser
+Konfiguration gefunden werden, sind effizienter als das \emph{bitone
+Mergesort}-Netzwerk \bs{n}, das ebenfalls auf dem \emph{bitonen
+Merge}-Netzwerk \bm{n} beruht. Das in
+Abbildung~\ref{fig:16-e1-bitonic-1296542566} dargestellte 16-Sortiernetzwerk
+benötigt 67~Komparatoren, 13~Komparatoren weniger als \bs{n}.
+
+Wenn die Gütefunktion so gewählt ist, dass sie schnelle Sortiernetzwerke
+bevorzugt, können Netzwerke zurückgegeben werden, die schneller als \bs{n}
+sind. Viele der schnellen Sortiernetzwerke sind außerdem effizienter als
+\bs{n}. Das Sortiernetzwerk mit $n = 23$ Leitungen benötigt mit
+134~Komparatoren jedoch einen Komparator mehr als \bs{23}. Die Daten von
+schnellen Sortiernetzwerken, die \textsc{SN-Evolution} mit dem \emph{bitonen
+Merge}-Netzwerk erzeugt hat, sind in Tabelle~\ref{tbl:sn-ev-bm-fast}
+aufgelistet.
+
+\begin{table}\label{tbl:sn-ev-bm-fast}
+\begin{center}
+\rowcolors{4}{black!5}{}
+\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
+\hline
+Leitungen & \multicolumn{2}{l|}{\textsc{SN-EV} mit \bm{n}} & \multicolumn{2}{|l|}{\bs{n}} \\
+\cline{2-5}
+ ($n$) & Komp. & Schichten & Komp. & Schichten \\
+\hline
+ 8 & \gcell 20 & 6 & 24 & 6 \\
+ 9 & \Gcell 26 & 8 & 28 & 8 \\
+ 10 & \gcell 31 & \gcell 8 & 33 & 9 \\
+ 11 & \Gcell 37 & \Gcell 9 & 39 & 10 \\
+ 12 & \gcell 42 & \gcell 9 & 46 & 10 \\
+ 13 & \Gcell 48 & 10 & 53 & 10 \\
+ 14 & \gcell 54 & 10 & 61 & 10 \\
+ 15 & \Gcell 61 & 10 & 70 & 10 \\
+ 16 & \gcell 67 & 10 & 80 & 10 \\
+ 17 & \Gcell 76 & 12 & 85 & 12 \\
+ 18 & \gcell 87 & \gcell 12 & 91 & 13 \\
+ 19 & \Gcell 93 & \Gcell 13 & 98 & 14 \\
+ 20 & \gcell 104 & \gcell 13 & 106 & 14 \\
+ 21 & \Gcell 109 & \Gcell 14 & 114 & 15 \\
+ 22 & \gcell 118 & \gcell 14 & 123 & 15 \\
+ 23 & 134 & \Gcell 14 & \Gcell 133 & 15 \\
+ 24 & \gcell 133 & 15 & 144 & 15 \\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Übersicht über die Ergebnisse des \textsc{SN-Evolution}-Algorithmus
+ unter Verwendung des \emph{bitonen Merge}-Netzwerks \bm{n}. Der Algorithmus
+ wurde mit dem \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk \oet{n} gestartet
+ und nach 2.500.000 Iterationen beendet. Die Bewertungsfunktion nutzte die
+ Konstanten $w_{\mathrm{Basis}} = 0$, $w_{\mathrm{Komparatoren}} = 1$,
+ $w_{\mathrm{Schichten}} = n$.}
+\end{center}
+\end{table}
\subsection[Odd-Even-Mischer]{Versuche mit dem Odd-Even-Mischer}
wiederholen. Die Sortiernetzwerke, die \textsc{SN-Evolution} unter Verwendung
des \emph{Odd-Even}-Mischers findet, erreichen das
\emph{Odd-Even-Mergesort}-Netzwerk bezüglich Effizienz, übertreffen es aber
-nicht. Ein Beispiel für ein Sortiernetzwerk, das \textsc{SN-Evolution} mit dem
-\emph{Odd-Even}-Mischer gefunden hat, ist in
+nicht. Ein Beispiel für ein entsprechendes Sortiernetzwerk ist in
Abbildung~\ref{fig:16-e1-oddeven-1296543330} zu sehen. Wenn $n$ keine
Zweierpotenz ist, kann \textsc{SN-Evolution} unter Umständen Sortiernetzwerke
ausgeben, die schneller als \oes{n} sind.
Sortiernetzwerken mit 68~Komparatoren in 10~Schichten resultieren, hatten 73
ein Verhältnis von $5/11$, 13 hatten ein Verhältnis von $4/12$ und 14 hatten
ein Verhältnis von $3/13$ Minimum- beziehungsweise Maximumschnitten. Da sich
-die Schnittmuster aufgrund der Symmetrie des bitonen Mergesort-Netzwerks
-leicht invertieren lassen, werden der Fall, dass es mehr Minimumschnitte, und
-der Fall, dass es mehr Maximumschnitte gibt, nicht unterschieden.
+die Schnittmuster aufgrund der Symmetrie des \emph{bitonen
+Mergesort}-Netzwerks leicht invertieren lassen, ist eine Fallunterscheidung --
+mehr Minimum- oder mehr Maximumschnitte -- nicht notwendig.
\begin{figure}
\centering
$\operatorname{PS}(n)$, das \textit{Ian Parberry} in seiner Arbeit „The
Pairwise Sorting Network“ \cite{P1992} definiert. Startet man
\textsc{SN-Evolution-Cut} mit $\operatorname{PS}(32)$ und der Vorgabe,
-16~Leitungen zu entfernen, erhält man ein Sortiernetzwerk, dass die gleiche
+16~Leitungen zu entfernen, erhält man ein Sortiernetzwerk, das die gleiche
Anzahl Komparatoren und Schichten hat wie $\operatorname{PS}(16)$ und
$\operatorname{OES}(16)$. Eines dieser Sortiernetzwerke ist in
Abbildung~\ref{fig:16-ec-from-ps32} dargestellt.
\end{figure}
Für das \emph{Pairwise-Sorting-Netzwerk} ist es vergleichsweise einfach
-regelmäßige Schnittmuster anzugeben, die aus dem Netzwerk einen kleineres
+regelmäßige Schnittmuster anzugeben, die aus dem Netzwerk ein kleineres
schnelles und effizientes Sortiernetzwerk erzeugen. Beispielsweise führt das
einfache Schnittmuster
\begin{displaymath}
16)$, $\operatorname{MAX}(1, 3, 10, 17, 20, 23)$ ausgegeben. Das Ergebnis
dieses Schnittmusters ist in Abbildung~\ref{fig:12-ec-from-oes24-fast} zu
sehen. Das Sortiernetzwerk besteht aus 43~Komparatoren, die in 9~Schichten
-angeordnet sind. Das heißt, dass das resultierende Netzwerk zwar nicht so
-effizient wie \oes{12}, dafür aber schneller als \oes{12} und \bs{12} ist.
+angeordnet sind. Das resultierende Netzwerk zwar nicht so effizient wie
+\oes{12}, dafür aber schneller als \oes{12} und \bs{12}.
\begin{figure}
\centering