Im Gegensatz zum Überprüfen aller möglichen Permutationen, was der
Komplexitätsklasse
-$\mathcal{O}\left(\sqrt{n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\right)$ zuzuordnen ist,
-ist das Überprüfen aller 0-1-Folgen „nur“ mit dem Aufwand $\mathcal{O}(2^n)$
+$\Theta\left(\sqrt{n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\right)$ zuzuordnen ist,
+ist das Überprüfen aller 0-1-Folgen „nur“ mit dem Aufwand $\Theta(2^n)$
verbunden. Entsprechend ist dieses Verfahren nicht \emph{effizient} -- ein
schnelleres Verfahren ist bisher allerdings nicht bekannt. Um zu überprüfen,
ob ein Komparatornetzwerk mit 16~Leitungen die Sortiereigenschaft besitzt,
Das \emph{Odd-Even-Transpositionsort}-Netzwerk ist weder in Bezug auf die
Anzahl der Komparatoren noch in Bezug auf die Anzahl der Schichten, in denen
sich die Komparatoren anordnen lassen, effizient. Es benötigt ${\frac12 n
-(n-1)} = \mathcal{O}(n^2)$~Komparatoren, die in $n$~Schichten angeordnet sind.
+(n-1)} = \Theta(n^2)$~Komparatoren, die in $n$~Schichten angeordnet sind.
Die im Folgenden vorgestellten Sortiernetzwerke benötigen deutlich weniger Komparatoren,
($\Theta(n \log (n)^2)$), die in weniger Schichten,
($\Theta(\log (n)^2)$), angeordnet sind.
Da sich die Anzahl der Leitungen in jedem Rekursionsschritt halbiert, endet
die Rekursion nach $\log(n)$~Schritten. In jedem Rekursionsschritt werden
$\frac{n}{2}$~Komparatoren eingefügt, so dass der gesamte Mischer aus
-$\frac{1}{2} n \log(n) = \mathcal{O}\left(n \log(n)\right)$~Komparatoren
+$\frac{1}{2} n \log(n) = \Theta\left(n \log(n)\right)$~Komparatoren
besteht, die in $\log(n)$~Schichten angeordnet werden können.
\subsubsection{Das bitone Mergesort-Netzwerk}
\end{figure}
Da die Teilfolgen $U$ und $V$ in jedem Rekursionsschritt etwa halbiert werden,
-bricht die Rekursion nach $\mathcal{O}\left(\log (n) + \log (m)\right)$
+bricht die Rekursion nach $\Theta\left(\log (n) + \log (m)\right)$
Schritten ab. Die exakte Anzahl der benötigten Rekursionsschritte (und damit
Schichten im Mischer-Netzwerk), hängt von der längeren der beiden
Eingabefolgen ab und beträgt $1 + \lceil \log\left(\max(n, m)\right) \rceil$.
\end{displaymath}
Leider ist es schwierig, diese allgemeine Formel in einer geschlossenen Form
anzugeben. Aus der Anzahl der Rekursionsschritte ist jedoch leicht erkennbar,
-dass $K(n,m)$ in $\mathcal{O}(N \log (N))$ enthalten ist.
+dass $K(n,m)$ in $\Theta(N \log (N))$ enthalten ist.
Für den wichtigen Spezialfall, dass $n = m = 2^{t-1}$ beträgt, lässt sich die
Anzahl der Komparatoren im Vergleich zum \emph{bitonen Mischer} angeben: Der
\subfigure[16-Sortiernetzwerk aus 60~Komparatoren in 10~Schichten. Das Netzwerk wurde von \textit{M.~W. Green} konstruiert und 1969 in \todo{Referenz} veröffentlicht.]{\input{images/16-green.tex}\label{fig:16-green}}
\subfigure[16-Sortiernetzwerk aus 61~Komparatoren in 9~Schichten. Das Netzwerk wurde von \textit{D. Van~Voorhis} veröffentlicht.]{\input{images/16-voorhis.tex}\label{fig:16-voorhis}}
\caption{Das effizienteste und das schnellste Sortiernetzwerk für
- 16~Leitungen, die derzeit bekannt sind.}
+ 16~Leitungen, das derzeit bekannt ist.}
\label{fig:16-best-known}
\end{figure}
-Diese Ziele führen im Allgemeinen zu unterschiedlichen Netzwerken. Das
-effizienteste bekannte Sortiernetzwerk für 16~Eingänge besteht aus
-60~Komparatoren in 10~Schichten. Es ist in Abbildung~\ref{fig:16-green}
-dargestellt. Das schnellste bekannte 16-Sortiernetzwerk besteht aus
-61~Komparatoren in nur 9~Schichten.
+Diese Ziele führen im Allgemeinen zu unterschiedlichen Netzwerken.
+Beispielsweise besteht das \emph{effizienteste} bekannte Sortiernetzwerk für
+16~Eingänge aus 60~Komparatoren in 10~Schichten. Es ist in
+Abbildung~\ref{fig:16-green} dargestellt. Das \emph{schnellste} bekannte
+16-Sortiernetzwerk besteht aus 61~Komparatoren in nur 9~Schichten und ist in
+Abbildung~\ref{fig:16-voorhis} zu sehen.
Eine Gütefunktion, die die beiden Ziele "`effizient"' und "`schnell"'
berücksichtigen kann, hat die folgende allgemeine Form:
projects / diplomarbeit.git / blobdiff